Практикум_по_математическому_анализу

	− 1 +	8	= 0.
		x 3
	x 3 = 8

x = 2 [1;4]

Производная не существует при х=0 [1;4] 3. Находим значения функции в точках х=1, х=2, х=4.

у(1)=4-1-4=-1; у(2)=4-2-1=1;

у(4)=4-4-1/4=-0,25.

4. Выбираем наименьшее и наибольшее значения унаим=у(1)=-1,

унаиб=у(2)=1.

Ответ: унаим=у(1)=-1, унаиб=у(2)=1.

3.Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

Решение

Сделаем чертеж

h 2r

Для того, чтобы окно пропускало наибольшее количество света, нужно сделать площадь окна максимальной. Выразим площадь окна через h и

r. S=2 h r+πr2/2

По условию известен периметр

P=2h+2r+πr=a

Отсюда

a − πr − 2r

h=

2

Подставляя в выражение для площади, получим

S=(a-πr-2r) r+πr2/2=ar-2r2-πr2/2=ar-(2+π/2)r2=ar- (4 + π)r 2 . 2

•	51
•

Исследуем эту функцию при r [0,

а

]. (При больших значениях r

π + 2

получим h<0).

dS

= a − (4 + π)r = 0;

dr

r =

a

.

4 + π

Вычислим значения S в точках r=0,

a

,

a

4 + π

2 + π

S(0)=0;

a

a

(4 + π)

a

2

a

2

1

a

2

S(

)=a

-

=

(1 −

) =

≈ 0,07a 2 .

+ π

(4 + π)2

2(4 + π)

4 + π

4

2

(4 + π)

2

S(

a

)=a

2 + π

a

−

4 + π

a 2

=

a 2

(4 + 2π − 4 − π ) =

a 2π

≈ 0,059a 2

(2 + π )2

2(2 + π )2

2(2 + π )2

2 + π

2

Таким образом наибольшее значение площади получится при r=

a

,

4 + π

a − (2 + π)r

=

a

(1 −

2 + π

) =

a

. Таким образом ширина

4 + π

при этом h=

2

2

4 + π

оптимального окна (2r) в два раза больше высоты.

Задания для самосоятельного решения:

1. Найти производные заданных функций:

1) y = arctg x2 − 4 2) y = e3x − 2xtg 2 3x 3) y = ln 5 + 25 + x2 x

2.Вычислить приближенное значение 4,0021/2

3.Найти полный дифференциал функции z=(2x-y)cos(3x+2y)

4.а) Провести полное исследование функции у = х + 33х2 и построить

её график.

б) Провести полное исследование функции у=х3+3х2+3 и построить её график. Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х0=1.

Функция двух переменных, ее дифференцирование

1.ОДЗ функции двух переменных.

2. Частные и полное приращение функции двух переменных.

3.Частные производные функции двух переменных, ее дифференциал первого порядка

Теоретическая часть:

•	52
•

Определение: Отображение f некоторого подмножества Df двумерного евклидового пространства R2 во множество R называют действительной функцией 2-х действительных переменных.

Df называют областью определения функции f.

Так как Df R2 , то геометрическим образом Df явл множество точек плоскости.

Обозначение: f: Df→R или f: (x,y)→z или z=f(x,y), где (x,y) Df, а z R. (х,у) – значение аргумента, z – значение функции.

Пусть при f: (х0,у0)→z0 , тогда (z0) называют значением f в точке (х0,у0)

и пишут: z0=f(х0,у0).

Определение: Множество всех значений функции называется множеством значений функции и обозначают Ef = {z R| z=f(x,y), где

(x,y) Df}.			Графиком функции z=f(x,y)	двух переменных,
Определение:
определенной на множестве Df называется множество
Г	f	= {(x,y,z) R3 | z=f(x,y)где (х,у) D }.
			f

Геометрически: Гf – множество точек 3-х мерного пространства.

Предел и непрерывность функции 2-х переменных Определение: Пусть Р0(х0,у0) – предельная точка Df функции z=f(x,y).

Число А наз пределом функции z= f(x,y) в точке Р0(х0,у0) (или при х→ х0, у→

у0), если ( ε>0)( δ>0)( (x,y) Df | (x,y)≠ (х0,у0) ^	|x-х0|<δ ^ |y-y0|<δ)
|f(x,y)-A|<ε.
Для предела функции 2-х переменных справедливы аналоги теорем о
пределе суммы, произведения и частного 2-х функций.
Определение: Функция 2-х переменных z=f(x,y)	наз непрерывной в

точке Р0(х0,у0), если предел этой функции в точке Р0 равен её значению в этой точке.

Определение: Пусть z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки Р0(х0,у0), тогда разнность z=f(х0+ x, y+у0)-f (х0,у0) называется полным приращением функции.

Определение: z=f(x,y) называется непрерывной в точке Р0(х0,у0), если бесконечно малым приращениям аргумента x и у соответствует бесконечно малое приращение функции.

Для функции 2-х переменных справедливы аналоги теорем о непрерывности суммы, произведения, частного функций, сложной функции и др.

Пусть z=f(x,y) f 'x

• f 'x

•

f ' y

Частные производные

определена в некоторой окрестности точки Р0(х0,у0).

	(x0 y0 ) = z'x =			∂z
				∂x
	(x0 y	0 ) = lim	f (x0 + x, y0 ) − f (x0 y0 )
			53			x
		x→0
	(x0 y	0 ) = lim	f (x0 , y			0 + y) − f (x0 y0 )
						y
		y →0

Зафиксируем у=у0. Тогда z=f(x,y) – функция одной переменной х. Если существует ее производная в точке х, то она называется частной производной функции z=f(x,y), по х в точке (х0,у0) и обозначается:

Механическое толкование частной производной

Частную производную fx’(х0,у0) функции z=f(x,y) можно толковать как скорость изменения функции в точке Р0(х0,у0) относительно переменной х.

Например, если сила тока I=U/R, то Iu’=1/R – скорость изменения силы тока в зависимости от изменения напряжения при постоянном сопротивлении.

IR’=-U/R² - скорость изменения силы тока в зависимости от изменения сопротивления при постоянном напряжении.

Геометрическое толкование частной производной 2-х переменных

Частная производная fx’(х0,у0)( fy’(х0,у0)) – угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности z=f(x,y) и плоскости y=у0 (x=х0) в соответствующей точке.

Дифференцируемые функции и их свойства

Определение: Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке Р0(х0,у0), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

	z=A x+B y+α( x, y) x+β( x, y) y,
где А и В – числа, независящие от			х и	у, а α(	х,	у)→0 и β( х,	у)→0 при
х→0 и у→0.
Теорема1:	Если функция		дифференцируема			в ( )Р0(х0,у0), то она
непрерывна в этой точке.
Замечание: обратное утверждение неверно, т.е из непрерывности
функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.
Теорема2:	функция	дифференцируема в			( )Р0(х0,у0),то		она имеет
частные производные в этой точке.
Теоремы	1,2	явлляются		необходимыми			условиями

дифференцируемости функции.

Теорема 3: (достаточное условие дифференцируемости функции)

Если z=f(x,y) имеет частные производные в некоторой окрестности точки Р0(х0,у0) и они непрерывны в самой точке Р0, то функция дифференцируема в точке Р0.

Полный дифференциал функции

•	54
•

Пусть z=f(x,y) дифференцируема в точке Р0(х0,у0), тогда ее приращение в этой точке можно определить в виде:

z= fx’(х0,у0)	x+ fy’(х0,у0)		y+α(		x, y)		x+β( x,	y) y,
где α( х,	у)→0 и β(		х, у)→0 при				х→0 и	у→0.
Если fх’(х0,у0)≠0		и fy’(х0,у0)≠0, то выражение fх’(х0,у0) х+ fy’(х0,у0) у
линейно относительно		х и		у, а	выражение			α( х, у) х+β( х, у) у
бесконечно малая функция более высокого порядка, чем
		ρ =		x 2 +	y 2

Определение: Главная часть приращения дифференцируемой в точке Р0(х0,у0) функции z=f(x,y), линейная относительно приращений независимых переменных х и у, называется полным дифференциалом функции двух переменных в точке Р0.

dz= fх’(х0,у0) х+ fy’(х0,у0) у

Применение полного дифференциала в приближенных

вычислениях

При достаточно малых | х| и | y| полагают z≈dz. Так как z=f(х0 + x,у0+ y)-f(х0,у0) ≈dz(х0,у0) , то

f(х0 + x,у0+ y)≈f(х0,у0) +dz(х0,у0).

Практическая часть:

1. Найти область определения функции: 1) z = ln(x 2 − y 2 − R 2 ), R f 0

2)z = x 2 − 4 + 4 − y 2

3)z = log(x 2 + y 2 −1)+ 16 − x 2 − y 2

Дана

функция

z=ln(3x2+2y3).

Найдите

∂z ∂z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z

2.

;

;

;

;

;

.

∂x

∂y

∂x 2

∂y2

∂x∂y

∂y∂x

Убедитесь, что

∂ 2 z

=

∂ 2 z

.

∂x∂y ∂y∂x

Решение

Найдем частные производные

∂z

=

1

(3х2

+ 2у3 )'x =

6х

;

∂z

=

1

(3х2 + 2у3 )'у =

6у

;

3х2 + 2у3

3х2 + 2у3

∂x 3х2 + 2у3

∂y 3х2 + 2у3

∂ 2 z

6х

'

6(3х2

+ 2у3 ) − 6x 6x

6(2у3 − 3x

2 )

=

=

=

;

2

2

3

2

3

2

2

3

2

∂x

3х

+ 2

у

(3х

+ 2у

(3х

+

2у

x

)

)

∂

2 z

6у

'

6(3х2

+ 2у3 ) − 6у 6у

6(3x 2 − 4у3 )

=

=

=

;

∂у

+ 2у

(3х

+ 2у

)

(3х

+ 2

у

)

2

3х

2

3

у

2

3

2

2

3

2

•	55
•

∂ 2 z

6х

'

0(3х2

+ 2у3 ) − 6х 6у

− 36xу

=

=

=

;

∂х∂у

3х

2

+ 2у

3

у

(3х

2

+ 2у

3

)

2

(3х

2

+ 2у

3

)

2

∂ 2 z

6у

'

0(3х2

+ 2у3 ) − 6у 6х

− 36xу

=

=

=

;

∂у∂х

3х

2

+ 2у

(3х

2

+ 2у

3

)

2

(3х

2

+ 2у

3

)

2

х

3

∂ 2 z

∂ 2 z

Следовательно, ∂x∂y

∂y∂x

=

.

∂z ∂z ∂

2 z ∂ 2 z ∂

2 z ∂ 2 z

Дана функция z=ln(x2+y2). Найдите

;

;

;

;

;

.

∂y2

∂x ∂y ∂x 2

∂x∂y ∂y∂x

∂ 2 z

∂ 2 z

Убедитесь, что ∂x∂y

=

∂y∂x

.

3.Дана функция z =

y

. Показать, что

(x

2

− y

2

)

5

∂z ∂z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂

2 z

) = 0.

F(x, y, z,

,

,

,

,

∂x ∂y ∂x 2

∂y

2

∂x∂y

F =

1

∂z

+

1

∂z

−

z

.

x

∂x

y

∂y

y2

Решение

Найдем частные производные

∂z

=

0 (x 2

− y2 )5 − y 5(x 2 − y

2 )4 2x

= −

10xy

;

∂x

(x 2 − y2 )10

(x 2 − y2 )6

∂z

=

1 (x 2

− y2 )5 − y 5(x 2 − y2 )4 (−2y)

=

x 2 + 9y2

.

(x 2 − y 2 )10

∂y

(x 2 − y2 )6

Тогда

1

10xy

1

x 2 + 9y2

y

F =

−

/

+

−

/

=

2

2

6

2

2

6

2/

2

2

5

x

− y

)

y

(x

− y

)

y

(x

− y

)

/

(x

=

− 10y2 + x 2 + 9y2 − (x 2 − y2 )

= 0.

y(x

2 − y2 )6

Что и требовалось доказать.

Дана функция z=

y 2

+ arcsin(xy) .

Показать, что

3x

∂z ∂z ∂

2 z ∂ 2z ∂ 2 z

= 0.

F(x, y, z,

,

,

,

,

)

∂y 2

∂x ∂y ∂x 2

∂x∂y

F = x 2

∂z

− xy

∂z

+ y2 .

∂x

∂y

•	56
•

Решение Найдем частные производные

∂z

= −

y2

+

1

(xy)'x

= −

y2

+

y

,

∂x

3x 2

3x

2

1 − (xy)2

1 − x 2 y2

∂z

=

2y

+

1

(xy)'y

=

2y

+

x

.

∂y

3x

1 − (xy) 2

3x

1 − x 2 y2

F = x 2 (−

y2

+

y

) − xy (

2y

+

x

) + y2 = −

y2

+

x 2 y

−

2y2

−

3x 2

1 − x 2 y 2

3x

1 − x 2 y2

3

1 − x 2 y2

3

−

x 2 y

+ y2

= 0.

1 − x 2 y2

Что и требовалось доказать.

Задания для самосоятельного решения:

1.Найти область определения функции: z = 1 + y − x 2 − 1 − y − x 2

2.Найти частные производные функций:

z = xe− xy

z = ln(x 2 + y 2 )

z = xy x 2 + y 2

3. Дана функция z= ln(x 2 + y2

+ 2x +1) . Показать, что

∂z ∂z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z

F(x, y, z,

,

,

,

,

) = 0.

∂y2

∂x ∂y ∂x 2

∂x∂y

F =

∂ 2 z

+

∂ 2 z

.

∂x 2

∂y2

Дифференцирование функции двух переменных, дифференциал функции двух переменных

1.Дифференцируемость сложно заданных функций.

2.Дифференциал функции двух переменных, приближенные вычисления.

Теоретическая часть:

Дифференцирование сложной функции

Ι. Пусть z=f(x,y) , где х=ϕ(t), y=ψ(t). Тогда z = f(ϕ(t),ψ(t)) = F(t)-

сложная функция, где t –независимая переменная, а х,у – промежуточные переменные.

•	57
•

Если функции x=ϕ(t) y=ψ(t) дифференцируемы в ( )t, а функция z=f(x,y) дифференцируема в соответствующей точке (х,у), то сложная

функция z=F(t) дифференцируема в					( )t, причем
	dz	=	∂ z		dx	+	∂ z		dy	(*)
	dt		∂ x		dt		∂ y		dt

ΙΙ. Пусть z=f(u,v), где u=u(x,y), v=v(x,y). Тогда z=f(u(x,y), v(x,y))=F(x,y)

– сложная функция, где х, у – независимые переменные, а u,v- промежуточные.

Пусть функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемымы в точке (х,у), а функция z=f(u,v)- точке (u,v), тогда сложная функция z=F(x,y)- дифференцируема в точке (х,у).

Найдем ее частные производные. Для этого сначала зафиксируем у, тогда функции u и v будут функциями одной переменной х. В этом случае

применяя формулу (*), получим

dz

=

∂ z

du

+

∂ z

dv

dx

∂ u

dx

∂ v

dx

Аналогично, зафиксировав х, получим

dz

=

∂ z

du

+

∂ z

dv

dy

∂ u

dy

∂ v

dy

Дифференциал сложной функции

1. Пусть z=f(x,y), где х и у –независимые переменные, тогда

dz =	∂ z	dx	+	∂ z	dy
				∂ y
	∂ x

2.Пусть z=f(x,y), где х и у –зависимые переменные т.е x=x(u,v)

y=y(u,v). Тогда z=f(x(u,v),y(u,v))=F(u,v) – сложная функция, где u,v –

независимые переменные. По 1-му случаю

•

∂ z

∂ z

58

•

dz =

du +

d v

∂ u

∂ v

dz

=

∂ z dx

+

∂ z dy

dv

∂ x dv

∂ y dv

Где х и у –промежуточные переменные.

dz	=	∂ z		dx	+	∂ z		dy
du		∂ x		du		∂ y		du

Практическая часть:

dz = ( ∂z dx + ∂z dy )du + ( ∂z dx + ∂z dy )dv = ∂z ( dx du + dx dv) + ∂z ( dy du + dy dv) =

∂x du ∂y du

∂x dv

∂y dv

∂x du

dv

∂y

du

dv

=

∂z

dx +

∂z

dy

∂x

∂y

1. Найти полные дифференциалы функций:

1). z = e xy (x + y), z = ln(1 + e x + y 2 ),

z = x y + y x

2). z = ln(x 2 +

);

z = 3sin (2 x+3 y ) ;

z = 4

(3x − 2 y)3

x 2 + y 2

;

3). z = (2x − y)cos(3x + 2 y); z = 3arcsin(2 + xy); z = 3ln(2x + 3

);

3x + 2 y

4). z = xy 2 arcsin

y

; z = x3 y cos(x 2 y 3 );

z = x ln(3x 2

+ 2

);

xy

x

x 2

z =

3arcsin

2

.

y

2. Дана функция z=f(x,y) и точка М0(х0,у0). С помощью дифференциала вычислить приближенное значение функции в данной точке. Оценить относительную погрешность вычисления.

z=x2+y2-2х+2у, M0(1,08;1,94).

Решение Найдем частные производные и дифференциал в любой точке

∂z	= 2x − 2;	∂z	= 2y + 2
∂x		∂y

dz = (2x − 2)dx + (2y + 2)dy

Вычислим его в точке М(1,2) при приращениях dx= x=1,08-1=0,08; dy= y=1,94-2=-0,06. dz=0·0,08+6·(-0,06)=-0,36.

Найдем z(M)=z(1,2)=1+4-2+4=7.

Тогда z = z(M 0 ) = z(M) + dz = 7 − 0,36 = 6,64.

Вычислим точное значение функции z в точке М0

z=1,082+1,942-2 1,08+2 1,94=6,65.

Найдем относительную погрешность

δ = z − z 100% = | 6,65 − 6,64 | 100% = 0,15%

z

6,65

Ответ: Приближенное значение z = 6,64. Относительная погрешность δ ≈ 0,15%.

3. Дана функция z=f(x,y) и точка М0(х0,у0). С помощью дифференциала

•	59
•

вычислить приближенное знчение функции в данной точке. Оценить относительную погрешность вычисления.

z=2xy+3y2-5x, M0(3,04;3,95).

Решение Найдем частные производные и дифференциал в любой точке

∂z	= 2y − 5	∂z	= 2x + 6y
∂x		∂y

dz = (2y − 5)dx + (2x + 6y)dy

Вычислим его в точке М(3,4) при приращениях dx= x=3,04-3=0,04; dy= y=3,95-4=-0,05.

dz=(2·4-5)·0,04+(2·3+6·4)·(-0,05)=-1,38. Найдем z(M)=2·3 4+3·42-5 3=57.

Тогда z = z(M 0 ) = z(M) + dz = 57 − 1,38 = 55,62.

Вычислим точное значение функции z в точке М0

z=2·3,04 3,95+3·3,952-5 3,04=55,624.

Найдем относительную погрешность

δ = z − z 100% = 55,624 − 55,62 100% = 0,007%
z	55,624

Ответ: Приближенное значение z = 55,62. Относительная погрешность δ ≈ 0,007%.

Задания для самосоятельного решения:

1. Найти полный дифференциал функции

sin(2x+3y)	;	z=(2x-y)cos(3x+2y); z= 4	(3x − 2 y)	3
z=3

2. Дана функция z=f(x,y) и точка М0(х0,у0). С помощью дифференциала вычислить приближенное знчение функции в данной точке. Оценить относительную погрешность вычисления.

z=x2+y2-4x+2y, M0(2,98;2,05).

Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных

1.Экстремум функции дух переменных. Критерий Сильвестра.

2.Наибольшее и наименьшее значении функции двух переменных на области.

Теоретическая часть:

Экстремум функции дух переменных. Критерий Сильвестра Определение: Если в некоторой окрестности (x0 − δ , x0 + δ ; y0 − δ ′, y0 + δ ′)

точки М0(х0,У0) выполняется неравенство

f (x0 , y0 ) > f (x, y)( f (x0 , y0 ) < f (x, y)) ,

то говорят, что функция z=f(x,y)имеет максимум (минимум) в точке М0 Теорема: (необходимые условия экстремума). Если дифференцируемая

функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке М0,то обе частные производные

•	60
•