Практикум_по_математическому_анализу

5. Найти функции по данным полным дифферинциалам:

,

Положительные числовые ряды, признаки их сходимости

1.Числовые ряды, общий член ряда.

2.Положительные числовые ряды, достаточные признаки сходимости положительных рядов.

Теоретическая часть:

1. Числовые ряды. Основные понятия

Определение: пусть имеем {аn}- действительные числа

∞

Тогда выражение вида а1+а2+а3+….аn+…. – числовой ряд ∑ аn

n=1

а1, а2, а3,…., аn,…. – члены ряда; аn - общий член ряда.

S1= a1; S2 = a1+a2; S3 = a1+a2+a3; Sn = a1+a2+....+an = Sn-1 + аn .

Каждый ряд порождает последовательность частичных сумм. Определение: S = limSn (конечный или бесконечный) называется

суммой ряда.

Определение: если S (-∞;+∞) , то ∑ аn- сходящийся; в противном случае расходящийся.

Свойства сходящихся числовых рядов Определение: ряд, членами которого являются члены ряда (*)

а1+а2+а3+…+an+ ... an+k...+... , начиная с (n+1), взятые в том же порядке, что и в (*), называются n-ным остатком ряда (*). Обозначается Rn.

∞

Теорема 1: ∑ an– сходится =>Rn – сходится, Ұ n.

n=1

∞

Теорема 2: Rn – сходящийся =>∑an – cходится

n=1

∞

∞

Теорема 3: ∑an - сходится и ∑bn –сходится тогда:

n=1	n=1
∞
∑( αan + βbn) –сходится
n=1
•	121
•

∞

Теорема 4:∑an - сходится => lim Rn= 0.

n=1

Теорема 5: ∑an - сходится => lim (Sn – Sn-1) = 0 <=> lim an = 0.

Ряды с положительными членами

Рассмотрим достаточные признаки сходимости положительных рядов:

Теорема 1:

∑an : аn≥0 и ∑bn : bn≥0; все an≤ bn => имеем: если

1). ∑bn - сходится => ∑аn - сходится.

2). ∑аn - расходится => ∑bn - расходится. Теорема 2: Предельная теорема сравнений.

∑аn и аn ≥0

и lim(an/bn) = k =>

∑bn и bn≥0;
=>k	(0;+∞)	и ∑аn- сходится	=> ∑bn- сходится
k	(0;+∞) и	∑bn- paсходится	∑аn- paсходится

То есть если k (0;+∞), то оба ряда ведут себя одинаково.

Таблица сходящихся и расходящихся положительных рядов.

Сходящиеся ряды		Расходящиеся ряды
1). Геометрическая прогрессия (|q|<1)	1). Геометрическая прогрессия (q≥1)
∑bqn = b + b*q + ... = b/1-q	∑bqn = b + b*q + ...
2). ∑(1/ns ) = 1 + 1/2s + 1/3s...= (при	2). ∑(1/ns ), S≤1
S>1)
ПризнакДаламбера.
Теорема: ∑an : аn ≥0, и im(an+1/an) = d =>		d<1 =>рядсходится
		d>1 => ряд расходится

Определение: Положительный ряд, члены которого больше, либо равны соответствующих членов данного ряда, называется мажорантой.

Практическая часть:

•	122
•

1.Исследуйте числовой ряд на сходимость.

∑∞ 5n (n +1)!.

n=1 (2n)!

Решение:

Применим признак Даламбера.

Пусть

P = lim

a n +1

, тогда если P<1, то ряд сходится; если P>1, то ряд

n→∞ a

n

расходится; если P=1, то требуется дополнительное исследование.

Найдем:

2

a n +1

5n +1 (n + 2)!

(2n)!

5(n + 2)

5n(1 +

)

=

=

=

n

.

a n

5n (n +1)!

(2n + 2)!

(2n +1)(2n + 2)

n

2

(2 +

1

)(2

+

2

)

n

n

5(1 +

2

)

P = lim

n

= 0 <1 , Следовательно, ряд сходится.

1

2

n→∞

+

)(2 +

n(2

)

n

n

2. Исследуйте числовой ряд на сходимость.

∑∞ n 2 3n

.

n =1 (n + 2)!

Решение:

Применим признак Даламбера.

Пусть P = lim a n +1 , тогда если P<1, то ряд сходится; если P>1, то ряд

n→∞ a n

расходится; если P=1, то требуется дополнительное исследование.

Найдем:

		3(1 +	2	+	1	)
	P = lim		n		n 2		= 0 < 1	, Следовательно, ряд сходится.
	n→∞

n(1 + 3 ) n

3. Исследуйте числовой ряд на сходимость.

•	123
•

∞

2

∑

sin

n

.

2

n =1

n

Решение:

a n =

sin 2 n

=

1

Применим

признак

сравнения.

Пусть

;

bn

.

n

2

n

2

Очевидно,

что

∞

1

∞

1

аn ≤bn . Ряд ∑

- это обобщенный гармонический ряд

. Так как

2

∑n s

n =1

n

n =1

∞

∞

s=2>1, то ряд

∑bn сходится. По признаку сравнения ряд

∑аn

тоже

сходится.

n =1

n =1

Ответ: Ряд сходится.

4. Исследуйте числовой ряд на сходимость.

∞

2

∑

sin

n

.

2

n=1

n

Решение:

Применим

признак

сравнения.

Пусть

a n =

sin 2 n

=

1

;

b n

.

n

2

n

2

Очевидно,

что

∞

∞

1

- это обобщенный гармонический ряд ∑

1

аn ≤bn . Ряд ∑

. Так как

2

s

n =1

n

n =1

n

∞

∞

s=2>1, то ряд ∑b n сходится. По признаку сравнения ряд

∑аn

тоже

сходится.

n =1

n =1

Ответ: Ряд сходится.

5. Исследуйте числовой ряд на сходимость.

∞

1

5n

+ 1

n

∑ n

.

n =1

3

2n − 1

Решение:

Применим признак Коши.

Пусть l = lim

n a n , тогда если l<1, то ряд сходится; если l>1, то ряд

n →∞

расходится; если l=1, то требуется дополнительное исследование. Найдем:

•	124
•

n

1

5 n + 1 n

1

5 n + 1

l

= lim

n a

n

=

lim

=

lim

=

n → ∞

n → ∞

3 n 2 n − 1

n → ∞ 3 2 n − 1

n ( 5 +

1

)

/

n

5

=

lim

=

< 1 .

1

6

n → ∞ n ( 6 −

)

/

n

Следовательно, ряд сходится

1.Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.

2.Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Даламбера:

3.Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Коши:

Задания для самосоятельного решения:

1. Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.

2.Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Даламбера:

3.Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Коши:

Произвольные ряды. Абсолютно сходящиеся ряды. Знакочередующиеся ряды, их свойства и приложения

•	125
•

1.Положительные числовые ряды, достаточные признаки сходимости положительных рядов.

2.Знакочередующиеся ряды и их свойства.

3.Приближенные вычисления с помощью рядов.

4.Исследование произвольных рядов на сходимость.

Теоретическая часть:

Признак Коши

Теорема: ∑an : аn ≥0, и limn√an = с => c<1 – ряд сходится c>1 – ряд расходится

Интегральный признак сходимости Коши.

∞	∞
Теорема: ∑an = ∑ f(n); f(n)>0, и		f(x)≥0 – убывающая
n=1	n=1
и непрерывная на [1;+∞) =>
+ ∞
1). Если ∫ f(x)dx – сходится => ряд сходится;
1
+ ∞
2). Если ∫ f(x)dx – расходится => ряд расходится.
1
	Свойства абсолютно сходящихся рядов
Определение: ∑an, называется условно сходящимся <=>
∑an – сходится, а ∑|an| - расходится.
Теорема 1:	∑an – сходится и	∑an = А, то члены этого ряда можно
произвольно объединять в скобки, и от этого сумма ряда не изменится.
Обратная теорема неверна:
Теорема 2: ∑an = А и an>0 => ∑|an | = A (теорема Дирихле):
	Знакочередующиеся ряды.
Рассмотрим: C1-C2+C3-C4+....+(-1)n+1Cn + ...,			Cn>0,
		1). Cn>Cn+1>0,			∞
Теорема Лейбница: ∑(-1)n+1Cn и				=>S =∑(-1)n+1Cn
		2). limCn=0			n=1

Следствие: 1) сумма знакочередующегося ряда не превосходит модуля первого слагаемого.

2)модуль остатка знакочередующегося ряда не превосходит модуля первого оставшегося члена.

•	126
•

Ряды с произвольными членами

Теорема: ∑an, и ∑|an| - сходится =>∑an – сходится.

Определение: ∑an, называется абсолютно сходящимся рядом <=> ∑|an| - сходится.

|

Практическая часть:

1. Исследуйте числовой ряд на сходимость.

∞

1

∑

.

2

n =2 n ln

n

Решение:

Применим интегральный признак. Рассмотрим несобственный

интеграл

∞

b

b

1

dx

d(ln x)

1

1

1

=

lim

=

lim −

=

lim

−

=

.

∫x ln 2 x

b →∞ ∫ ln 2 x

b →∞

ln x

2

b→∞ ln 2

ln b

ln 2

2

2

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и числовой ряд.

Ответ: ряд сходится.

2. Исследуйте числовой ряд на сходимость.

∞	1		n + 1			n
∑						.
	2	n		n
n =1

Решение:

Применим признак Коши.

Пусть l = lim

n a n , тогда если l<1, то ряд сходится; если l>1, то ряд

n →∞

расходится; если l=1, то требуется дополнительное исследование.

Найдем:

n + 1 n

1

l =

lim

n a

n

=

lim

n

=

2 n

n → ∞

n → ∞

n

n + 1

1

1

=

lim

=

< 1

n → ∞

n

2

2

Следовательно, ряд сходится.

Ответ: Ряд сходится.

3. Исследуем на сходимость ряд:

•

127

•

∞	∞
∑0,1n (−10)n . = ∑(−1)n .
n =1	n =1

Ряд расходится, так как общий член не стремится к 0.

4. Исследуем на сходимость ряд:

∞					∞
∑		(−4)n			= ∑	(−1)		n	.
		2n 3
	2				3
n =1		n					n
					n =1

Ряд знакочередующийся. Так как абсолютные величины членов этого ряда монотонно убывают и стремятся к нулю, то по признаку Лейбница ряд сходится.

5. Исследуем на сходимость ряд:

∞	0,5n	n	∞	(−1)n
∑		.(− 2)	= ∑		.
	n
n=1			n=1	n

Ряд знакочередующийся. Так как абсолютные величины членов этого ряда монотонно убывают и стремятся к нулю, то по признаку Лейбница ряд сходится.

∑∞ (−1)n .

n=1 n

Абсолютный ряд расходится как обобщенногармонический при s=0,5, но исходный ряд сходится по признаку Лейбница. Следовательно данный ряд является условно сходящимся.

Задания для самосоятельного решения:

1. Исследовать на сходимость ряд

применяя интегральный признак. Указать первообразную для функции f(x) и

2. Исследовать на сходимость ряд

•	128
•

3. Исследовать на сходимость ряд

Степенные ряды, область сходимости

1.Степенные ряды, область их сходимости.

2.Разложение элементарных функций в степенные ряды.

Теоретическая часть:

Степенные ряды.

Определение: ∑ an(x-x0)n, {an,x0} R, n N – степенной ряд по степеням

(x-x0).

∞

∑anxn – степенной ряд по степеням х: a0+a1x+a2x2+ ... + anxn + ...

n=0

∞

1). x=0 => ∑anxn = a0 => точка x=0 Ocx.

n=0

∞

2). ∑n!xn = 0! + 1!x + 2!x2 + ...+n!xn+ ...

n=0

∞

0! = def = 1; Г(-1) = 1 = ∫x-2e-xdx.

0

Теорема Абеля 1: Область сходимости степенного ряда (по степеням х) всегда является промежутком с центром в (.) ноль.

Теорема Абеля 2: ∑anxn – сходится абсолютно в (.) x0 ≠ 0 => => ∑anxn – сходится для любого x: |x|<|x0|.

Заметим, что ∑anxn – расходится	в (.) x0 ≠ 0 => ∑anxn –расходится для
любого x: |x|>|x0|.
•	129
•

Разложение элементарных функций в степенные ряды

∑

(sin x) n

n

1

x +

0

2

+

− 1

3

+

0

4

+

1

5

+ 0 −

1

7

+ ...

1) sinx =

х

= 0 +

x

x

x

x

x

n!

1!

2!

3!

4!

5!

7!

sinx =

х −

x 3

+

x 5

−

x 7

+ ... + (−1) n+1

x 2n−1

+ ... x (-

∞ , +∞ )

I =

5!

3!

7!

(2n − 1)!

(- ∞ , +∞ ) : ряд абсолютно сходится.

x

2

x

4

x 6

(−1) n+1 x 2n−2

2) cosx =

1 −

+

−

+ ... +

+ ...

2!

4!

6!

(2n − 2)!

x (-

∞ , +∞ )

I = (- ∞ , +∞ ) : ряд абсолютно сходится.

3) ex = ∑

ex

xn

= 1 + x +

x 2

+

x 3

+ ... +

x n

+ ...,

n!

n!

2!

3!

x

(- ∞ , +∞ )

I = (-

∞ , +∞ ) : ряд абсолютно сходится.

e =1 +1 +

1

+

1

+ ... +

1

+

1

+

1

+ ...

(n +1)!

(n + 2)!

2!

3!

n!

x2

x3

x4

(−1)n

xn+1

4) ln(1+x) = x −

+

−

+ ...+

+ ...

I =(-1;1).

2

3

4

n +1

5) у = arctg x

			x 3		x 5
	arctgx =	x −		+		+ ... I = (-1; 1); X = [-1; 1].
			3		5
	6)	(1 + x)m = 1 + mx +					m(m − 1)	x 2	+ ... +	m(m − 1)...(m − n − 1)	x n
					2					1. 2.3..... n

а) |x| < 1- ряд абсолютно сходится. б) |x| >1 – ряд расходится.

в) |x| = 1: x=1 x = -1 для любого m отдельно.

Сумма ряда: в тех случаях, когда бином сходится, его сумма = f(х), которой он составлен.

+ ...

для

(1 + x) m = ∑ m(m − 1)(m − 2)...(m − n + 1) x n , x X . n!

Практическая часть:

1. Найти область сходимости степенного ряда.

∞	n + 1			n 2	x n
∑							.
					n 2
n =1		n				+ 1
•		130
•