Практикум_по_математическому_анализу

4. Доказать, что функция f (x) непрерывна в точке x0 .

а). f ( x) = 3x 2 − 3, x0 = 4.

б). f ( x) = 2x 2 − 4, x0 = 3.

Дополнительные задания

1.Вычислить:

1). lim

1 −

cos x

.

2). lim

arcsin 2x

.

3).

lim

e4 x −1

.

x→0

x sin x

x→0 ln(e − x) − 1

x→0 sin(π (x / 2 + 1))

4). lim

1 + cos(x − π )

.

5) lim

3

x

− 1

.

6).

lim

tgπx

.

(e3x − 1)2

x→0

x→1 4 x − 1

x→−2 x + 2

1 − 2 cos x

1

1 − sin( x / 2)

7). lim

. 8).

lim

. 9).

lim(cosπx) ( x sin πx) .

x→π

π − x

x→π / 3

π − 3x

x→0

1

π

− x))ctgx .

10). lim(1 + sin 2 3x) ln cos x . 11).

lim(tg (

x→0

x→0

4

1

x + 2

cos x

lim(1 − x sin

2

ln(1+πx

3 )

12).

x)

.

13).

lim

.

x→0

x→0 x + 4

lim

2+ x

x

2

6 /(1+ x )

x2

sin 6x

− 1

lim

.

.

lim

e

.

sin 2x

14).

15). x→0

2

16).

x→0

2x

x

x→0

sin 3x

2. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции

				3sin x		при x < 0
3sin x		при x < 0
		при 0			2	при 0 ≤ x < 2
а) f (x) = 2x 2			≤ x < 2 . б) f (x) = 2x
x − 3 при x ≥ 2						при x ≥ 2
				x − 3
	3cos x		при x ≤ 0
в) f (x) =		− x	при 0 < x < 3
	2
		2 − 6x + 8	при x ≥ 3
	x

Производная функции в точке. Правила дифференцирования

•	21
•

1.Производная функции в точке. Ее геометрический и физический смысл.

2.Правила дифференцирования.

Теоретическая часть:

Производной функции в точке х0 называется число, равное пределу отношения приращения функции у к вызвавшему его приращению

аргумента х, при условии, что	х→0, т.е. f '(x0 ) = lim	y
			.
	x→0 x

Производная функции имеет несколько обозначений: у’,f’(x). Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной: производная f’(x0) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к

кривой у=f(x) в точке х0 kкас = f ' ( x ) .

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M(x0;y0) имеет вид y-y0=f′(x0) (x-x0).

Уравнение нормали к кривой y=f(x) в точке M(x0;y0) имеет вид

y-y0= −	1	(x-x0).
	f ' (x 0 )

Из задачи о мгновенной скорости следует механический смысл производной: производная пути по времени S’(t0) есть скорость точки в момент времениt0.

Таблица производных элементарных функций

1) (x k )/ = k x k −1

2) (

)/ =

1

x

2

x

/

1

4) (a x )/ = a x ln a

3)

(ln x)

=

x

5)

(e x )/ = e x

6) (sin x)/

= cos x

7)

(cos x)/ = − sin x

/

1

8) (tgx ) =

cos

2

x

/

1

/

1

9)

(ctgx )

= −

10) (arcsin x)

=

sin

2

x

1 − x 2

11)

12) (arctgx )/

=

1

(arccos x)/ = −

1

1 + x

2

1 − x 2

•

22

•

13) (arcctgx )/ = −	1		14) (log a x)/ =	1
	1 + x	2		x ln a

Кроме таблицы производных основных элементарных функций при нахождении производных пользуются следующими правилами:

(с=const, u=u(x), v=v(x))

1) c′=0 2) (u±v)′=u′±v′ 3) (cu)′=c·u′ 4) (uv)′=u′v+uv′

	u			/	u' v − uv'
5)				=			, v ≠ 0
					v	2
	v

Практическая часть:

1. Составить уравнения касательной и нормали к параболе у=х2-3х+5, проведенной в точке М(2, 3). Найти угол, образованный касательной с осью абсцисс.

Решение

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M(x0;y0) имеет вид

y-y0=f′(x0) (x-x0).

Уравнение нормали к кривой y=f(x) в точке M(x0;y0) имеет вид

y-y0= −	1	(x-x0).
	f ' (x 0 )

Известно х0=2, у0=3. Найдем производную у′=2х-3. Тогда при х=2 f′(x0)=f′(2)=4-3=1. y-3=1 (x-2); у=х+1–уравнение касательной. у-3=-1 (х-2); у=-х+5–уравнение нормали.

Производная функции в данной точке численно равна угловому коэффициенту касательной, поэтому

tgϕ =1 ϕ =45°.

Сделаем чертеж. Для этого перепишем уравнение параболы в виде у=х2-2 1,5х+1,52-1,52+5, или у=(х-1,5)2+2,75; у-2,75=(х-1,5)2.

Следовательно, вершина параболы лежит в точке (1,5; 2,75)

6	у
5
4
3
2	М
1

																х
3			2		1		0	1			2			3
2. Составить уравнения касательной и нормали к гиперболе																	x 2	−	y2	= 1 ,
																	9
																		8

•	23
•

проведенной в точке М(-9;-8).

Решение

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M(x0;y0) имеет вид

y-y0=f′(x0) (x-x0).

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M(x0;y0) имеет вид

	y-y0= −	1	(x-x0).
		f ' (x 0 )

Найдем f′(x0), используя производную неявной функции. Дифференцируем равенство для функции по х.

2x − 2y y' = 0, y y' = x , y' = f '(x) = 8x . Подставляя координаты точки

9 8 8 9 9y

М, получим f ' (x 0 ) = f '(−9) = 8 (−9) = 1. Следовательно

9 (−8)

у+8=1 (х+9), или у=х+1–уравнение касательной; у+8=-1 (х+9), или у=-х-17–уравнение нормали.

Сделаем чертеж, учитывая, что полуоси гиперболы а=3, b = 8 ≈ 2,8.

	у								5
									4
									3
									2
					х				1
10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	1	2	3	4	5	6
									1
									2
									3
									4
									5
									6
М									7
									8
									9
									10

Ответ: у=х+1–уравнение касательной; у=-х-17–уравнение нормали.

3. Найти производные данных функций в произвольной точке:

а) y = 1 + cos2 x 1 + sin 5x

Воспользуемся правилами и формулами нахождения производной:
- производная частного 2-х функций (	u	)′ =	u′ v − u v′
	v			v2
- производная сложной функции ( f (u(x)))′ =				f ′(u(x)) u′(x)
-формулами (sin x)′ = cos x (cos x)′ = − sin x				(x n )′ = n xn −1

•	24
•

	1 + cos2 x			(1 + cos2 x)′	(1 + sin 5x)− (1 + cos		2 x) (1 + sin 5x)′
y′ = (			)′ =					=
		1 + sin 5x			(1 + sin 5x)2
=	− 2cos x sin x (1 + sin 5x)− (1 + cos2 x) 5cos5x
				(1 + sin 5x)2
б) y = x arcsin 2x + arctg3x

Воспользуемся правилами и формулам нахождения производной: - производная сложной функции ( f (u(x)))′ = f ′(u(x)) u′(x)

- производная суммы 2-х функций (u + v)′ = u′ + v′

	- производная произведения 2-х функций (u v)′							= u′ v + u v′
	- формулами (arcsin x)′	=	1			(arctgx)′ =		1
								+ x2
			1 − x2
					1

(x arcsin 2x + arctg3x)′ = x′ arcsin 2x + x (arcsin 2x)′ + (arctg3x)′ = arcsin 2x +

+

2x

+

3

1 − 4x2

1 + 9x2

в)

y = 5sin 2 x − 3

x

tg 2x

Воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:

- производная сложной функции ( f (u(x)))′ = f ′(u(x)) u′(x)

-производная суммы 2-х функций

(u + v)′ = u′ + v′

- производная произведения 2-х функций (u v)′ = u′ v + u v′

-

формулами

(аx )′ = ах ln a

;

(tgx)′

=

1

;

(sin x)′ = cos x ;

cos2

x

(xα )′ = α xα −1

у′ = (5sin 2x − 3

tg 2x)′ = 5sin 2x ln 5 2cos 2x −

tg 2x

−

2 3 x

;

x

3 3 x2

cos2 2x

Решите самостоятельно:

а) у = (3х4 − cos 2x + e− x )5 б) y = x arcsin x + ecos x в)

y = ln

x2 + 4

2x − 3

sin x + 5x4

y =

x + 2

г) y = arctg

x2 − 4 д)

е)

y = 3

2x3 − 1

3x − 5

Задания для самосоятельного решения:

•	25
•

1. Составить уравнения касательной и нормали к

астроидеx = 2 cos3 t; y = 2 sin 3 t , проведенной в точке, для которой t= π/4.

2) Найти производную функции

		1 + 5х2						− x 2tg3x
	а) у =		б) y = ln 4 (x 2 + x 4 +1) в) y = 3 x
		2 + 5х2
			Дифференцирование сложной, обратной,
			показательно-степенной функции
		1.Дифференцирование сложной функции.
		2. Дифференцирование обратной функции.
		2. Логарифмическая производная.

Теоретическая часть:

Пусть переменная у есть функция от переменной u(y=f(u)), а переменная u в свою очередь есть функция от независимой переменной х: u=z(x). Тогда у называется функцией от функции или сложной функцией y=f(z(x)).

Производная сложной функции y=f(z(x)) находится по правилу:

y' = f z' z x' .

1) (x k )/ = k x k −1

3) (ln x)/ = 1 x

5) (e x )/ = e x

7) (cos x)/ = − sin x

	(		)/ =		1
2)		x
						x
	2

4) (a x )/ = a x ln a

6) (sin x)/ = cos x

8) (tgx )/ = 12 cos x

/			1							/						1
9) (ctgx )	= −								10)	(arcsin x)	=
			sin	2		x
														1 − x 2
11)										(arctgx )/	=	1
									12)
	1															2
(arccos x)/ = −												1 + x
	1 − x 2
13) (arcctgx )/			= −			1			14)	(log a x)/ =		1
						1 + x		2				x ln a

Практическая часть:

•	26
•

1. Найти производные

dy

функций, заданных в явном виде.

dx

y = 2

−

7

+ 3x 2 −

2

.

а)

x 3

x

x5

Предварительно запишем функцию в виде, удобном для

дифференцирования

у=2x3/2-7x-1+3x2-2x-5, тогда у′=3x1/2+7x-2+6х+10x-6=

= 3

+

7

+ 6х +

10

..

x

x 2

x 6

7

+ 6х +

10

.

Ответ: у' = 3 x +

x 2

x 6

б) у=e-x tg(7x6).

y′=( e-x)′ tg(7x6)+ e-x ( tg(7x6))′=

= e− x (−x)' tg(7x 6 ) + e− x

1

(7x

6 )' =

cos2

(7x 6 )

= −e− x tg(7x 6 ) +

42x5 e−x

.

cos2 (7x 6 )

Ответ: y' = −e− x tg(7x 6 ) +

42x5 e−x

.

cos2 (7x 6 )

в) y=arctg2(5x) ln(x-4).

y′=(arctg2(5x))′ ln(x-4)+ arctg2(5x) ( ln(x-4))′=

2

1

=2arctg(5x) ( arctg(5x))′

ln(x-4)+arctg (5x)

(x-4)′=

х − 4

= 2arctg(5x)

1

(5x)' ln(x −

4) +

arctg 2 (5x)

=

1 + (5x)2

x − 4

=

10arctg(5x) ln(x − 4)

+

arctg2 (5x)

.

1 + 25x 2

x − 4

Ответ: y' =

10arctg(5x) ln(x − 4)

+

arctg2 (5x)

.

1 + 25x 2

x − 4

г)

•	27
•

x

3

x

y = 5

(x + 4)3

+

= (x + 4)

5

+

.

tgx

tgx

3

3

−1

y' =

(x + 4) 5 +

(x)' tgx − x(tgx)'

=

5

tg 2 x

tgx −

x

=

3

(x + 4)− 2 / 5 +

cos2 x

=

5

tg 2 x

=

3

+

tgx cos

2 x − x

=

3

+

sin x cos x − x

.

2

tg 2 x cos2 x

55 (x + 4)2

sin

2 x

5(x + 4) 5

Ответ: y' =

3

+

sin x cos x − x

.

55 (x + 4)2

sin 2 x

д) y = sin3 (cos2 (x e3x )).

y' = 3sin 2 (cos2 (x e3x )) (sin(cos2 (x e3x ))' =

=3sin 2 (cos2 (x e3x )) cos(cos2 (x e3x ))

(cos2 (x e3x ))' = 3sin 2 (cos2 (x e3x )) cos(cos2 (x e3x ))

2 cos(x e3x ) (cos(x e3x ))'= 6 sin 2 (cos2 (x e3x ))

cos(cos2 (x e3x )) cos(x e3x ) (−sin(x e3x )) (x e3x )' =

=−6 sin 2 (cos2 (x e3x )) cos(cos2 (x e3x )) cos(x e3x )

sin(x e3x ) (e3x + xe3x 3).

Ответ:

y' = −6sin 2 (cos2 (x e3x )) cos(cos2 (x e3x )) cos(x e3x ) sin(x e3x ) e3x (3x +1).

Применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем обе части.

lny=cosx ln(tgx).

Продифференцируем обе части по х

y'	= −sin x ln(tgx) + cos x		1					1		;
							cos2 x
y				tgx
y' = y(−sin x ln(tgx) +		1		);
		sin x
y' = (tgx)cos x (−sin x ln(tgx) +						1			).
						sin x

•	28
•

dy

2. Найти производные dx функций, заданных в явном виде.

3

6

а) y =

4x 3

−

−

5 x 2 +

x

x

2

Предварительно запишем функцию в виде, удобном для

дифференцирования

у=4х3-3х-1-х2/5+6х-2,

тогда у′=12x2+3x-2-2/5x-3/5-12x-3= 12x 2

−

3

−

2

− 12x −3 .

x 2

55

x 3

Ответ:

y' = 12x 2 −

3

−

2

−

12

.

2

3

x

55 x3

x

б) у=ctgx arccos(2x3).

y′=(ctgx)′ arccos(2x3)+ctgx (arccos(2x3))′=

= −

1

arccos(2x 3 ) − ctgx

1

(2x 3 )' =

2

sin

x

1 − 4x 6

= −

arccos(2x 3 )

−

6x 2 ctgx

.

sin 2 x

1 − 4x 6

Ответ: y′= −

arccos(2x 3 )

−

6x

2 ctgx

.

sin

2

x

1 − 4x 6

в) y=arcsin5(2x) log2(3x+5).

y′=( arcsin5(2x))′ log2(3x+5)+arcsin5(2x) (log2(3x+5))′=

4	5		1
=5 arcsin (2x) (arcsin(2x))′ log2(3x+5)+arcsin		(2x)		3=
			3х + 5

5 arcsin 4 (2x)	1			(2x)' log		(3x + 5) +	3arcsin 5 (2x)		=
					2
	1 − 4x 2						3x	+ 5

=

10 arcsin 4 (2x) log

2

(3x + 5)

+

3arcsin 5 (2x)

.

1 − 4x 2

3x + 5

y' =

10 arcsin 4 (2x) log

2

(3x + 5)

+

3arcsin 5 (2x)

Ответ:

.

1 − 4x 2

3x + 5

3

(x − 1)7

x

2

= (x − 2)7 / 3 (x + 1)−5 +

x

2

г) y =

+

.

(x + 1)

5

sin x

sin x

•	29
•

7

4

7

2x sin x − x 2 cos x

y' =

(x − 1)

(x + 1)−5 + (x − 1)

(−5(x + 1)−6 ) +

=

3

3

3

sin 2 x

4

2x sin x − x 2 cos x

=

1

(x − 1)

(x + 1)−6 [7(x + 1) − 15(x − 1)] +

=

3

3

sin 2 x

4

2x sin x − x 2

=

(x − 1) 3 (22 − 8x)

+

cos x

.

3(x + 1)6

sin

2 x

4

2x sin x − x 2 cos x

Ответ: y' =

(x − 1) 3

(22 − 8x)

+

.

3(x + 1)

6

sin

2

x

sin(2 sin

xctgx ) cos

xctgx (x − cos x sin x)

Ответ: у′=

.

2 sin 2 x

xctgx

д) y=(sinx)arcsinx.

Применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем обе части.

lny=arcsinx lnsinx.

Продифференцируем обе части по х

y'

=

1

ln sin x + arcsin x

1

cos x;

y

1 − x 2

sin x

y' = y(

ln sin x

+ ctgx arcsin x);

1 − x 2

y' = (sin x)arcsin x (

ln sin x

+ ctgx arcsin x).

1 − x 2

Ответ:

y' = (sin x)arcsin x (

ln sin x

+ ctgx arcsin x).

1 − x 2

3. Найти производные указанного порядка

у=xln(1+3x)

у′′=?.

Решение:

1

3 = ln(1 +

3x) +

3x

y′=ln(1+3x)+x

1 + 3х

1 + 3x

y"=

3

+

3(1 + 3x) − 3x 3

=

3 + 9x + 3 + 9x − 9x

=

6 + 9x

.

(1 + 3x)2

(1 + 3x)2

1 + 3x

(1 + 3x)2

Ответ:

y' ' =

6 + 9x

.

2

(1 + 3x)

4. Найти производную y′ .

x

•	30
•