Элементы квантовой механики

1. Согласно гипотезе де Бройля каждому микрообъекту можно при­пи­сать, с одной стороны, корпускулярные характеристики: энергию Еи импульсР, а с другой стороны, волновые – частотуи длину волны λ, которые связаны между собой соотношениями:

,.

2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга: ни при каких обстоятельствах невозможно измерить одновременно координату и соответствующую проекцию импульса микрочастицы:

.

существует также соотношение неопределенностей для энергии и времени:

,

где – неопределенность энергии системы в момент ее измерения;– неопределенность длительности процесса измерения;h– постоянная Планка.

3. Стационарное уравнение Шредингера имеет вид

,

где – оператор Лапласа;E– полная энергия частицы;U– потенциальная энергия частицы. Решением стационарного (не зависящего от времени) уравнения Шредингера является волновая функция, которая должна быть конечной, однозначной и непрерывной вместе со своими производными. Физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля – это плотность вероятности (вероятность обнаружить частицу в единичном объеме в окрестностях точки с координатами (x,y,z)):

,

где вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом объеме. Поскольку частица где-то находится, то вероятность ее обнаружения во всем пространстве равна 1 – условие нормировки:

.

4. Для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной ℓс бесконечно высокими стенками на энергетическом уровне с номеромn, решение уравнения Шредингера имеет вид

.

Энергия частицы в этом случае может принимать определенные дискретные значения

,

n= 1, 2, 3… – главное квантовое число;m₀– масса частицы.

Пример.Электрон находится в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками на третьем энергетическом уровне. Ширина потенциальной ямыℓ = 10^–8 м. Определить вероятность нахождения электрона в правой трети ямы и частоту излучения при переходе электрона с третьего уровня на первый.

Решение.Вероятность обнаружения частицы в правой трети ямы определяется из квадрата модуля волновой функции:

.

Подставляя выражения для волновой функции для потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками, получим:

.

Частота излучения при переходе с уровня mна уровеньn(m> n), и учитывая, будем иметь:

.

Подставляя значения, получим:

Гц.

Элементы физики твердого тела

1. Вероятность обнаружения электрона с энергией Е при температуре Tописывается функцией Ферми–Дирака:

,

где – энергия Ферми (максимальная энергия, которую может иметь электрон приТ = 0), причем все уровни нижезаняты, а выше – свободны;k– постоянная Больцмана (k= 8,63 · 10^–5эВ/К).

2. Вероятность обнаружения дырки с энергией Е при температуре Tописывается функцией:

.

3. Количество электронов, имеющих энергию в интервале от Е₁ доЕ₂:

,

где – плотность состояний.

При Т = 0 К, и тогда концентрация электронов в металле

.

Зависимость уровня Ферми в металле при Т = 0 К от концентрации электронов:

.

4. Подвижностью электронов (дырок) называется средняя дрейфовая скорость носителей заряда под действием поля единичной напряженности:

.

Подвижности электронов и дырок различны и приведены в табл. 2 (для T= 300 К).

Таблица 2

Материал	м^2/В·с	м^2/В·с	mn /m0	mр /m0	Eg, эВ	, м^–-3
Германий	0,38	0,18	0,56	0,37	0,74	7·10^15
Кремний	0,15	0,05	1,08	0,59	1,16	2,1 ·10^19

5. Концентрация электронов в зоне проводимости (n) и дырок в валентной зоне (р) определяется выражениями:

,

где Е_c – энергия дна зоны проводимости,– энергия потолка валентной зоны,N_c,– эффективные плотности состояний.

.

Эффективные массы электронов (m_n) и дырок (m_p) для кремния и германия приведены в табл. 2.

6. В собственном полупроводнике энергия Ферми определяется следующим образом:

,

где E_g– ширина запрещенной зоны. Для кремния и германия значенияE_gприведены в табл. 2. При температуреТ = 0 уровень Ферми в собственных полупроводниках лежит посередине запрещенной зоны.

7. Электропроводность собственных полупроводников () зависит от температуры и ширины запрещенной зоны, поскольку для образования свободных носителей заряда в зоне проводимости они должны преодолеть запрещенную зону.

.

8. Введение в собственный полупроводник примеси приводит к возникновению в запрещенной зоне примесных уровней энергии, которые для донорного полупроводника располагаются вблизи дна зоны проводимости, а для акцепторного – вблизи потолка валентной зоны.

донорный полупроводник

акцепторный полупроводник

9. Удельная электропроводность для полупроводника n-типа (донорного) с концентрацией электроновn:

.

Удельная электропроводность для полупроводника р-типа (акцепторного) с концентрацией электроновр:

.

Удельная электропроводность для полупроводника, у которого присутствуют как донорная, так и акцепторная примесь,

.

Удельная электропроводность для собственного полупроводника, у которого концентрации электронов и дырок равны :

.

10. Возникновение поперечной разности потенциалов в проводнике с током I, помещенном в магнитное полеB, называется эффектом Холла. Величина этой разности потенциаловназывается холловской разностью потенциалов;d – толщина пластинки полупроводника в направлении приложения магнитного поля, аR_н – постоянная Холла. Если в полупроводнике преобладают носители одного типа, то илисоответственно.

11. Концентрация электронов (n) в примесном полупроводнике связана с концентрацией дырок (р) через собственную концентрацию носителей (n_i =р_i):

.

Значения собственных концентраций (n_i =р_i) приТ=300 К приведены в табл. 2.

Пример.Найти положение уровня Ферми в собственном кремнии приТ= 300 К.

Решение.Положение уровня Ферми в собственных полупроводниках определяется соотношением:

.

Будем считать, что ширина запрещенной зоны не меняется с температурой, все необходимые для расчета величины приведены в табл. 2.

эВ.

Таким образом, уровень Ферми находится на 0,57 эВ выше потолка валентной зоны, или на 0,01 эВ ниже середины запрещенной зоны.

Пример.Во сколько раз возрастет электропроводность германиевого образца при нагревании его отТ₁ = 300 К доТ₂ = 350 К?

Решение.Температурная зависимость собственных полупровод­ников определяется шириной запрещенной зоны

.

Отношение электропроводностей:

.

Таким образом, электропроводность увеличилась в 7,7 раза.