Практикум_по_математическому_анализу

Интеграл Эйлера-Пуассона.

+∞

+∞

= ∫∫e−(x2 + y2 )dxdy, где x [0;+∞) y [0;+∞).

I = ∫e−x2 dx ~ I = ∫e− y2 dy I 2

0

0

S

Перейдём к полярным координатам:

π

+∞

π

2

1

π

1

π

2

= ∫∫e

−r 2

= ∫dϕ ∫re

−r 2

−r2

+∞

I

rdϕdr

dr = ϕ

02 −

e

0

=

=

S

0

0

2

+∞

2

2

4

π

по свойству т.к.

I 2

= ∫∫ f (x, y)dxdy ~ I = ∫e−x2 dx =

.

S

0

2

+∞

+∞

В силу чётности имеем: ∫e−x2 dx = 2 ∫e−x2 dx =

π .

−∞

0

Практическая часть:

1. Вычислить повторный интеграл

Сначала вычислим внутренний интеграл по формуле Ньютона- Лейбница. Его результат будет подынтегральной функцией для внешнего интеграла.

2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

3.Изменить порядок интегрирования

4.Поменять порядок интегрирования

5.Вычислить повторный интеграл

6.

Вычислить двойной

интеграл

, где D-

прямоугольник 0≤x≤2, 0≤y≤1

7. Вычислить интеграл

,где область D параболический

•	101
•

сегмент, ограниченный параболой и прямой y=x.

Задания для самосоятельного решения:

1.Поменять порядок интегрирования

2.Поменять порядок интегрирования

3.Вычислить двойной интеграл

по области D, ограниченной прямыми y=2x-3, y=2x+5, y=-x+7, y=-x-1

4. Вычислить двойной интеграл

, где D ограничена линиями x=2, y=x,

5.Вычислить двойной интеграл ,где D-квадрат

0≤x≤1, 0≤y≤1

6.									, если D: 0≤x≤					, 0≤y≤2
7.									, где D ограничена линиями x=0, y =0, x=π

Методы вычисления двойного интеграла

1.Вычисление повторных интегралов.

2.Замена переменных в двойном интеграле

Теоретическая часть:

Пусть:

∫∫ f (x, y)dxdy; x = x(ξ ,η ) y = y(ξ ,η ) при отображении R 2 → R 2

D

•	102
•

dx dx

I		=	x'ξ	x'η	, I =	dξ		dη	- играет роль производной при R 2 → R 2 и
			y'ξ	y'η		dy		dy
						dξ		dη

называется определитель Якоби – якобиан.

∫∫f(x, y)dxdy = ∫f(x(ξ, η), y(ξ, η)) I dξξd

D

Практическая часть:

1. Вычислить двойной интеграл:

По области D, ограниченной прямыми y=2x-3, y=2x+5, у=-х+7, у=-х-1. Область D – параллелограмм ABCK (РИС. 19 а). Хотя подынтегральная функция и область интегрирования просты, вычисления данного интеграла в прямоугольных координатах достаточно громоздко (убедитесь самостоятельно). Заметив, что уравнение прямых можно записать в виде у- 2х=-3, у-2х=5, у+х=7 и у+х=-1, перейдем к новым координатам, для чего

обозначим

откуда

Имеем:

Т.е.				В новой системе координат (u, v) область G ограничена

прямыми u=-3, u=5, v=-1, v=7, т. е. представляет собой прямоугольник (рис. 19 б), а подынтегральная функция равна

•	103
•

Отметим, что первая система формул, написанная выше, преобразует параллелограмм АВСК в прямоугольник А1В1С1К1 , вторая система – наоборот, преобразует прямоуольник А1В1С1К1 d в параллелограмм АВСКю При этом видно, сто направление охода вершин одной фигуры соответствует противоположному направлению обхода вершин другой. Именно поэтому J<0. Переходим к вычислениям:

2. Вычислить

Где D – область, ограниченная кривыми у2=4х, у2=9х, ху=1, ху=5. Область D изображена на рис. 20 а. Заметим, что расставить пределы

интегрирования в исходном интеграле не просто, однако подходящая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику.

Введем новые переменые u и v при помощи равентств

Выразим отсюда переменные х и у через u и v: , y=

•	104
•

Находим якобиан полученного преобразования

Откуда с учетом того, что х>0 на области D, а значит , >0, имеем

Таким образом, исходный интеграл в плоскости Оuv имеет вид:

Граница области G имеет вид (т.е. представляет собой прямоугольник), а преобразованный интеграл вычисляется намного проще:

Задания для самосоятельного решения:

Вычислить

Где D – область, ограниченная кривыми

Геометрические приложения двойного интеграла

1.Вычисление площади плоской фигуры.

2.Вычисление объема тела.

Практическая часть:

	.
•	105
•

1.Рассмотрим ∫∫Cos(x + y)dxdy, где D: x = 0, y = π,

D

y = x.

π y=π

а) ∫∫Cos(x + y)dxdy = ∫dx ∫Cos(x + y)dy =

	D					0 y=x
	π				y = π	π
	= ∫dx(Sin(x + y))					= ∫[Sin(x + π )− Sin2x]dx =
	0				y = x	0
π	π	1		π =
= −∫Sinxdx + ∫− Sin2xdx = Cosx +			Cos2x
		2
0	0			0

= −1+ 1 −1− 1 = −2.

22

б)

π

x=y

π

x

= y

π

∫∫Cos(x + y)dxdy = ∫dy ∫ Cos(x + y )dx = ∫dy[Sin(x + y )]

= ∫(Sin2 y − Siny )dy =

D

0

x=0

0

x = 0

0

π

π

1

π = −

1

1

= ∫Sin2 ydy − ∫Sinydy = −Cos2 y

+ Cosy

−1+

−1 = −2.

2

0

0

2

0

2

x

2. Рассмотрим ∫∫e y dxdy,

где

D

D : y =1; x = 0; x = y2

1

y=1

y=1

x

а)

∫∫e x y dxdy = ∫dx ∫ e x y dy, но

∫

e y

D

0

y=

y= x

x

через элементарные функции преобразования не выражается.

							1			x=y2
б)	∫∫e x y dxdy = ∫dy ∫										e x y dx =
	D						0			x=0
x=y2									x = y2				1	1					1
	x				x											y2		1		y2		1
= ∫ e y dx =e y y									x = 0	= ye y − y]= ∫(ye y − y)dy = ∫ ye y dy −									= ye y − ∫e y dy −			=
x=0													0	0		2		0	0	2		0
		y		y		y2						1		1
								1
= ye			− e		−				= e − e −		0 +1−		=		.
						2		0				2		2

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: xy = 1; xy = 4; y = 1; y = 2.

•	106
•

x=

4

∫∫

2

y

2

4

1

2

3

∫

∫

∫

∫

P =

dxdy =

dy

dx =

−

dy =

dy =

1

x=

1

1

y

y

1

y

y

= 3ln y 2 = 3ln 2(кв.ед) ≈ 3 0,8 2,4кв.ед. 1

4.Найти объём тела с основанием в виде треугольника x = 0, y = 0, x+y =1

иограниченного сверху параболическим цилиндром z = x2 .

				1		1−x		1								y = 1− x =
V = ∫∫x2dxdy = ∫dx ∫								x2dy = ∫dx x2 y
		D		0		0		0									y = 0
	1			x3				x4			x = 1	1				1	1
	∫
=		x2	(1	− x)dx =			−					=		−			=		ед.3
	0			3				4			x = 0 3					4	12

5. Вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями z = 0;

x = 0; z = y 2 и пл-ю 2x + 3y – 12 = 0.

2

																		−2 x+12
								2						6								2
						y											2				y
V = ∫∫										dxdy = ∫dx ∫													dy =
																					2
				D			2							0				y=0
	1			1							3 6					2		3				− 2
=					−								∫	4 −			x		dx					=
	3 2										2 0					3						3
										2			4
					4 −								x		6
			1							3							− (−16)= 16куб.ед.
= −															= 0
			4							4					0

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у2=2х и у=х. Имеем Направление, или порядок, интегрирования

выберем так, как уазано на чертеже (рис. 24)

•	107
•

Сначала определим координаты точки А:

Проекция области D на ось Оу есть отрезок [0,2]. Таким образом,

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

Линии даны в полярных координатах, поэтому воспользуемся формулой площади в полярных координатах:

Первая функция определена при а вторая

-

при

,

так

при

прочих

значениях

Соответствующая область имеет вид, изображенный на рисунке 25. Ввиду симметрии фигуры относительно полярной оси можно ограничиться вычислением половины площади, а результат удвоить.

Имеем:

•	108
•

Nk (ξk ;ηk ) M

Задания для самосоятельного решения:

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

.

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

3.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Криволинейные интегралы второго рода

1. Вычисление площади поверхности тела.

1. Криволинейны интеграл второго рода.

Теоретическая часть:

Определение: Если в (•) некоторой плоской области задан вектор

силы, лежащий в этой области, то говорят, что заданно плоское силовое поле. По аналогии можно рассмотреть и силовое пространство.

Пусть F (P,Q ) - вектор силы, где Р=Р(х,у),

а Q = Q(x,y). Рассмотрим некоторую дугу ВС в области Д и найдём работу поля по перемещению точки из В в С.

Разобьём ВС : B = M 0 M 1 M 2 ... M k ...M n = C. При достаточно мелком разбиении TBC можно считать, что по частичной дуге M k −1M k точка

движется под действием постоянной силы FK = F : F (P(ξ K ;η K )Q(ξ K ;η K )), где k −1M k , причём считается, что движение происходит не по дуге,

•	109
•

r→

апо хорде M k −1M k . Обозначим S k = M k −1M k . Тогда работа Ak на дуге M k −1M k

приближённа равна: Ak (F (ξk ;ηk )Q(ξk ;ηk )Sk )

M k (xk ; yk )

xk = xk − xk −1

S

= M

= (

) A =

= P(ξ

;η

)

x +

k

k −1

M

k

x

, y

k

F

S

k

k

M k −1 (xk −1 ; yk −1 )

yk = yk − yk −1

k

k k

k

m

m

+ Q(ξk ;ηk )

y A = ∑Ak = ∑[P(ξk ;ηk ) xk + Q(ξk ;ηk ) yk ]

k =1

k =1

Параметр разбиения λ = max

M k −1M k

.

1≤k ≤m

Рассмотрим предел, при λ→0 естественно считать:

m

A = lim ∑[P(ξk ;ηk ) xk

+ Q(ξk ;ηk ) yk ]

k =1

Определение криволинейного интеграла по координатам для случая плоских фигур

Пусть в плоскости ХОУ дана кривая ВС и на ней определена функция Р(х;у). Разобьём ВС в направлении от В к С. На частичной дуге выберем промежуточные точки. Вычислим значение Р(х;у) в этих промежуточных точках и составим интегральную сумму:

∑

P(ξ

)

limσ

∫

σ

1

=

;η

x

,λ = max

M

k −1

M

1

=

P(x; y)dx

k

k

k

k

λ→0

BC

Аналогично определяется интеграл по второй координате у:

		limσ 2 =			∫	Q(x; y)dy.
		λ →0
					BC
	∫ P(x; y)dx + Q(x; y)dy		det	∫ P(x; y)dx + ∫Q(x; y)dy - полный
	BC			BC		BC
		криволинейный интеграл.
A = ∫P(x; y)dx + Q(x; y)dy - криволинейный интеграл второго рода.
BC
	Существование и вычисление криволинейных интегралов
Определение:		Простая кривая			Жордана r: x = ϕ(t )		называется
регулярной	ϕ (t ) ψ (t ) - непр. на [α,β]					y =ψ (t )
	′	′

Определение: Кривая Жордана называется кусочно-регулярной её можно разбить на конечное число регулярных кривых.

Примеры:

1)x = RCost t [0;π ] - регулярная кривая. y = RS int

		y =	t							′
	2)			−1	≤ t ≤ 1	y =	x	ϕ (0)			нерегулярная кривая, но
		x = t
	кусочнорегулярная.

•	110
•