Практикум_по_математическому_анализу

1. Даны функция z=f(x,y), точка А(х0,у0) и вектор а(ах , ау ).Найти:

1)gradz в точке А;

2)производную в точке А по направлению вектора а . z=3x2y3+5xy2, A(1,1), а (2,1).

2.Даны функция z=f(x,y), точка А(х0,у0) и вектор а(ах , ау).Найти: 1)gradz в точке А;

2)производную в точке А по направлению вектора а . z=3x4+2x2y2), A(-1,2), а (4,-3).

Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования

1.Первообразная функции, неопределенный интеграл.

2.Свойства неопределенного интеграла, метод непосредственного интегрирования.

3.Метод подстановки.

Теоретическая часть:

Первообразная функции, неопределенный интеграл Определение: Первообразной функцией для данной функции f(x) на

данном промежутке называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом промежутке.

Теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое.

Определение: Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dx и обозначается символом

∫f(x)dx .

При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением.

Основные свойства неопределенного интеграла

I. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

II. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

III. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. если постоянная А ≠ 0, то

∫ Аf (x)dx = A∫ f (x)dx .

•	71
•

IV. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е. если, например, функция f(x), g(x), h(x) непрерывны в интервале (a,b), то

∫[f (x) + g(x) − h(x)]dx = ∫ f (x)dx + ∫g(x)dx − ∫h(x)dx

при х (a,b).

Зная формулы для производных основных элементарных функций, можно составить таблицу неопределенных интегралов (первообразных), которую мы дополним еще несколькими часто встречающимися интегралами.

Таблица основных интегралов (ТОИ)

1.

∫1 dx = ∫dx = x + C

а

х

а+1

dx

2.

∫

х dx

=

+ С , а

≠ -1 ∫

= х

+ С

а + 1

2 х

3.

∫

dx

= ln |x|+C

х

4.

∫ахdx =

ах

+ С (∫ехdx = eх + С)

ln a

5.

∫cos xdx = sin x + C (т.к. (sin+C)'=соsx)

6.

∫sin dx = − cos x + C

∫sin axdx = −

cos ax

+ С

а

7.

∫

1

dx = ∫

dx

= tgx + C

соs 2 х

cos2 х

8.

∫

1

dx = ∫

dx

= −сtgх + С

sin2 х

sin2 х

9.

∫

dx

= arcsin x + C

1 − х

2

10.

∫

dx

= arcsin x + C

1 + х2

11.

∫

dx

= arcsin

х

+ С

2

2

a

−

х

а

∫

dx

12.

= ln

х +

х2 + а

+ С, а R

2

х

+ а

1

х

13.

∫

dx

=

arctg

+ С

а

2

2

+ х

а

а

14.

dx

= ln

tg

х

+ С

∫sin x

2

Методы непосредственного интегрирования и подстановки

•	72
•

Метод интегрирования с помощью этой таблицы и свойств неопределенных интегралов обычно называют методом «непосредственного» интегрирования.

Одним из самых сильных методов интегрирования является метод подстановки. В его основе лежит легко проверяемая формула:

∫g(ω(x))ω′(x) =

t = ω(x)

= ∫g (t)dt = G(t) + C = G(ω(x)) + C

dt = ω′(x)dx

Эту формулу надо применять тогда, когда первообразная для g(t)

известна или легко находится.

Практическая часть:

1. Найдите неопределенные интегралы.

а) ∫(2x 5 − 3 x + 3)dx

Решение:

1

3 dx + 3∫dx = 2

x5 +1

x

1

3 +1

+ 3x + C =

∫(2x

5 − 3 x + 3)dx = 2∫x5 dx − ∫x

−

1

5 + 1

3

+ 1

x

6

3

4

−

x 3 + 3x + C.

3

4

x6

Ответ: ∫(2x

5 − 3

+ 3)dx =

−

3x3 x

+ 3x + C.

x

3

4

b) ∫

ln 6 x

dx

x

Решение:

Применим замену переменной.

6

ln x = t

ln

x

t

7

ln

7

x

∫

dx =

= ∫t 6 dt =

+ C =

+ C.

dx

= dt

x

7

7

x

6

Ответ: ∫

ln

x

dx =

ln7 x

+ C.

x

7

x −1

dx

с) ∫

x

2

+ 4x

+ 8

Решение:

Выделим в подкоренном выражении полный квадрат.

•	73
•

∫

x −1

dx = ∫

x − 1

dx = ∫

x − 1

dx =

2

( x + 2 )2 − 4 + 8

( x + 2 )2 + 4

x + 4x + 8

x + 2 = t

t − 3

tdt

dt

dx = dt

=

∫

dt =

∫

− 3

∫

= I1 − 3I2 .

2

2

2

t + 4

t + 4

t

+ 4

x = t − 2

t 2 + 4 = z

1

tdt

1

dz

1

z − 1

1

z 2

1) I

=

=

2tdt = dz

=

=

2 dz =

=

= t 2 + 4 .

z

1

∫ t 2 + 4

2 ∫ z

2 ∫

1

2

tdt =

1

dz

2

2

∫

dt

2)

I

2

=

= ln( t +

t 2 + 4 ).

2

t

+ 4

Таким образом

x −1

dx =

t 2 + 4 − 3ln( t +

t 2 + 4 ) + C =

∫

x

2 + 4x + 8

=( x + 2 )2 + 4 − 3ln( x + 2 + ( x + 2 )2 + 4 ) + C =

= x 2 + 4 x + 8 − 3ln( x + 2 + x 2 + 4 x + 8 ) + C.

Ответ: ∫			x −1
					dx = x2 + 4 x + 8 − 3ln( x + 2 + x2 + 4 x + 8 ) + C.
		x	2
			+ 4x + 8

2.Найдите неопределенные интегралы.

∫3x 2 − 5х + 2 dx

а) 3x 2

Решение:

(3x

2

− 5x

+ 2)

3x

2

5x

2

4

1

− 2

∫

∫

∫

∫

3 2

dx =

∫

−

+

dx =

3 dx − 5

3 dx + 2

3 dx =

x

2

2

2

3 x

x

x

x

3

x 3

x

3

4

+1

1

+1

− 2

+1

9x

7

15x

4

1

x 3

x 3

x

3

3

3

3

− 5

+

2

+ C =

−

+ 6x 3 + C =

4

1

+ 1

−

2

+ 1

7

4

3 + 1

3

3

3

(36х2 − 105х + 168)+ С.

=

х

28

(3x 2 − 5x + 2)

3

(36х2 − 105х + 168)+ С.

Ответ: ∫

х

dx =

3

x 2

28

•	74
•

b) ∫1 +х2х3 dx

Решение:

Применим замену переменной.

х2

1 + x3 = t

∫

3x 2dx = dt

1

∫

dt

1

1

ln | 1 + х3 | +C.

dx =

=

=

ln | t | +C =

1 + х3

3

t

3

3

x 2dx =

1

dt

3

Ответ: ∫

х2

dx =

1

ln | 1

+ х3 | +C.

1 + х3

3

3x − 4

dx

с)

∫

2

+ 6x + 10

x

Решение:

Выделим в подкоренном выражении полный квадрат.

∫

3x − 4

dx =

∫

3x − 4

dx = ∫

3x − 4

dx =

x 2 + 6x + 10

(x + 3) 2

(x + 3)2

− 9 + 10

+ 1

x + 3 = t

3t − 13

tdt

dt

dx = dt

=

∫

dt = 3

− 13

= 3I1 − 13I 2 .

x = t − 3

t 2 + 1

∫

t 2 + 1

∫

t 2 + 1

t 2 +1 = z

− 1

1

I1 = ∫

tdt

1

∫

dz

1

∫z

1

z 2

1)

= z = t 2 +1.

=

2tdt = dz

=

=

2 dz =

2

2

2

1

t

2

+1

z

tdt =

1

dz

2

2

2) I2 = ∫

dt

= ln(t +

t 2 + 1).

2

t + 1

Таким образом

∫

2

− 4

3x

dx = 3 t 2 + 1 − 13ln(t +

t 2 + 1) + C =

x + 6x + 10

=3(x + 3)2 + 1 − 13ln(x + 3 + (x + 3)2 + 1) + C =

=3x 2 + 6x + 10 − 13ln(x + 3 + x 2 + 6x + 10 ) + C.

Ответ: ∫

3x − 4

dx = 3 x 2 + 6x + 10 − 13ln(x + 3 + x 2 + 6x + 10 ) + C.

x

2

+ 6x + 10

∫

1 + x 3 − 5х3 х

dx

d)

х

Решение:

•	75
•

						3					3													3					3
		(1 + x − 5x х)																1					x				5x		4							− 12			5 2	5 6
∫																dx = ∫					1	+	1			−		1			+	dx = ∫x						dx + ∫x		dx − 5∫x	dx + =
								х
																		x			2		x	2			x		2
			−	1	+1					5			+1				5		+1											7				11
	x			2			+			x 2						− 5	x 6				+ C = 2x					12	+		2x 2					−	30x 6		+ C =
		1								5							5
−				2 + 1								+ 1						+ 1												7				11
										2							6

= 2х + 2 х3 х − 30 х6х5 + С.

711

Ответ: ∫

(1 + x 3 −

5x3 х)

dx = 2

+

2

х3

−

30

х6

х

х

х5

+ С.

х

7

11

5

∫

arctg x

dx

e)

2

1 + x

Решение:

Применим замену переменной.

arctg5 x

arctgx = t

t 6

arctg 6 x

∫

=

= ∫t 5 dt =

+ C =

+ C.

dx

dx

= dt

1 + x 2

6

6

1 + x 2

5

6

Ответ: ∫

arctg

x

dx =

arctg

x

+ C.

2

1 + x

6

3x + 2

dx

k) ∫ x 2

− 4x + 3

Решение:

Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат.

x 2 − 4x + 3 = x 2 − 2 2 x + 22 − 22 + 3 = (x − 2)2 −1

3x + 2

3x + 2

x − 2 = t

∫

= ∫

dx =

dx = dt

=

dx

x

2

− 4x

+ 3

(x − 2)

2

− 1

x = t + 2

3t + 8

dt = 3

tdt

+ 8

dt

= 3I1 + 8I2 .

∫ t

∫ t 2 − 1

∫ t 2 − 1

2 − 1

tdt

t 2

− 1 = z

1

dz

1

1

1

=

=

2tdt = dz

=

=

ln | z |=

ln | t 2

− 1 |=

=

I

1

ln

(x − 2)2 − 1

∫ t 2 − 1

2 ∫ z

2

2

2

1)

tdt =

1

dz

2

=1 ln | x 2 − 4x + 3 | . 2

2) I

=

dt

= −

dt

= −

1

ln

1 + t

=

1

ln

1 − t

=

1

ln

1 − x + 2)

=

1

ln

3 − x

.

2

∫ t 2 − 1

∫12 − t 2

2 1

1 − t

2

1 + t

2

1 + x − 2)

2

x −1

Таким образом

•	76
•

3x + 2

dx =

3

ln | x 2 − 4x + 3 | +4 ln

3 − x

+ C.

∫ x 2 − 4x + 3

2

x − 1

Ответ: ∫

3x + 2

3

ln | x 2

3 − x

dx =

− 4x + 3 | +4 ln

+ C.

x

2

− 4x + 3

x − 1

2

3. Найти неопределенные интегралы.

а) ∫

3 + 3 x

2

− 2x

dx

x

б) ∫

sin x

dx

cos

3

x

c) ∫cos2 2x sin2 2xdx

Задания для самосоятельного решения:

Найти неопределенные интегралы.

а) ∫		x3 − 3x 4 + 2				dx б) ∫			ln x		dx в) ∫cos5 x sin 2 xdx
		x							x
г) ∫		4x 3 −		+ 4	dx д)		∫ecos x sin xdx е) ∫cos4 x sin 2 xdx
			x
		x 2

Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям основан на применении следующей формулы:

∫udv = uv − ∫vdu,

где u(x),v(x)- непрерывно дифференцируемы на промежутке Х. Эта формула обычно бывает, полезна при интегрировании функций вида:

(ax + b)k sinαx	(u=(ax+b)k)
(ax + b)k cos βx	(u=(ax+b)k)
(ax + b)k ln x	(u=lnx)
(ax + b)k eαx	(u=(ax+b)k)
xk arctgx	(u=arctgx)
xk arcsin x	(u=arcsinx)

Способы интегрирования дробей вида Pn (x) ,

Qm (x)

•	77
•

Pn (x) , где Pn (x) - многочлен n-ой степени от х, Qm (x) - многочлен m-

Qm (x)

ой степени от х.

1.n≥m. В этом случае дробь называется неправильной. Разделив числитель на знаменатель, выделим целую часть (многочлен степени n- m- Rn-m(x)), получим:

Pn (x)

= Rn − m (x) +

P*k (x)

, где k<m

P*k (x)

- правильная дробь.

Q (x)

Q (x)

Q (x)

m

m

m

2. n<m- имеем правильную дробь. Остановимся сначала на

интегрировании «простых» дробей, их четыре типа.

Ι.

А

.

ΙΙ.

А

, k=2,3,…

.

(х − а)

k

х − а

ΙΙΙ .

Mx + N

. ΙV .

Mx + N

,

m=2,3,….

(x2

+ px + q)m

x 2 +

px

+ q

При этом x2 + px + q не имеет действительных корней, т.е.

D=p2-

4q<0.

А

dx

d (x − a)

=

(формула 3

Ι.

dx = A

=

d (x − a) = 1 dx

=A

∫

х − а

∫ x − a

∫

x − a

ТОИ)= Aln

x − a

+ C.

ΙΙ.∫

А

dx = A∫

dx

=A∫(x − a)− k d (x − a) =

(х − а)k

(x − a)k

= (формула 2 ТОИ) =

(x − a)k +1

A

A

+ C =

+ C.

(1 − k)(x − a)k −1

− k + 1

ΙΙΙ. Для интегрирования дробей третьего типа поступаем

следующим образом (покажем на примере).

J= ∫

3х + 1

dx

а)

находим

х2 + 4х + 9

(х

+ 4х + 9) = 2х + 4

и

производную от знаменателя:

2

′

числитель представляем так:

3х+1=

3

2х + 1 =

3

(2х + 4 − 4) + 1 =

3

(2х + 4) − 6 + 1 =

3

(2х + 4) − 5.

2

2

2

2

3

(2х + 4) − 5

J= ∫

2

dx = (по свойству 3 получаем)=

х2 + 4х + 9

3

∫

(2х + 4)dx

− 5∫

dx

3

=

J1 − 5J 2.

2

х2 + 4х + 9

х2 + 4х + 9

2

В первом интеграле делаем подстановку:

t= х2 + 4х + 9 dt = (2x + 4)dx, которая приводит его к виду:

3

∫

dt

=

3

ln

t

+ C = (формула 3 ТОИ)=

3

ln

x2 + 4x + 9

+ C.

2

t

2

2

•	78
•

Во втором интеграле выделяем полный квадрат в знаменателе дроби: х2 + 4х + 9 = х2 + 2 2х + 22 − 22 + 9 = (x + 2)2 + 5 и делаем подстановку

t=x+2 dt=dx. Получаем:

∫

dx

= ∫

dx

=

t = x + 2

= ∫

dt

= (формула 13 ТОИ)=

dt = dx

х2 + 4х + 9

(х + 2)2 + 5

t 2 + 5

1

arctg

1

+ C =

1

arctg

x +

2

+ C.

5

5

5

5

3

ln(x2 + 4x + 9) −

arctg

x +

2

+ C.

5

Окончательный результат: J= 2

5

ΙV . Дроби четвертого типа интегрируются в той же последовательности, что и дроби третьего типа, кроме того, применяется рекуррентная формула:

J n +1 =

1

x

+

2n − 1

J n , где обозначено Jn

= ∫

dx

.

2na2

(x2 + a2 )n

2na2

(x2 + a2 )n

Зная, что

J1 = ∫

dx

1

x

, находим:

=

arctg

+ C

x2 + a2

a

a

1

x

1

1

x

x

1

x

J

2 =

+

arctg

+ C

=

+

arctg

+ C.

2a

2

x

2

+ a

2

2a

2

a

2a

2

(x

2

+ a

2

3

a

a

) 2a

По этой же формуле при n=2 находим:

1

x

3

1

x

1

x

J 3

=

+

+

arctg

+ C =

4a 2

(x 2 + a 2 )

4a 2

x 2 + a 2

2a 3

a

2

2a 2

=

1

x

+

3

x

+

4a 2

(x 2 + a 2 )2

8a 4

x 2 + a 2

3

arctg

x

+ C и т.д.

8 a

5

a

Таким образом, можно вычислить Jn для любого натурального n.

2. Пусть теперь P (x)

Q (x)

- правильная дробь. Не теряя общности,

можно считать, что старший коэффициент Q(x) равен 1 (иначе его можно вынести за скобки и за знак интеграла).

Тогда Q(x)= (x − a)k ... (x − b)l (x2 + px + q)m ... (x2 + rx + s)n , (1) где

а,.., b - действительные корни многочлена, а квадратные трехчлены не имеют действительных корней.

Теорема: Если знаменатель дроби Q(x) имеет разложение (1), то дробь разлагается на сумму простых дробей:

P (x)

A1

A2

Ak

B1

B2

Bl

=

+

+ ... +

+ ... +

+

+ ... +

+ ...

Q (x)

(x − a)k

(x − a)k −1

x − a

(x

− b)l

(x − b)l −1

x − b

i

+

M1x + N1

+ ... +

M m x + Nm

+

E1x + F1

+ ... +

En x + Fn

, где А

, А

,..., Е

, Е −

(x2 + px + q)m

x2 + rx + s

x2 + px + q (x2 + rx + s)n

1

2

1

n

•	79
•

Практическая часть:

1. Найдите интеграл:

																					a) ∫xcos															2				xdx
																																				3
																														Решение:
Применим формулу интегрирования по частям.
																						∫udv = uv − ∫vdu.
												u = x; dv = cos												2			xdx;
				2																3
	∫xcos					xdx =																																							2		x								=
																																									sin
																												2																					3			2
			3									du = dx; v = ∫cos																			xdx =														3			=
																																																				sin		x.
																																								2
																												3																	3				2			3
=		3	x sin		2		x −		3		∫sin				2	xdx =					3	x sin								2			x +				9		cos					2		x + C.
															3
2			3					2												2								3								4									3
Ответ: ∫xcos										2				xdx =			3	x sin					2			x +							9	cos							2	x + C.
								3							2					3											4									3
																				b) ∫											7x − 2
																																											dx
																										(x -1)(x										2		+ 4)
																														Решение:
Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби.
			7 x − 2													x2				+ 4													x − 1
														=								A							+												Bx + C
	( x − 1 )( x2																			x − 1																					x2 + 4
								+ 4 )
Приравнивая числители, получим
7x-2=A(x2+4)+(x-1)(Bx+C),																												приравниваем																								коэффициенты				при
одинаковых степенях.
	x2			A + B = 0
	x		− B + C = 7 . Складывая все уравнения, получим 5А=5; А=1; В=-

14 A − C = −2

А=-1; С=4А+2=6.

Следовательно

7 x − 2

=

1

+

− x + 6

.

( x − 1 )( x2 + 4 )

x − 7

x2 + 4

7 x − 2

dx =

dx

−

xdx

+ 6

dx

= I

− I 2

+ 6 I3 .

1

∫( x − 1 )( x2 + 4 )

∫x − 1

∫x

2 + 4

∫x2

+ 4

c) ∫xsin 54 xdx

Решение:

•	80
•