Практикум_по_математическому_анализу

				20					у
				19
				18
				17
				16
				15
				14
				13
				12
				11
				10
				9
				8
				7
				6
				5
				4
				3
				2					х
				1
5	4	3	2	1	0 1	2	3	4	5
				1
				2
				3
				4
				5
б) y =					x			.
				x	2	− 1

Решение 1)Область определения функции х(-∞,-1) (-1,1)

непрерывна в области определения, х=-1 и х=1–точки односторонние пределы

	x			x			x
lim			. = −∞, lim			. = +∞, lim			. = −∞,
x →−1−0 x 2 − 1			x →−1+0 x 2 − 1			x→1−0 x 2		− 1

Следовательно х=-1 и х=1–вертикальные асимптоты.

2) y(−x) =	− x				. = −		x			= −y(x) .
	(−x)	2	− 1			x	2	− 1

Следовательно функция нечетная. 3) Точка пересечения с осями (0,0).

(1,∞).Функция разрыва. Найдем

x

lim . = +∞.

x →1+0 x 2 − 1

-	y	+	-	+
	-1	0		x
				1

Винтервале (-∞;-1) у<0;

Винтервале (-1;0) у>0;

Винтервале (0;1) у<0;

Винтервале (1;+∞) у>0;

4)Исследуем функцию на возрастание, убывание, точки экстремума.

y' =	x 2 − 1 − x 2x		= −	x 2 + 1			.
	(x 2	− 1)2		(x 2 − 1)	2
y′<0 во всей области определения.
	у′
		-			-			-
			-1		0			1
Таким образом
(-∞,-1) у′<0, функция убывает;

•	41
•

(-1,1) у′<0, функция убывает; (1,+∞) у′<0, функция убывает. Экстремумов нет.

5)Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба

y"= −

2x(x 2

− 1)2

− (x 2

+ 1) 2(x 2

− 1) 2x

= −

2x(x 2 − 1)

(x

2

− 1 − 2x

2

− 2)

= 2

x(x 2 + 3)

.

(x 2

− 1)4

(x 2

− 1)4

(x 2

− 1)3

у′′=0 при х=0, у′′ не существует при х=±1.

у′′

-

-

+

-

+

-1

0

1

(-∞,-1) у′′<0, функция выпукла;

(-1, 0) у′′>0, функция вогнута;

(0, 1) у′′<0, функция выпукла;

(1,+∞) у′′>0, функция вогнута.

При х=0 имеем точку перегиба упер=у(0)=0.

6) Так как

lim

x

=0, то у=0–горизонтальная асимптота (частный

2

− 1

x→∞ x

случай наклонной).

Найдем несколько дополнительных точек и сделаем чертеж

x

0,9

1,1

2

4

f(x)

-4,74

5,24

0,67

0,27

		у			6
					5
					4
					3
					2
					1
5	4	3	2	1	0	1	2	3	4	5
					1					х
					2
					3
					4
					5
					6

x 3

в) y = 3 − x 2 .

Решение

•	42
•

1)Область

определения

функции

х(-∞,-

3

) (-

3

,

3

)

(

,∞).Функция непрерывна в области определения, х=-

и х=

–точки

3

3

3

разрыва. Найдем односторонние пределы

lim

x 3

. = +∞,

lim

x 3

. = −∞, lim

x 3

. = +∞,

lim

x 3

. = −∞.

x→−

3

−0 3 − x 2

x→−

3

+0 3 − x 2

x→ 3 −0 3 − x 2

x→ 3 +0 3 − x 2

Следовательно х=-

и х=

–вертикальные асимптоты.

3

3

2) y(−x) =

(−x)3

. = −

x 3

= −y(x) .

3 − (−x)2

3 − x

2

Следовательно функция нечетная. 3) Точка пересечения с осями (0,0).

у

+- + -

- 3	0	x
		3

Винтервале (-∞;- 3 ) у>0;

Винтервале (- 3 ;0) у<0;

Винтервале (0; 3 ) у>0;

Винтервале ( 3 ;+∞) у<0;

4)Исследуем функцию на возрастание, убывание, точки экстремума.

y' =

3x 2

(3 − x 2 ) − x 3

(−2x)

=

x 2 (9 − x 2 )

.

(3 − x 2 )2

(3 − x 2 )2

y′=0 при х=0, ±3, у′ не существует при х=±

3 ≈±1,7.

у′

-

+

+

+

+

-

-3

-

3

0 3

3

Таким образом (-∞,-3) у′<0, функция убывает;

(-3,- 3 ) у′>0, функция возрастает; (- 3 ,0) у′>0, функция возрастает; (0, 3 ) у′>0, функция возрастает; ( 3 ,3) у′>0, функция возрастает; (3,+∞) у′<0, функция убывает.

Вточке х=-3 функция имеет минимум ymin=4,5.

Вточке х=3 функция имеет максимум ymax=-4,5.

5)Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба

•	43
•

y" =

(18x − 4x 3 )(3 − x 2 )2 + (9x 2

− x 4 ) 2(3 − x 2 ) 2x

=

(3 − x 2 )

4

=

2x(3 − x 2 )

[(9

− 2x

2 )(3 − x 2 )

+ 18x 2 − 2x 4 ] = 6

x(x 2 + 9)

.

(3 − x 2 )4

(3 − x 2 )3

у′′=0 при х=0, у′′ не существует при х=±

3 .

у′′

-

+

-

+

-

-1

0

1

(-∞,-1) у′′<0, функция вогнута;

(-1, 0) у′′>0, функция выпукла;

(0, 1) у′′<0, функция вогнута;

(1,+∞) у′′>0, функция выпукла.

При х=0 имеем точку перегиба упер=у(0)=0.

6) Найдем наклонную асимптоту.

y

x 2

x 3

3x

k = lim

= lim

= −1; b = lim(y − kx) = lim

+ x

= lim

= 0

2

2

2

x→∞ x

x→∞ 3 − x

3 − x

3 − x

x→∞

x→∞

x→∞

Таким образом у=-х–наклонная асимптота. 7) Сделаем чертеж

						10					у
						9
						8
						7
						6
						5
						4
						3
						2
						1
7	6	5	4	3	2	1	0	1	2	3	4	5	6	7	х
						1
						2
						3
						4
						5
						6
						7
						8
						9
						10

•	44
•

Задания для самосоятельного решения:

Провести полное исследование функции и построить ее график

y = x 2 − x − 6 . x − 2

Исследование функции и построение схемы ее графика

1.Полное исследование функции.

2.Построение схемы графика функции.

Теоретическая часть:

Общая схема исследования функции и построения ее графика

I. Элементарное исследование: 5)найти область определения функции;

6)исследовать функцию на четность (нечетность);

7)исследовать функцию на периодичность; 8)определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика с координатными осями.

II. Исследование графика функции по первой производной: 7)найти у'(х);

8)используя необходимый признак существования экстремума найти точки, «подозрительные» на экстремум, т.е. точки в которых у'(х)=0 или у′(х) не существует; 9)нанести критические точки на область определения и найти знак про-

изводной во всех получившихся интервалах; 10)используя признаки монотонности определить характер монотонности функции на каждом интервале;

11)используя достаточный признак существования экстремума установить наличие экстремума и их характер; 12)вычислить значение функции в точках экстремума, если они есть.

III.Исследование графика функции по второй производной:

1)найти у" (х);

5)используя необходимый признак существования точек перегиба, найти точки «подозрительные» на перегиб, т.е. точки в которых у"(х)=0 или у"(х) не существует;

6)нанести полученные точки на область определения и найти знак второй производной в каждом из получившихся интервалов;

7)используя теорему о форме кривой установить характер выпуклости (вогнутости) графика функции на каждом промежутке;

7)используя достаточный признак существования точек перегиба установить их наличие;

8)вычислить значения функции в абсциссах точек перегиба. VII.Исследовать поведение функции на границах области определения.

VIII.Исследовать кривую y=f(x)на наличие асимптот и указать область

•	45
•

значений функции. IX.Построить график функции.

Если исследование произведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить ошибки.

Практическая часть:

1. Провести полное исследование функции и построить ее график

x + 2 2 а) y = .

x − 2 Решение

1) Область определения функции х(-∞,2) (2,∞).Функция непрерывна в области определения, х=2–точка разрыва. Найдем односторонние пределы

x + 2		2		x + 2			2
lim			=	lim			= +∞. Следовательно,
x→2−0 x − 2				x→2+0 x − 2

х=2–вертикальная асимптота.

		− x + 2 2		x − 2			2
2)	y(−x) =			=			≠ ± y(x) .
		− x − 2		x + 2

Следовательно, функция общего вида.

3)Найдем точки пересечения с осями.

Сосью Ох. у=0х=-2.

Сосью Оу. х=0у=1.

у>0 при всех х, кроме х=-2.

4) Исследуем функцию на возрастание, убывание, точки экстремума.

x + 2

x + 2

'

x + 2

1 (x − 2) − (x + 2) 1

x + 2

y' = 2

= 2

= −8

.

2

3

x − 2

x − 2

x − 2

(x − 2)

(x − 2)

y′=0 при х=-2; у′ не существует при х=2. у′

-	+	-
-2	0	2

Таким образом (-∞,-2) у′<0, функция убывает;

(-2,2) у′>0, функция возрастает; (2,+∞) у′<0, функция убывает.

•	46
•

Точка х=-2–точка минимума, так как производная меняет знак с

минуса на плюс. уmin=0.

5) Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба

y"= −8

(x − 2)3 − (x + 2) 3(x − 2)2

= −8

x − 2 − 3x − 6

= 16

x + 4

.

(x − 2)6

(x − 2)

4

(x − 2)4

у′′=0 при х=-4, у′′ не существует при х=2.

у′′

-

+

+

-4

0

2

(-∞,-4) у′′<0, функция выпукла;

(-4, 2) у′′>0, функция вогнута;

(2,+∞) у′′>0, функция вогнута.

При х=-4 имеем точку перегиба упер=у(-4)=(-2/-6)2=1/9.

x + 2

2

6) Так как lim y = lim

=1, то у=1–горизонтальная

x→∞ x→∞

x − 2

асимптота (частный случай наклонной).
7) Сделаем чертеж
				10						у
				9
				8
				7
				6
				5
				4
				3
				2
				1						х
20 18 16 14 12 10	8	6	4	2	0	2	4	6	8	10 12 14 16 18 20

x 3

б) y = x 2 − 1.

Решение 1)Область определения функции х(-∞,-1) (-1,1) (1,∞).Функция

непрерывна в области определения, х=-1 и х=1–точки разрыва. Найдем односторонние пределы

lim

x3

. = −∞, lim

x 3

. = +∞, lim

x 3

. = −∞, lim

x

3

. = +∞.

2 − 1

2 − 1

2 − 1

2

x → −1− 0 x

x → −1+ 0 x

x →1− 0 x

x →1+ 0 x

− 1

Следовательно х=-1 и х=1–вертикальные асимптоты.

•	47
•

	(−x)3			x 3
2) y(−x) =			. = −			= −y(x) .
	(−x)2 − 1			x 2
					− 1

Следовательно функция нечетная. 3) Точка пересечения с осями (0,0).

	y
-	+	-	+
	-1	0	x
			1

Винтервале (-∞;-1) у<0;

Винтервале (-1;0) у>0;

Винтервале (0;1) у<0;

Винтервале (1;+∞) у>0;

4)Исследуем функцию на возрастание, убывание, точки экстремума.

y' =

3x 2

(x 2 − 1) − x 3

2x

=

x 4

− 3x

2

=

x 2 (x 2 −

3)

.

(x 2 − 1)2

(x

2 − 1)

2

(x 2

− 1)2

y′=0 при х=0 и х= ± 3 ≈ ±1,7 , у′ не существует при х=±1.

у′

+	-	-	-	-		+
	-1,7	-1		0	1	1,7

Таким образом (-∞,- 3 ) у′>0, функция возрастает;

(- 3 ,-1) у′<0, функция убывает; (-1,0) у′<0, функция убывает; (0,1) у′<0, функция убывает; (1, 3 ) у′<0, функция убывает;

( 3 ,∞) у′>0, функция возрастает;

Вточке х=- 3 функция имеет максимум.

Вточке х= 3 функция имеет минимум.

ymax = −	3 3	≈ −2,6;	ymin =	3 3	≈ 2,6
2			2

5)Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба

	y"=		(4x 3 − 6x)(x 2		− 1)2 − (x 4 − 3x 2 ) 2(x 2 − 1) 2x		=
					(x 2 − 1)4
	=	2x(x 2 − 1)		[(2x 2	− 3)(x 2 − 1) − 2(x 4 − 3x 2 )] =		2x	(x 2 + 3)
		(x 2 − 1)4				(x	2 − 1)3

у′′=0 при х=0, у′′ не существует при х=±1.

•	48
•

у′′

-	+	-	+
	-1	0	1

(-∞,-1) у′′<0, функция выпукла; (-1, 0) у′′>0, функция вогнута; (0, 1) у′′<0, функция выпукла; (1,+∞) у′′>0, функция вогнута.

При х=0 имеем точку перегиба упер=у(0)=0. 6) Найдем наклонную асимптоту

y

x 2

k = lim

= lim

= 1;

x→∞ x

x→∞ x 2

− 1

b = lim( y − kx) = lim(

x 3

− x) = lim

x

= 0

x→∞

x→∞ x 2 − 1

x→∞ x 2

− 1

Следовательно у=х–наклонная асимптота. 7) Сделаем чертеж:

				6			у
				5
				4
				3
				2
				1
4	3	2	1	0	1	2	3	4
				1				х
				2
				3
				4
				5

Решите самостоятельно:

Исследуйте функцию методами дифференциального исчисления и постройте ее график.

y = 12x . 9 − x 2

Задания для самосоятельного решения:

Исследуйте функцию методами дифференциального исчисления и постройте ее график

y =	2x	2	.
	4х2
		+ 1

•	49
•

Задачи на экстремум

Практическая часть:

1. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести?

Решение

	Обозначим:
	h-высота ведра;
	r-радиус дна.
	Сделаем чертеж			h
	По условию
	V=πr2 h	(1)	2r
	Полная поверхность

S=Sосн+Sбок=πr2+2πrh (2)

Выразим h из уравнения (1) h=V/πr2

и подставим в (2). Получим

S=πr2+ 2V .

r

Таким образом, получили функцию от r. Исследуем эту функцию при

dS

= 2πr −

2V

= 0;

dr

r 2

r (0,∞).πr3 = V ;

Так как

d 2S

= 2π +

4V

> 0 при r (0,+∞), то

dr 2

r3

r = 3

V

.

π

функция имеет в данной точке минимум. При этом

π 2

V

V

V

V

h =

=

=

3

= 3

(= r) .Таким образом, у ведра

2

2

πr

V 2

π

π

3

V

π

π 2

оптимальных размеров h=r= 3 V .

π

2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

	y = 4 − x −				4	[1;4]
					x 2
						Решение
	1.	Находим производную
	y' = −1 +		8	.
			x 3
	2.	Находим критические точки

Производная равна нулю

•	50
•