16.1. Жарықтың электромагниттік табиғаты

Максвелл теңдеулері көмегімен электромагниттік толқындардың негізгі қасиеттері қорытылып шығарылады

Максвелл теңдеулері. Электр зарядтарымен, электр тогымен және магниттермен жүргізілген тәжірибелерде алынған деректерді қорытындылау арқылы 19 ғ. екінші жартысында Максвелл (1831-1879) электромагниттік өрістер үшін теңдеулер жүйесін қорытып шығарды. Кейіннен жүргізілген зерттеулер Максвелл теңдеулерінің осы теңдеулерді алуға негіз болған деректер мен түсініктер шеңберінен әлдеқайда кең, өте терең физикалық мазмұны бар екендігін көрсетті. Бұл теңдеулер релятивтік инварианттылық шартын қанағаттандырады, тез өзгеретін, айнымалы электромагниттік өрісті, соның ішінде жарық толқындарын да, жақсы бейнелейді, қозғалыстағы зарядтардың электромагниттік толқындарды шығару теориясы және жарық пен заттың әсерлесу теориясы негізіне алуға болатындығы белгілі болды.

Біртекті диэлектрлік және магниттік өтімділіктері жәнетұра қты, бейтарап, ток өткізбейтін ортаны қарастырайық. Осы жағдайда зарядтар мен токтар нөлге тең болатындықтан (және), осындай ортадағы электромагниттік өріс үшін Максвелл теңдеулері мына түрде жазылады (СИ жүйесінде):

,немесе (1.1)

(1.2)

, немесе (1.3)

, немесе (1.4)

мұндағы -электр өрісі кернеулігінің векторы,-электрлік индукция векторы,-магнит өрісі кернеулігінің векторы,-магниттік индукция векторы,-электрлік және магниттік тұрақтылар,. Ортаның материялық қасиеттерін сипаттайтынжәнешамалары уақытқа және координатқа, және де,векторлары шамаларына тәуелді емес. (1.1) теңдеуі электромагниттік индукция заңының математикалық тұжырымдалуы; (1.2) теңдеуі магнит өрісін айнымалыэлектр өрісі тудыратындығын көрсетеді; (1.3) теңдеуі қарастырылып отырған ортада статикалық электр өрісі жоқ екендігін білдіреді; (1.4) теңдеуі магниттік зарядтардың болмайтындығын білдіреді.

(1.1) - (1.4) дифференциалдық түрдегі Максвелл теңдеулері.

Көптеген дербес жағдайларды қарастырғанда Максвелл теңдеулерінің векторлық емес, скалярлық түрін қолдану ыңғайлырақ. (1.1) және (1.2) векторлық теңдеулердің әрқайсысы теңдіктердің сол және оң жақтарындағы векторлардың құраушыларын байланыстыратын үш скалярлық теңдеуге пара-пар. (1.1) - (1.4) Максвелл теңдеулері мынадай скалярлық түрге келеді:

(1.5) (1.6)(1.7)

(1.8)

Сонымен, 12 функцияны (векторларының әрқайсысының үш-үштен құраушылары) қамтитын барлығы 8 теңдеу алынды. Теңдеу саны белгісіз функциялар санынан аз болғандықтан, (1.1)-(1.4) теңдеулері токтардың берілген үлестірулері бойынша өрістерді табу үшін жеткіліксіз. Өрістерді есептеуді іске асыру үшін Максвелл теңдеулерінжәне,жәневекторлары арасындағы байланысты ескеретін қатынастармен (материалдық теңдеулер) толықтыру қажет:

, (1.9)

(1.10)

(1.1) - (1.4) және (1.9), (1.10) теңдеулерінің жиынтығы тыныштықтағы орталар электродинамикасының негізін құрайды.

Сонымен, қоршаған кеңістікте айнымалы электр немесе магнит өрісі қоздырылғанда бір нүктеден келесі нүктеге таралатын электр және магнит өрістерінің өзара түрленулерінің тізбегі пайда болатындығы тағайындалды. Бұл процесс уақыт бойынша және кеңістікте периодты процесс, демек, толқын болып табылады.

Максвелл теңдеулерінен негізінде жаңа физикалық құбылыстың болатындығы жайында маңызды қорытынды шығады: электр зарядтарынсыз және электр тогынсыз да электромагниттік өріс өздігінше, дербес болуға қабылетті. Осы жағдайда электромагниттік өріс күйінің өзгеруі (өрістің ұйытқуы) міндетті түрде толқындық сипатта болады. Осындай өрістер электромагниттік толқындар деп аталады. Вакуумда мұндай толқындар жарық жылдамдығына тең жылдамдықпен таралады.

(1.1) - (1.4) теңдеулер жүйесіне сүйеніп, мынадай қорытындылар жасауға болады:

5. Айнымалы электромагниттік өріс кеңістікте бір орында тұрмайды, барлық жаққа жылдамдықпен электромагниттік толқын түрінде таралады, мұндағы-вакуумдағы жарық жылдамдығы ().

6. Электромагниттік толқын-көлденең толқын, яғни электр және магнит өрістерінің кернеуліктерінің векторлары толқынның таралу бағытына перпендикуляр: және, мұндағы-берілген ортадағы толқынның таралу жылдамдығы.

7. Жазық электромагниттік толқында электр өрісінің кернеулік векторы мен магнит өрісі кернеулік векторының бағыттары бір-біріне өзара перпендикуляр, сонымен қабат олар электромагниттік толқынның таралу бағытына да перпендикуляр; және ,,векторлары оң бұранда жүйесін құрайды. Басқа сөзбен айтқанда, егербойымен қарайтын болсақ, ондавекторыныңвекторына қарай кішкентай бұрыш бағытымен бұрылуы сағат тілінің бұрылу бағытына сәйкес келеді (1.1-сурет).

8. Жазық монохромат қума толқында жәневекторлары бірдей фазада тербеледі, яғни олар кеңістіктің бірдей нүктелерінде максимум немесе минимум мәндеріне бір мезгілде жетеді, яғни бұлар кеңістіктің берілген нүктесінде өздерінің максимум мәндеріне бір мезгілде жетеді және бір мезгілде нөлге айналады.

Ток күшінің электромагниттік бірлігінің оның электростатикалық бірлігіне қатынасының вакуумдағы жарықтың жылдамдығына тең болуына сүйеніп Максвелл жарық-толқын ұзындығы қысқа электромагниттік толқын деген қорытынды жасады.

Жарықтың бостықтағы жылдамдығының берілген ортадағы жарықтың фазалық жылдамдығына қатынасы ретінде анықталатын сыну көрсеткіші жарықтың электромагниттік теориясына сәйкес диэлектрлік тұрақтының магниттік өтімділікке көбейтіндісінің квадраттық түбіріне тең болады, яғни

.

Максвеллдің болжамдары кейіннен теориялық жолмен де, эксперименттік зерттеулер арқылы да расталды. Сөйтіп, жарық толқыны электромагниттік толқынның жоғарыда аталған барлық қасиеттеріне ие болатындығы анықталды. Енді электромагниттік толқынның аталған қасиеттерінің дәлелденуін келтірейік.

Алайда мұны істемес бұрын осы процесс шынымен толқындық екендігін дәлелдеу керек. Дәлелдеу үшін толқындық теңдеуді қорытып шығару жеткілікті болады.

Электромагниттік толқынның толқындық теңдеуі. Электромагниттік толқынның ортада таралу жылдамдығы. Толқындық процестердің кез-келгені толқындық теңдеуге (уақыт және координаттар бойынша екінші туындыларды байланыстыратын) бағынады. Сондықтан жоғарыда келтірілген Максвелл теңдеулері көмегімен осы теңдеуді алуға әрекет етейік. Ол үшін (1.2) теңдеуін уақыт бойынша дифференциалдаймыз, онан кейін (1.1) теңдеуді пайдаланамыз:

;

демек (1.11)

Векторлық алгебрадан болатындығы белгілі, мұндағы-Лаплас операторы. Осы қатынас негізінде былай жазуға болады:. (1.3) шарты орындалғандаболады. Сонда, ал (1.11) теңдеуі мына түрге келеді:

(1.12)

Дәл осылайша магнит өрісі кернеулігі үшін де осындай теңдеуді жазуға болады. Ол үшін (1.1) теңдеуді бойынша дифференциалдаймыз; онан кейін (1.2) теңдеуді пайдаланамыз. Сонда мына теңдеу алынады:

(1.13)

(1.12) және (1.13) теңдеулері толқындық қозғалыс теңдеуі болып табылады. Осындай теңдеулерді қанағаттандыратын кез-келген функция қандай да бір толқынды бейнелейді. Және осы өрнектегі уақыт бойынша екінші туынды алдындағы коэффициенттің кері шамасының квадраттық түбірі осы толқынның таралуының фазалық жылдамдығын береді:

(1.14)

мұндағы .

Сонымен, (1.12) және (1.13) теңдеулері электромагниттік өрістің электромагниттік толқындар түрінде өмір сүре алатындығын және осы толқынның фазалық жылдамдығы

(1.14а)

болатындығын көрсетеді.

Вакуумда , демек, яғни электромагниттік толқын вакуумда жарық жылдамдығына тең жылдамдықпен таралады.

Электромагниттік толқынның көлденең толқын болатындығы. Жазық толқын мысалында электромагниттік толқынның негізгі қасиеттерін тағайындайық. Біртекті диэлектрик ортада осі бойымен таралатын электромагниттік толқынды қарастырайық.осі толқын беттеріне перпендикуляр бағытталған болсын. Осы жағдайда және , демек бұлардың құраушылары да,пен-ке тәуелді болмайды. Сонда (1.5)-(1.8) теңдеулері былайша ықшамдалады:

; (1.5а)

;(1.6а)

; (1.7а) ; (1.8а)

(1.5а)-(1.8а) теңдеулерінен және-тың-қа да,-ға да тәуелді болмайтындығы келіп шығады. Демек, кеңістікте ғана емес, уақыт бойынша даболады, яғниосі бойымен толқынның электромагниттік өрісіне қабаттасатын тек тұрақты (статикалық) өріс болуы мүмкін.

Ал жазық толқынның айнымалы өрісі үшін , яғни электромагниттік толқын өрісініңосі бойынша құраушылары болмайды, яғни және векторлары толқынның таралу бағытына перпендикуляр болады. Демек, электромагниттік толқындар-көлденең толқындар.

және векторларының өзара перпендикуляр,жәневекторлары тербелістерінің синфазалы болатындығы. (1.5а), (1.6а) жүйелеріндегі соңғы екі теңдеулерін екі топқа біріктіріп жазамыз:

; (1.15)

; (1.16)

(1.15), (1.16) теңдеулерін қарастырғанда құраушысы-ке тәуелді де, ал-ке тәуелді емес екендігі байқалады. Тиісіншеқұраушысы-ке тәуелді, бірақ-ке тәуелді емес. Мұндай қатынастар егер векторы векторына перпендикуляр болған жағдайда ( және векторлары ортогональ) мүмкін болады.

Егер осін бойымен бағыттасақ, онда болады да (1.15) және (1.16) жүйедегі төрт теңдеуден мына екеуі қалады

; (1.17)

Осы теңдеулерден, мәселен, осі бойымен бағытталғанмагнит өрісінің уақыт бойынша өзгерісіосі бойымен бағытталғанэлектр өрісін туғызатындығы көрінеді. Уақыт бойыншаөрісінің өзгерісі өз кезегіндеөрісін туғызады және т.т. Осы жағдайдаөрісі де,өрісі де пайда болмайды. Демек, бұдандеген қорытынды шығады.

және ортогональ векторларының өзара орналасуы 1.2-суретте көрсетілген. Толқын таралғанда және векторларының бағыты өзгеріссіз қалатын толқынның оптикалық құбылыстарды бейнелеуде маңызы үлкен және ол жарықтың электромагниттік теориясында кең түрде қолданылады. Мұндай толқынжазық поляризацияланған толқын деп аталады.

Жазық электромагниттік толқынды бейнелеу үшін (1.17) теңдеуді қолданамыз. Бірінші теңдеуді бойынша, екінші теңдеудібойынша дифференциалдаймыз.болатындықтан,үшін мына толқындық теңдеу алынады

(1.18)

Дәл осылайша магнит өрісі кернеулігінің құраушысы үшін де осындай теңдеуді жазуға болады

(1.19)

(1.18) және (1.19) теңдеулері (1.12) және (1.13) теңдеулерінің дербес жағдайлары болып табылады. (1.18) және (1.19) теңдеулерінің шешімдері жазық монохромат толқындарды сипаттайтын тиісінше мына функциялар болады

(1.20)

(1.21)

(1.20), (1.21) функцияларын (1.17) теңдеулеріне қоямыз:

;

.

Осы теңдеулер қанағаттандырылуы үшін болуы және бұдан басқа мына қатынастар орындалуы қажет:

; .

Осы екі теңдікті бір-бірімен көбейтіп болатындығын табамыз.

Сонымен, электромагниттік толқында электр және магнит векторлары бірдей фазада () тербеліс жасайды, ал осы векторлардың амплитудалары мына қатынаспен байланысқан

(1.22)

Диэлектрик үшін, демек. Вакуум үшінжәне.

Еркін электромагниттік толқында және векторлары бір фазада тербеліс жасайды, яғни максимум немесе минимум мәндеріне бұлар кеңістіктің бірдей нүктелерінде және бір мезгілде жетеді.

Электромагниттік толқын энергиясы. Умов-Пойнтинг векторы. Электромагниттік толқын таралған кезде энергия тасымалданады. Қайсыбір бет арқылы бірлік уақытта толқын тасымалдайтын энергия мөлшері энергия ағыны деп аталады және ол Ваттпен өлшенеді.

Кеңістіктің әртүрлі нүктелеріндегі энергия ағысын сипаттау үшін энергия ағынының тығыздығы деп аталатын векторлық шама енгізіледі. Бұл шама берілген нүктеге энергияның тасымалдану бағытына перпендикуляр орналастырылған бірлік аудан арқылы өтетін энергия ағынына сан жағынан тең. Энергия ағыны тығыздығы векторының бағыты энергияның тасымалдану бағытымен дәл келеді.

Энергия ағыны тығыздығының векторын серпімді толқындар үшін 1874ж. қарастыруға алғаш енгізген Н.А.Умов (1846-1915). Ол кез-келген ортадағы энергия ағыны жайындағы жалпы теореманы дәлелдеді, Умов векторы мынаған тең

(1.23)

мұндағы -энергия тығыздығы;-толқынның фазалық жылдамдық векторы, ол толқынның таралу бағытымен (энергияның тасымалдану бағытымен де) дәл келеді.

Кейіннен (1884 ж) осындай векторды электромагниттік толқындар үшін ағылшын физигі Пойнтинг (1852-1914) енгізген болатын. Осы себепті энергия ағыны тығыздығының векторы әдетте Умов-Пойнтинг векторы деп аталады.

Сонымен энергия ағыны тығыздығын (1.23) формула көмегімен энергия тығыздығыныңтолқын жылдамдығына көбейтіндісі ретінде табуға болады. Өтімділіктеріжәнекәдімгі изотроп ортада электромагниттік өріс энергиясының тығыздығы электр және магнит өрістері энергиялары тығыздықтарының қосындысына тең:

(1.24)

Берілген ортада жәнеарасындағы (1.22) қатынас орындалады, ал бұл қума толқындағы электр энергиясының тығыздығы магниттік энергия тығыздығына тең болатындығын білдіреді. Сондықтан (1.24) өрнекті былай жазуға болады

(1.25)

мұндағы -толқын жылдамдығы (1.14).

-ны -ға көбейтіп, энергия ағыны тығыздығын аламыз

(1.26)

және векторлары өзара ортогональ және толқынның таралу бағытымен оң бұранда жүйесін құрайды. Демек,векторының бағыты энергияның тасымалдану бағытымен дәл келеді, ал осы вектордың модулі-қа тең. Сондықтан электромагниттік энергия ағыны тығыздығыныңвекторын мына түрде жазуға болады:

(1.27)

векторы Умов-Пойнтинг векторы деп аталады. , және векторлары оң бұранда жүйесін құрайды.

Гармоникалық электромагниттік қума толқын (1.20) жағдайында энергия тығыздығы, (1.25) өрнегіне сәйкес, мынаған тең:

.

Энергия ағыны тығыздығы болса, (1.26) өрнегіне сәйкес, былай анықталады:

(1.28)

мұнда жылдамдық (1.24) формуласымен анықталатындығы ескерілген.

Осындай толқынның интенсивтігі, анықтама бойынша, энергия ағыны тығыздығының орташа мәніне тең:. (1.28) өрнегін орташалағанда (1.3-сурет) косинустың квадратының орташа мәніболатындығын ескергенде,

(1.29)

19-БИЛЕТ