Практикум_по_математическому_анализу

Применим формулу интегрирования по частям.

∫udv = uv − ∫vdu.

								u = x; dv = sin								4			xdx;
∫xsin			4													5
				xdx =																									cos				4		x									=
			5
																4																						5				4
																																5
								du = dx; v = ∫sin														xdx = −														= −				cos			x.
																				5							4					5						4				5
= −	5	x cos			4	x +				5	∫cos	4			xdx = −								5	x cos			4			x +					25		sin		4		x + C.
4			5				4				5											4					5							16				5
Ответ:			∫xsin				4		xdx = −				5		х cos				4		x +				25	sin					4	x + C.
							5				4					5						16					5
															d) ∫		4х2						+ 3х − 3
																													dx
																					x3 − х

Решение: Разложим знаменатель на множители х3-х=х(х-1)(х+1)

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби.

x 2 − 1 x 2 + х x 2 − х

4х

2

+ 3х − 3

A

В

C

=

+

+

Приравнивая числители, получим

x − 1

x + 1

х(x − 1)(x + 1)

x

4х2+3х-3=A(x2-1)+В(x2+х)+C(х2-х), приравниваем коэффициенты при

одинаковых степенях.

A + B + С = 4

x 2

x

B − C = 3 .

1

− A = −3

Отсюда А=3, В=2, С=-1

4х2 + 3х − 3

=

3

+

2

−

1

x −1

x + 1

Следовательно х(x −1)(x + 1)

x

∫

4х2 + 3х − 3

= 3∫

dx

+ 2∫

dx

− ∫

dx

dx

= 3ln | x | +2 ln | x −1 | − ln | x + 1 | +C.

х(x −1)(x + 1)

x

x − 1

x + 1

Ответ: ∫	4х2 + 3х − 3	dx = 3ln | x | +2 ln | x −1 | − ln | x + 1 | +C.
	х(x −1)(x + 1)

e) ∫xcos 5 xdx 4

Решение: Применим формулу интегрирования по частям.

•	81
•

∫udv = uv − ∫vdu.

										u = x; dv = cos									5		xdx;
			5												4
∫xcos				xdx =																										sin			5		x
			4																			5																	4		5
									du = dx; v = ∫cos															xdx =						4						=				sin		x.
																						4							5										5		4
																													4
=	4	x sin			5	x −		4			∫sin	5		xdx =			4			x sin					5		x +					16		cos			5	x + C.
5			4			5					4				5							4							25							4
Ответ: ∫xcos							5			xdx =			4		хsin	5		x +					16			cos		5			x + C.
						4					5				4							25							4

х2 dx

f) ∫(x 2 − 1)(x + 1)

Решение:

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби.

				x 2 + 2х + 1			x 2 − 1			x − 1
x	2		x	2		A		B		С
		=			=		+		+
(x 2 − 1)(x + 1)			(x − 1)(x + 1)2			x − 1		x + 1		(x + 1)2

=

Приравнивая

числители, получим

x2=A(x2+2х+1)+В(x2-1)+C(х-1), приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

x 2	A + B = 1
x	2А + C = 0 . Складывая все уравнения, получим 4А=1; А=1/4; В=1-

1A − В − C = 0

А=3/4; С=А-В=-1/2.

Следовательно

x 2

1/ 4

3 / 4

1/ 2

=

+

−

.

(x 2

− 1)(x + 1)

x − 1

x + 1

(х + 1)2

∫

x 2 dx

=

1

∫

dx

+

3

∫

dx

−

1

∫

dx

=

1

ln | x − 1 | +

3

ln | x + 1 | +

1

+ С.

(x

2

−1)(x + 1)

(x + 1)

2

2(x + 1)

4

x −1 4

x + 1 2

4

4

Ответ: ∫

x 2 dx

=

1

ln | x − 1 | +

3

ln | x + 1 | +

1

+ С

(x

2

− 1)(x + 1)

4

2(x + 1)

4

Найдите интеграл

1) ∫ln

dx =

1

∫ln xdx;

x

2

2) ∫

2x + 22

dx

(x

+ 2)(x

2

− 2x + 10)

•

82

•

Задания для самосоятельного решения:

				2x 2 − 3x + 13			3x − 7		dx
						в) ∫(x + 4)(x 2
	а) ∫arctgxdx б) ∫(x + 2)(x 2 − 2x + 5) dx							+ 4)
	г) ∫(x +1) sin	4	xdx
	5

Определенный интеграл. Интегрирование непрерывных функций

1.Формула Ньютона - Лейбница.

2.Непосредственное вычисление определенного интеграла.

3.Вычисление определенного интеграла методом подстановки.

4.Вычисление определенного интеграла методом «по частям».

Теоретическая часть:

1. Понятие об определенном интеграле

Пусть f(x) – функция, непрерывная на данном отрезке [a, b], где a<b или a>b, и F(x) – некоторая ее первообразная, т.е. F`(x)=f(x) при х [a,b].

Определение. Под определенным интегралом

b
∫ f (x)dx	(1)
a
от данной функции f(x) на данном отрезке [a,b] понимается
соответствующее приращение ее первообразной, т.е.
b
∫ f (x)dx = F (b) − F (a)	(2)

a

(формула Ньютона-Лейбница).

В выражение (1) числа a и b называются пределами интегрирования, соответственно - нижним и верхним, [a, b] – промежутком интегрирования, а f(x) – подынтегральной функцией. Формулу (2) можно выразить в виде

правила: определенный интеграл равен разности значений первообразной

подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов

интегрирования.

Теорема: Определенный интеграл от непрерывной функции не зависит от выбора первообразной для подынтегральной функции.

Теорема: Для всякой функции, непрерывной на отрезке [a,b] существует соответствующий определенный интеграл.

2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

•	83
•

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Рассмотрим интеграл

					x
					∫ f (t)dt ,	(1)
					a
где t [a,x] [a,b] (во избежание путаницы, переменная интегрирования
обозначена другой буквой).
Если F(x) – первообразная функции f(x), т.е.
					F`(x)=f(x),
то согласно формуле Ньютона-Лейбница имеем
					x
					∫ f (t)dt = F (x) − F (a) .	(2)
					a
Отсюда
	d	x	f (t)dt =	d	[F (x) − F (a)]= F ′(x) − [F (a)]′ = f (x) − 0 = f (x) .
		∫
	dx			dx
		a

Следовательно, производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела:

	d	x
		∫
	dx
		f (t)dt = f (x) .	(3)
		a
Таким образом, интеграл
		x
Ф(x) = ∫ f (t)dt			(4)

a

является первообразной для подынтегральной функции f(x). Отметим, что из формулы (2) следует, что Ф. (а)=0, т.е. Ф. (х) есть та первообразная для функции f(x), которая обращается в нуль при х=а.

На основании формулу Ньютона-Лейбница имеем

	d	b			d	[F (b) − E(x)]= [F (b)]′ − F ′(x) = − f (x) .
		∫ f (x)dx		=
	dx x				dx

Таким образом, производная определенного интеграла с переменным нижним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела, взятому с обратным знаком.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть u=u(x), υ=υ(х) – непрерывно дифференцируемые функции т.е. имеющие непрерывные производные u`(x), υ`(x) на отрезке [a,b].

Имеем:

d[u(x)υ(x)]=υ(x)du(x) + u(x)dυ(x) .

Интегрируя это равенство в пределах от a до b и учитывая, что

′	′
du(x) = u	(x)dx и dυ (x) = υ (x)dx ,
находим
•	84
•

			b	b
u(x)υ(x)		b	= ∫υ(x)u′(x)dx + ∫u(x)υ ′(x)dx .
		a
			a	a

Отсюда получаем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

b b

∫u(x)υ ′(x)dx = u(b)υ(b) − u(a)υ(a) − ∫υ(x)u′(x)dx .

a a

(1)

Для краткости употребляется обозначение

u(b)υ(b) − u(a)υ(a) = u(x)υ(x) ba ,

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть дан определенный интеграл

b
∫ f (x)dx ,	(1)

a

Где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a,b], и пусть по каким-то соображениям нам желательно ввести новую переменную t, связанную с прежней х соотношением:

х=φ(t ) (α ≤ t ≤ β),

(2)

где φ(t ) – непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [a,b]. Если при этом: 1) при изменении t от α до β переменная х меняется от a до b,

т.е.
φ(α)=а, φ(β ) = b,	(3)

и 2) сложная функция f(φ(t)) определена и непрерывна на отрезке [α,β] (если значения φ(t) не выходят из отрезка [a,b], то условие 2) излишне – теорема о непрерывности сложной функции), то справедлива формула

b	β
∫ f (x)dx = ∫f(ϕ(t))ϕ ′(t)dt .		(4)
a	α

Практическая часть:

1. Вычислите определенные интегралы.

1

а) ∫36x + 2dx

0

Решение:

•	85
•

1																		1																				4
																			1													(6x + 2)								3		1				1					4						4				1
∫3 6x + 2dx = ∫(6x + 2) 3 dx =																																										0 =								(8 3 − 2								3 ) =					(16 − 23 2 ) =
																																	4				6										8														8
0																		0															3
					3
								2
= 2 −												≈ 1,685.
							4
								1
																												3 2
Ответ: ∫3 6x + 2dx = 2 −																														≈ 1,685.
																												4
								0
																																	1				2х
																																b) ∫								dx
																																		0 ех2
																																		Решение:
																		= u; Еслих = 0, то u = 0;
∫ 2х2 dx =														x																													= ∫e−u du = −e−u																	1 = 1 − e−1						≈ 0,632.
1																2																														1
	0 ех													2хdx = du; Еслих = 1, то u = 1;																																0														0
								1					2х
Ответ:									∫									dx = 1 − e−1										≈ 0,632.
													2
								0					ех
Вычислите определенные интегралы.
																																	2
																														c) ∫					4х +1dx
																																	0
																																		Решение:
2																		2															3					2
																																	+ 1)				2			= 1 (9 2											−1 2 ) = 1 (27 − 1) = 26 = 13 .
∫				4х + 1dx = ∫(4x + 1) 2 dx = (4x
																			1																														3			3
0																		0													3		2 4					0		6																	6				6						3
								2																13
Ответ: ∫														4х + 1dx =												.
								0											3
																																	π
																																	4
																														d)			∫cos 2 2xdx
																																	0
																																Решение:
Воспользуемся тригонометрической формулой соs 2 2x =																																																										1	(1 + cos 4x)
																																																										2
	π																			π													1						sin 4x										π					π				sin π
4																		1	4																																	1													π
∫			соs		2														∫(1 + cos 4x)dx =
							2xdx =																											x			+												4		=						+					− 0 =					.
0																		2	0														2							4									0			2		4				4							8
									π
								4																	π
Ответ:								∫				соs2 2xdx =															≈ 0,393.
								0											8

•	86
•

2. Вычислите определенные интегралы.

2

а) ∫

5x − 1dx

1

e

b) ∫

ln2 x

dx

1

x

3. Вычислить определенные интегралы:

а) по формуле Ньютона-Лейбница;

б) по формуле Симпсона при n=10 с точностью до двух знаков.

7

dx

=

x + 1 = t3

а) ∫3

+ 1

dx = 3t 2dt

=

Найдем новые пределы

интегрирования

x + 1

0

2

2

2

x = 0 t =1

3t 2dt

(t 2

− 1) + 1

1

x = 7 t = 2

= ∫

= 3∫

dt = 3∫(t −

1 +

)dt =

t + 1

t + 1

t + 1

t 2

1

1

1

1

3(

− t + ln | t + 1 |) |2

= 3(2 − 2 + ln 3) − 3(

− 1 + ln 2) = 1,5 + 3ln 3 − 3ln 2 =

2

1

2

= 1,5 + 3 ln1,5 ≈ 2,716

7

dx

=1,5 + 3ln1,5 ≈ 2,716

Ответ: ∫3

+ 1

x + 1

0

11

б) ∫

x3 + 32dx

1

Применим приближенную формулу Симпсона

b

3

∫

f (x)dx ≈

h

(y

+ y

+ 4(y + y

+ ... + y

) + 2(у

+ у

+ L + у

))

0

n

3

n −1

2

4

n − 2

1

a

где

h=(b-a)/n,

(n-четное

число, у

нас n=10),

yi

значения

подынтегральной функции в точках xi=a+ih.

В нашем случае h =

11 − 1

= 1.

Заполним таблицу

10

i

xi

yi=

x3 + 32

i

0

1

5,74

1

2

6,32

2

3

7,68

3

4

9,80

4

5

12,53

•

87

•

5	6	15,75
6	7	19,36
7	8	23,32
8	9	27,59
9	10	32,12
10	11	36,92

Находим: у0+у10=5,74+36,92=42,66. у1+у3+у5+у7+у9=6,32+9,80+15,75+23,32+32,12=87,32. 4 87,32=349,28. у2+у4+у6+у8=7,68+12,53+19,36+27,59=67,16. 2 67,16=34,32.

11
∫	x 3 + 32dx ≈		1	(42,66	+ 349,28 +134,32)	=	1		526,26	= 175,42
			3				3
1

Задания для самосоятельного решения:

1. Вычислить определенные интегралы: а) по формуле Ньютона-Лейбница;

б) по формуле Симпсона при n=10 с точностью до двух знаков.

6			8
а) ∫	x − 3			dx ; б) ∫ 82 − x2 dx
	x
3				− 2

Применение определенного интеграла к вычислению

площадей плоских фигур

1.Вычисление площади плоской фигуры в ПДСК.

2. Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат

Теоретическая часть:

При решении этих задач полезно придерживаться следующего порядка.

1.Сделать чертеж фигуры (дуги), описываемой уравнениями, заданными в задаче.

2.Выбрать подходящую формулу.

•	88
•

Y

Y

Р

В декартовой системе координат (рис. 1):

r

r

Р

b
S = ∫( f 2 (x) − f1 (x))dx.	(1)

a

В полярной системе координат (рис. 2):

S =	1	β	(r22 (ϕ) − r12 (ϕ))dϕ.	(2)
		∫
2
		α
				При
				параметрическом задании
				кривой (рис.3):
				T
			b	′
	Р			S = ∫y(t)x (t)dt. (3)
				t0

Замечание: Если кривая f(x) задана параметрически или в полярной системе координат, то в определенном интеграле надо сделать замену переменных. Не забудьте про новые пределы интегрирования!

Практическая часть:

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями. y=x2-4 и y=4-x2.

Решение: Обе линии являются параболами.

Вершина первой параболы находится в точке (0; -4). Ветви направлены вверх.

Вершина второй параболы находится в точке (0; 4). Ветви направлены

вниз.

Найдем точки пересечения этих линий.

•	89
•

			2
y = x				− 4	2	− 4 = 4 − x		2	, 2x		2	= 8, x			2	= 4,
				x
y	= 4		− x 2
x1,2 = ±2, x1 = −2, x 2 = 2, y1 = 0, y2 = 0.
Сделаем чертеж:													у
											5
											4		у=4-х2
											3
											2								х
											1
						3		2		1	1	0	1		2			3
											2			у=х			-4
											3					2
											4
											5
Площадь найдем по формуле
							b
						S = ∫[f 2 (x) − f1(x)]dx
							a
	2						2											2x 3 2
S =	∫	[(4 − x 2 ) − (x 2				− 4)]dx =	∫	(8								−				=
										− 2x 2 )dx = 8х
	−2						−2											3	− 2

		16				16			64	(кв.ед.).
= 16	−			− − 16	+			=
		3				3			3

Ответ: Искомая площадь 64/3 (кв. ед.).

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y=x2-5x-6 и y=x+10.

Решение:

Первая линия является параболой, вторая - прямой. Для построения параболы преобразуем ее уравнение: у=х2-2 2,5х+2,52-2,52-6; у=(х-2,5)2-

12,25; у+12,25=(х-2,5)2.

Из последнего уравнения следует, что вершина параболы находится в

точке

(2,5; -12,25), а ось симметрии параллельна оси Оy. Найдем точки пересечения этих линий

	2
y = x		− 5x − 6			6 ± 36 + 64
			x 2 − 5x − 6 = x +10, x 2 − 6x −16 = 0, x1,2	=				,
y = x +10				2

x1=-2, x2=8, y1=8, y2=18.

Сделаем чертеж:

•	90
•