Закон радиоактивного распада

Количество атомов радиоактивного вещества dN, распадающихся за времяdt, пропорционально количеству атомов в настоящий момент времени и определяется соотношением

,

где  – постоянная распада.

Интегрируя, получим

,

где N₀ – число атомов, имевшихся в момент времени t = 0; N – их число через время t.

Процесс радиоактивного распада является вероятностным, причем величина N определяет количество ядер, распавшихся в течение секунды.

Постоянная распада  – отношение количества атомов, распавшихся за 1 с, к количеству атомов радиоактивного вещества, находящегося в нем в данный момент времени. Постоянная распада характеризует величину вероятности того, что атом претерпит в течение секунды распад, и не зависит от физических и химических условий, в которых находится радиоактивный изотоп.

Величина, обратная постоянной распада  = 1/, называется средним временем жизни радиоактивного атома.

Для характеристики степени быстроты распада пользуются величиной, которая называется периодом полураспадаТ_1/2. Период полураспада Т_1/2 есть время, в течение которого распадается половина взятого количества радиоактивного вещества:

,

отсюда следует .

Так как постоянная, то и соответствующий ей периодТ_1/2  тоже постоянен (для данного вещества), т. е. какое бы количество радиоактивного вещества ни была взято, половина его претерпит распад за одно и то же время.

Величина А = N, равная числу ядер атомов вещества, распавшихся в единицу времени, носит название активности радиоактивного вещества.Стандартной единицей измерения активности в настоящее время является беккерель (Бк). 1 Бк равен одному распаду в секунду.

В течение многих лет применяли единицу активности Кюри (Ки). Исторически сложилось так, что указанная единица была введена применительно к радию, один грамм которого и обладал активностью 1 Ки. Когда начали использовать эту единицу по отношению ко всем остальным радиоактивным элементам, 1 Ки стал выражать количество вещества, в котором за 1 секунду происходит распад 37 млрд атомов:

1 Ки = 3,710¹⁰ расп/с = 3,710¹⁰ Бк.

Удельная активность (a)радиоактивного вещества определяется активностью на единицу массы или единицу объема.

Массовая удельная активность – это отношение числа актов распада в секунду к единице массы радиоактивного вещества, измеряется в Бк/кг:

а=А/m.

Объемная удельная активность– это отношение числа актов распада в секунду к единице объема радиоактивного вещества, измеряется в Бк/м³:

а=А/V.

Пример.Определить начальную активностьА₀радиоактивного препарата магнияMg²⁷ массойm= 0,2 мкг, а также его активностьАчерез времяt= 6 ч. Для магния период полураспадаТ_1/2= 10 мин.

Решение.Активность препарата в момент времениtопределяется формулой:А=N=.

Начальную активность А₀ препарата получим приt= 0:

А₀=N₀.

Число N₀ радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно:

,

где N_А– число Авогадро,m– масса изотопа,M– молярная масса.

Таким образом, начальная активность равна:

.

Активность препарата в момент времени t = 6 ч = 2,1610⁴ с равна:

.

Варианты заданий Вариант 1

1. От двух когерентных источников S₁иS₂(λ = 0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поставили мыльную пленку (n= 1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине пленки это воз­можно?

2. На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d = 1 мкм. Какой наибольший порядок спектра дает эта решетка в случае красного света (λ = 0,7 мкм)? Сколько максимумов будет наблюдаться при освещении этой решетки фиолетовым светом (λ = 0,41 мкм)?

3. На пластинку со щелью, ширина которой a = 0,05 мм, падает нормально монохроматический свет с длиной волны λ = 0,7 мкм. Найти угол, соответствующий первому дифракционному максимуму.

4. Вычислить энергию, излучаемую за t= 1 мин с поверхностиS= = 10 см²  абсолютно черного тела, температура которогоТ= 1000 К.

5. Энергетическая светимость абсолютно черного тела R_э = 3 Вт/см².Найти длину волны, отвечающей максимуму испускательной способности этого тела.

6. Используя формулу Релея–Джинса, найти зависимость между яркостной температурой Т_ятела и его реальнойТ. Показать, что для хорошо отражающих тел (1)Т_яТ.

7. Определить задерживающее напряжение, если на цинковый элемент падают фотоны с длиной волны λ = 250 нм. Найти частоту, соответствующую «красной границе» фотоэффекта для цинка.

8. При комптоновском рассеянии энергия падающего фотона распределяется поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния равен /2. Найти энергию и импульс рассеянного фотона.

9. Найти длину волны де Бройля электрона, летящего со скоростью V = 10⁸ см/с, и шарика массойm = 1 г, движущегося со скоростьюV₁ = = 1 см/с. Нужно ли учитывать волновые свойства электрона и шарика?

10. Частица массой mнаходится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямыL. Найти отношение разности энергий соседних уровнейЕ_n, n+1 к энергииЕ_nчастицы в трех случаяхn= 2,n= 5,n=.

11. Вычислить удельное сопротивление германиевого полупроводника р-типа, если концентрация дырокр= 3ּ10²⁰ м^–3. Найти удельное сопротивление германиевого полупроводникаn-типа при той же концентрации электроновn.

12. Определить, во сколько раз различаются вероятности заполнения электронами нижнего уровня зоны проводимости в собственном германии и собственном кремнии при 300 К.

13. Массы нейтрона и протона в энергетических единицах равны соответственно m_n= 939,6 МэВ иm_p= 938,3 МэВ. Определить массу ядра дейтрона H²  в энергетических единицах, если его энергия связи=2,2 МэВ.

14. Счетчик Гейгера, установленный вблизи препарата радиоактивного изотопа серебра, регистрирует поток β-частиц. При первом измерении поток Ф₁ частиц был равен Ф₁ = 87 с‾¹, а по истечении времениt = 1 сут поток Ф₂ оказался равным Ф₂ = 22 с‾¹. Определить период полураспадаТ_1/2 изотопа.