Практикум_по_математическому_анализу

		3t 2		+ 1
	x =						,
		3t		3
1.			t 3
	y = sin						+ t .
			3

	x = cos 2t,
2.		2	t.	.
	y = 2 sec

Задания для самосоятельного решения:

	1.Найти производную.
		2(3x3	+ 4x		2 − x − 2)
	1). y =							+ e x + 2 e2 x + e x + 1.
							. 2) y = x − ln(2
			15 1
					+ x

1 sin 2 3x

3)

y = x ln( x +

x + a ) − x + a. 4) y = sin

3 +

.

3 3cos 6x

5)

y = arctg

tgx −

ctgx

. 6) y = (arctgx)(1 / 2) ln arctgx .

2

x

arcsin

x

1

+

x 4

arcsin

2

, x > 0.

1 − x 2 .

7)

y =

+ ln

8) y =

(x 2 + 8)

x 2 − 4

1 − x 2

24

16

x

1

8) y = ln(tgx + ctgα ). sin α

2. Показать, что функция y удовлетворяет данному уравнению.

1. y = xe− x2 / 2 . xy′ = (1 − x 2 ) y.

Неявная функция, ее дифференцирование. Дифференциал функции, его свойства

1.Дифференцирование неявной функции

2.Дифференциал функции в точке, его геометрический смысл.

3.Приближенные вычисления с помощью дифференциалов.

Теоретическая часть:

Дифференциал функцииdy есть главная часть ее приращения у, линейная относительно х с коэффициентом пропорциональности равным производной f'(x).

•	31
•

порядка —

d 3 y

, и т.д.

dx

3

Геометрическое представление дифференциала

Возьмем

на графике

функции

y=f(x)точку с фиксированной абсциссой

х=ОА, тогда у=АС (на рис.10 показаны два случая; буквенные обозначения

для них одни и те же). Дадим аргументу приращение

x=AB=CD. Тогда

приращение функции будет y=DM. Проведем теперь касательную к кривой

в точке С (х; у). Тангенс ее угла наклона α равен производной в той же точке:

y′ = tgα

(7)

Из прямоугольного треугольника CDEмы видим, что

DE=CD · tga=

х·у'

В правой части мы получили выражение дифференциала функции dy,

следовательно, dy=DE.

Таким образом, если при некотором

х

приращение

функции

у в

некоторой точке хесть приращение ординаты ее графика (DM), то

дифференциал функции dyравен приращению ординаты касательной к

графику в точке (х; у) при том же значении

х.

I

II

E

y

y=f(x)

M

M

}

} y }

dy

E

y

α

C

α }dy

C

)

x

D

x

f(

x

D

y=

y

y

α

α

A

B

A

B

0

x

x

x

x

x

Из рисунка мы видим, что dуможет быть и меньше, чем

у (1)

и больше

(II). Разность между у и dyравна отрезку ЕМ.

Тот факт, что при небольших значениях

х

дифференциал

функции

приближенно равен ее приращению:

у≈dу,

позволяет во многих случаях

заменять с достаточной точностью величину

у, вычисление которой иногда

бывает весьма затруднительным или громоздким, величиной dy, которую

можно вычислить гораздо легче.

В этом и заключается принцип применения дифференциала к

приближенным вычислениям. Схема этого метода такова. Требуется найти

численное

значение

некоторой

функции

y=f(x)

при

таком

значении

•

32

•

аргумента, при котором вычисление у затруднительно. Тогда, если х оказывается весьма близким к некоторому другому значению аргумента х0(х=х0+ х), при котором значение функции у0 [y0=f(x0)] найти легко, то вместо искомого значения функции y=y0+ y=f(x0+ x) находим ее приближенное значение: у ≈ y0+f’ (х0)· х

Практическая часть:

1.Найти производные указанного порядка

у=(5-х2) ln2x у′′=?.

Решение: y′=(5-x2)′ln2x+(5-x2) ( ln2x)′=-2x ln2x+(5-x2) 2lnx (lnx)′=

=-2x ln2x+(5-x2) 2lnx 1 =2(5x-1-x)lnx-2x ln2x

x

	y′=2(-5x-2-1)lnx+2(5x-1-x)	1	-2 ln2x-2x 2lnx	1	=(-10x-2-6) lnx+10x-2-2-
		x		x
	2ln2x=

=10(1 − ln x) − 6 ln x − 2 − 2 ln 2 x. x 2

	Ответ: y'' =	10(1 − ln x)	− 6 ln x − 2 − 2 ln 2 x.
		x 2

2. Найти первую и вторую производные неявной функции и функции,

заданной параметрически.
а) y=ey+4x. (условие изменено)
Продифференцируем обе части по х
y'=ey y'+4; y'(1-ey)=4;			(*)
Отсюда
y' =	4	.
1 − e y
Дифференцируем равенство (*) по х
y'' (1-ey)+y' (-ey) y′=0. Отсюда

y'' =

e y

(y')2

1 − e y

Подставляя вместо у′ его выражение, получим

y'' =

16e y

.

(1 − e y )

3

Ответ:

y' =

4

. y'' =

16e y

.

1 − e y

(1 − e y )3

t

x =

б)

3 t − 1

y =

Первую и вторую производные найдем по формулам

•	33
•

y'x

=

dy

=

y' (t)

x' (t)

dx

"

=

d

2 y

=

y"t x 't − x"t y't

y x

dx 2

(x 't )

3

Найдем

1

1

t −

1

1

1

−

2

'

y'

= ((t − 1)

)' =

(t − 1)

x

= (t

2

)' =

2 ;

3

3 .

t

2

t

3

3

5

1

t −

2

(t − 1)−

.

x

"

= −

2 ; y"

= −

3

t

4

t

9

Тогда

1

−

2

(t − 1) 3

dy

2 t

=

3

=

.

1

dx

1

−

33 (t − 1)2

t

2

2

2

−

5

1

−

1

1

−

3

1

−

2

d 2 y

−

(t −1) 3

t 2 +

t 2

(t −1) 3

=

9

2

4

3

=

dx 2

−

1

3

1

2

t

2

−

5

−

3

3 /t

=

8

(t − 1)

2

(− 4t +

3(t − 1))=

− 2(t + 3)

.

36

3

−

93 (t − 1)5

/t

2

.

d 2 y

−

2(t + 3)

Ответ:

dy

=

2

t

=

.

33 (t −1)2

dx

dx 2

93 (t − 1)5

3. Найти первую и вторую производные неявной функции и функции, заданной параметрически.

а) ln y − 7 = 7 . x

1 7

Продифференцируем обе части по х : y y'+ x 2 = 0;

Отсюда

− 7y y' = .

x 2

•	34
•

Дифференцируем последнее равенство по х

'

− 7

− 7y

x 2 + 14xy

− 7y

− 7y' x 2 + 14xy

49y + 14xy

x 2

y' ' =

=

=

=

.

x 2

x 4

x 4

x 4

x

	Ответ:	y' =	− 7y	. y' ' =	7y (7 + 2x)	.
			x 2		x 4

x = 1 − t 2

б) y = 1t

Первую и вторую производные найдем по формулам

y'x

=

dy

=

y'(t)

x'(t)

dx

"

=

d 2 y

=

y"t x 't − x"t y't

y x

dx 2

(x 't )3

Найдем

1

− t

−

1

1

x ′=

(−2t) =

= −t(1 − t 2 )

2 ;

y't

= −

= −t −2 .

t 2

2 1 − t 2

1 − t 2

t

− t

1 − t 2 − t

1 − t

2

+ t

2

3

"

1 − t

2

−

= 2t −3 .

x

= −

= −

= −(1 − t 2 )

2 ; y"

t

1 − t 2

(1 − t

2 ) 1 − t 2

t

Тогда

− t −2

dy

=

=

1 − t 2

.

dx

− t

t 3

1 − t 2

−

1

−

3

−

3

d

2 y

=

2t −3 (−t(1 − t 2 ) 2 ) + (1 − t 2 )

2 (−t −2 )

=

t −2

(1 − t 2 ) 2 (2(1 − t 2 ) + 1)

=

3 − 2t

2

.

dx 2

−

3

−

3

t 5

− t 3 (1 − t 2 ) 2

t 3 (1 − t 2 ) 2

d 2 y

=

3 − 2t 2

.

Ответ:

dy

=

1 − t 2

.

dx 2

dx

t 3

t 5

4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала, сохраняя два знака после запятой.

а) y = 3 2x 2	+ 5x +1 при х=1,04.
Воспользуемся приближенным равенством
f(x0+ x)≈f(x0)+dy=f(x0)+ f ′(x0)· x
			1
Положим	f (x) = 3 2x 2 + 5x +1 = (2x 2 + 5x +1) 3 , x0+ x=1,04; x0=1.

Тогда

•	35
•

		1						−	2
	f′(x)=		(2x 2 + 5x +1)						3			(4x + 5) , f(x0)= f(1)=2,
	3
				1		−	2			9				3
	f′(x0)= f′(1)=				8 3 9 =								=		,
									12
	3												4
	x=1,04-1=0,04.
	Получим f(x0+					x)≈2+3/4·0,04=2,03.
	б) cos61°
	Возьмем f(x)=cosx, x0+												x=61°; x0=60°. Тогда
	f ′(x)=-sin(x),					f(x0)=						f(60°)=cos60°=0,5, f ′(x0)= f ′(60°)=-sin60°=-

3 ≈ −0,866. 2

x=61°-60°=1°=

π

≈ 0,017.

180

Получим cos61°≈0,5-0,866·0,017=0,48.

в) y = 4x − 3x3

при х=0,85.

Воспользуемся приближенным равенством

f(x0+ x)≈f(x0)+dy=f(x0)+ f′(x0)· x

1

Положим f (x) =

4x − 3x3 = (4x − 3x3 ) 2 , x0+ x=0,85; x0=1. Тогда

1

(4x − 3x3 )−

1

f′(x)=

2 (4 − 9x 2 ) , f(x0)= f(1)=1, f′(x0)=f′(1)=

1

1 (−5) = −2,5. ,

2

2

x=0,85-1=-0,15.

Получим f(x0+ x)=f(0,85)≈1-2,5·(-0,15)=1,37.

г) sin27°

Возьмем f(x)=sinx, x0+ x=27°; x0=30°. Тогда

f ′(x)=cos(x), f(x0)= f(30°)=sin30°=0,5, f′(x0)= f′(30°)=cos30°= 3 ≈ 0,866.

2

x=27°-30°=-3°=-3 π ≈ -0,052.

180

Получим sin27°≈0,5-0,866·0,052=0,45.

Задания для самосоятельного решения:

1. Вычислить приближенно с помощью дифференциала, сохраняя два знака после запятой.

а) y = 3 x 3 + 7x 2 при х=1,02. б) sin32°

dy

2. Найти производные dx функций, заданных в явном виде.

•	36
•

4

б) у=5х arccos(2x5)

а) y = 5x 2

+

− 3

x 7 − 2x 6

x

в) y=arctg3(7x-x3) ln(x2+1). г)

y =

7 (x − 2)4

+

e2x

= (x − 2)4 / 7 (x + 1)− 2 + e2x x −3.

x 3

(x + 1)2

Исследование функции методами дифференциального исчисления

1.Исследование функции на экстремумы.

2.Исследование формы кривой.

3.Асимптоты функции.

Теоретическая часть:

Исследование функции с целью построения графика

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей)на интервале (а;b), если для любых значений x1и х2 аргумента х, таких что a<x1<x2<b выполняется неравенство f(x2)>f(x1) (f(x2)<f(x1)).

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции нужно пользоваться достаточными признаками монотонности:

Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на некотором интервале и стационарные точки (те в которых f'(x)=0) не заполняют сплошь никакого отрезка, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Если в некоторой окрестности точки х0 для всех х≠х0 выполняется неравенство f(x)<f(x0) или f(x)>f(x0), то точка х0 называется точкой экстремума функции f(x) (соответственно точкой максимума или минимума).

Необходимое условие экстремума: Если функции f(x) имеет в точке х0

экстремум и дифференцируема в этой точке, то первая производная f '(x0) равна нулю. Таким образом, экстремум может наблюдаться в точках, в которых f′ (х0)=0 или не существует.

Достаточное условие экстремума: Если х0 является точкой экстремума функции f(x), то ее первая производная f'(x) меняет знак при переходе через точку х0: с плюса на минус — при максимуме, с минуса на плюс - при минимуме.

Пусть функция f(x) удовлетворяет условию f "(x)>0. Тогда кривая у= f(x) выпукла вниз в точке с абсциссой х0. Если же f "(x)<0, то кривая у=f(x) в этой точке выпукла вверх.

Точка с абсциссой х0 называется точкой перегиба кривой y=f(x), если при переходе через точку х0 меняется направление выпуклости.

Необходимое условие точки перегиба: если х0 - точка перегиба кривой y=f(x), то вторая производная f’'(х0) либо равна нулю, либо не существует.

•	37
•

Достаточное условие точки перегиба: x0является точкой перегиба кривой

у=f(x), если в достаточно малой окрестности точки х0 при переходе через точку х0 вторая производная меняет знак.

Прямая уас=кх+b называется наклонной асимптотой кривой y=f(x), если расстояние от точки (x;f(x)) кривой до этой прямой стремится к нулю при

	х→∞. При этом k = lim	f ( x )	,	b = lim( f ( x ) − kx ) .
		x
	x→∞			x→∞

При k=0 имеем горизонтальную асимптоту: у=b.

Заметим, что если не существует хотя бы один из пределов, определяющих к и b, то асимптоты нет.

Если	lim f ( x ) = ∞	или	lim f ( x ) = ∞ , то прямая х=а называется
	x → a −0		x → a + 0

вертикальной асимптотой графика функции.

Общая схема исследования функции и построения ее графика.

I. Элементарное исследование: 1)найти область определения функции;

2)исследовать функцию на четность (нечетность);

3)исследовать функцию на периодичность; 4)определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика с координатными осями.

II. Исследование графика функции по первой производной: 1)найти у'(х);

2)используя необходимый признак существования экстремума найти точки, «подозрительные» на экстремум, т.е. точки в которых у'(х)=0 или у′(х) не существует; 3)нанести критические точки на область определения и найти знак про-

изводной во всех получившихся интервалах; 4)используя признаки монотонности определить характер монотонности функции на каждом интервале;

5)используя достаточный признак существования экстремума установить наличие экстремума и их характер; 6)вычислить значение функции в точках экстремума, если они есть.

III.Исследование графика функции по второй производной:

1)найти у" (х);

2)используя необходимый признак существования точек перегиба, найти точки «подозрительные» на перегиб, т.е. точки в которых у"(х)=0 или у"(х) не существует;

3)нанести полученные точки на область определения и найти знак второй производной в каждом из получившихся интервалов;

4)используя теорему о форме кривой установить характер выпуклости (вогнутости) графика функции на каждом промежутке;

5)используя достаточный признак существования точек перегиба установить их наличие;

6)вычислить значения функции в абсциссах точек перегиба. IV.Исследовать поведение функции на границах области определения.

•	38
•

V. Исследовать кривую y=f(x)на наличие асимптот и указать область значений функции.

VI.Построить график функции.

Если исследование произведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить ошибки.

Практическая часть:

1.Провести полное исследование функции и построить ее график

	а) y =	x 3	+ 4	.
		x	2

Решение 1)Область определения функции х(-∞,0) (0,+∞).Функция

непрерывна в области определения, х=0–точка разрыва. Найдем односторонние пределы

lim	x 3	+ 4	. = +∞, lim	x	3 + 4	= +∞.
		2			x 2
x →0 − 0 x			x →0 + 0

Следовательно, х=0–вертикальная асимптота.

2) y(−x) =	(−x)3	+ 4	. =	4 − x		3	≠ ±y(x) .
	(−x)	2		x	2

Следовательно, функция общего вида. 3) Точек пересечения с осью Оу нет.

Точка пересечения с осью Ох определяется из уравнения х3+4=0; х= − 3 4 ≈ 1,59 , т. е. точка пересечения с осью Ох-( − 34 ; 0)

у

-	+	+
	−3 4	x
		0

Винтервале (-∞; − 34 ) у<0;

Винтервале ( − 34 ; 0) у>0;

Винтервале (0;+∞) у>0;

4)Исследуем функцию на возрастание, убывание, точки экстремума.

y' =	3x 2	x 2	− (x3 + 4) 2x	=	x3	− 8
							.
			x 4		x	3

y′=0 при х=2, у′ не существует при х=0.

•	39
•

у′

+

-

+

0 2

Таким образом (-∞,) у′>0, функция возрастает;

(0,2) у′<0, функция убывает.

(2,+∞) у′>0, функция возрастает.

В точке х=2 функция имеет минимум ymin=12/4=3.

5)Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба

y"=	3x 2	x 3	− (x 3 − 8) 3x 2	=	24		.
			x 6		x	4

у′′ в ноль не обращается, у′′ не существует при х=0.

у′′

+ +

0 (-∞,0) у′′>0, функция вогнута; (0,+∞) у′′>0, функция вогнута.

Точек перегиба нет (так как при х=0 функция не определена). 6) Найдем наклонную асимптоту.

k = lim	y	= lim	x 3 + 4	= lim(1 +			4	) = 1;
			x 3				x 3
x→∞ x		x→∞			x→∞
					x 3 + 4			4
b = lim(y − kx) = lim(						− x) = lim				= 0
					x 2
x→∞			x→∞					x→∞ x 2

Следовательно, у=х–наклонная асимптота. 7) Сделаем чертеж

•	40
•