Графиком этой функции в интервале (-π;π) является отрезок, соединяющий точки (-π;0) и (-π;2π). На рис. 29 изображен график функции y=S(x), где S(x) – сумма ряда Фурье функции f(x). Эта сумма является периодической функцией с периодом 2π и совпадает с функцией f(x) на сегменте [-π;π].
Определим коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим
|
a = |
1 |
π |
f (x)dx = |
1 |
π |
(π + x)dx = |
π |
dx + |
1 |
π |
xdx. |
|
π |
∫ |
π |
∫ |
∫ |
π |
∫ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
−π |
|
−π |
|
|
−π |
|
Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом
π
a0 = ∫dx = 2π .
−π
Далее, находим коэффициенты am . Имеем
Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подынтегральная функция второго интеграла является нечетной как произведение четной функции на нечетную). Итак, am =0, т.е. a1 = a2 = a3 = ... = 0.
Найдем коэффициенты bm :
Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интеграла – четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом,
Интегрируя по частям, получим u=x, dv=sinmx dx, du=dx, v= –(1/m) cos mx, т.е.
Следовательно, разложение функции f(x) в ряд Фурье имеет вид
2. Разложить в ряд Фурье периодическую функциюf(x) с периодом 2, заданную на сегменте [-1;1] уравнением f (x) = x2 (рис. 30)
Рассматриваемая функция является четной. Ее график – дуга параболы, заключенная между точками (-1;1) и (1;1). Так как l = 1, то
Здесь нужно дважды проинтегрировать по частям:
Так как рассматриваемая функция – четная, то bm =0. Следовательно,
3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на полупериоде [0;2] уравнением f (x) = x − x2 / 2.
Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным количеством способов. Рассмотрим два наиболее важных варианта разложения.
1) Доопределим функцию f(x) на сегменте [-2;0] четным образом (рис. 31). Имеем l = 2,
Интегрируем по частям:
Еще раз интегрируем по частям:
Итак,
2) Доопределим функцию f(x) на сегменте [-2;0] нечетным образом:
Итак,
4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2l, заданную на сегменте [-l;l] следующим образом:
Находим
К первому интегралу применяем интегрирование по частям:
Откуда
Определяем коэффициенты bm :
К первому интегралу применяем интегрирование по частям:
Имеем
Если
Следовательно,
Задания для самосоятельного решения:
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом Т, заданную на указанном сегменте:
1.f(x)=x; T=2π; [-π; π].
2.f(x)= x3 ; T= 2π; [-π; π].
3.f(x)= x2 ; T=2π; [0; π]. Продолжить f(x) на сегмент [-π; 0] нечетным
образом.
Рекомендуемая литература
1. Владимирский, Б.М.
Математика. Общий курс: Учебник/ Б.М.Владимирский, А.Б.Горстко, Я.М.Ерусалимский. - СПб: Изд-во Лань, 2002. - 960 с.
2. Данко, П. Е.
а) Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 1: учеб. пособие для вузов/ П. Е. Данко ; П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М. : Изд. дом ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2002. - 304 c.
б) Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 2: учеб. пособие для вузов/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М. : Изд. дом "ОНИКС 21 век": Мир и Образование, 2002. - 416 с. 3. Мантуров, О. В.
Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: учебник/ О. В. Мантуров, Н. М. Матвеев. - М. : Высш. школа, 1986. - 480 с.
4. Минорский, В. П.
Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для вузов/ В. П. Минорский. - 13-е изд. - М. : Наука , 1987. - 352 с.
5. Шипачев, В. С.
Высшая математика: учебник для вузов/ В. С. Шипачев. - 4-е изд., стереотип. - М.: Высш. школа, 1998. - 479 с.
6 Шипачев, В.С.
Задачник по высшей математике: Учебное пособие/ В.С. Шипачев. - 2-е, исправленное. - М.: "Высшая школа", 1998. - 304 с.
