6.1. Общий подход к математическому описанию эмс
Одной из особенностей ЭМС является физическая разнородность входящих в них элементов – электромеханических, электротехнических, электронных (цифровых и аналоговых), функциональных и механических, что предполагает различные способы их математического описания. Применение конкретных методов анализа и синтеза также связано с различными формами представления математического описания. В то же время, должно быть методологическое единство между этими формами, позволяющее на любой стадии исследований использовать результаты, полученные на других стадиях.
Методологической основой для математического описания ЭМС в настоящее время признан метод переменных состояния, общепринятый в современной теории систем. Общий подход при этом заключается в следующем:
на основе физических законов получают полное математическое описание в нормальной форме системы дифференциальных уравнений (в общем случае – нелинейных);
с целью упрощения (например, избавления от переменных коэффициентов) выполняют соответствующие преобразования;
оценивают реальное соотношение параметров с целью выявления возможности дополнительных упрощений для конкретных режимов (линеаризации некоторых функций, понижения порядка системы дифференциальных уравнений);
записывают дифференциальные уравнения в необходимой форме – в виде матричного уравнения, матричной или скалярной передаточной функции.
При таком подходе вся совокупность полученных вариантов математического описания характеризуется внутренним единством, а различия связаны с соответствующими допущениями и ограничениями, которые для каждого варианта четко оговариваются.
Основным элементом ЭМС является электродвигатель, вид математического описания которого влияет на математическое описание всей ЭМС. Существует два основных подхода к математическому описанию электродвигателей – теория поля и теория электрических цепей. Подход на основе теории цепей получил наибольшее распространение в исследованиях ЭМ. В нем используются обобщенные параметры – сопротивления, индуктивности, потокосцепления, что позволяет естественным образом объединить модели электродвигателя с моделями электротехнической и электронной частей.
Этот подход реализуется обычно в рамках обобщенной теории электромеханического преобразования энергии. При упрощающем допущении о геометрической и электрической симметрии обмоток двигателя переходят к обобщенным векторам напряжений, токов и потокосцеплений, а затем (путем координатных преобразований) – к двухфазной модели обобщенного электромеханического преобразователя энергии с взаимно неподвижными обмотками.
Выбор системы координат зависит от способа управления двигателем. При ЧНУ используется система координат [x,jy], связанная с одним из векторов напряжения, например, нерегулируемого. При ЧТУ и ЧВУ чаще используется система координат [d,jq], связанная с ротором, что позволяет имитировать режим работы ДПТ.
Такой подход весьма эффективен при структурном моделировании ЭМС, исследовании статических режимов и энергетических процессов, анализе двигателя как элемента ЭМС, разработке способов управления и синтезе системы управления. Недостатком такого подхода является невозможность учета различных неидеальностей двигателя (несимметрии обмоток, неравномерности воздушного зазора и т.п.) и реальной формы питающего напряжения. Следствием этого становится невозможность исследовать ЭМС на функциональном уровне, в том числе при сбоях в системе управления и других нештатных ситуациях.
Наиболее распространенной формой математического описания электродвигателей является представление их в виде обобщенного двухфазного электромеханического преобразователя энергии, во вращающейся системе координат с взаимно неподвижными обмотками в векторной форме и относительных единицах:
,
где переменные с черточками – обобщенные пространственные векторы соответствующих величин; индекс 1 относится к первой (статорной) обмотке; индекс 2 – ко второй (роторной); - потокосцепления; i – токи; и – мгновенные значения синусоидальных питающих напряжений в данной системе координат; н – угол нагрузки; J – момент инерции всех вращающихся масс, приведенный к валу двигателя; д – угловая скорость ротора двигателя; - угловые частоты питания; Мс – статический момент нагрузки; R1, R2, L1, L2, Lm – соответственно активные сопротивления, собственные индуктивности и взаимная индуктивность обмоток; j – символ комплексной записи (мнимая единица).
Выбором угловой скорости к системы координат привязывают всю систему уравнений к тому или иному обобщенному вектору.
Для ЧНУ и других традиционных способов частотного управления такая модель вполне достаточна и широко применяется. Но в ней не заложены возможности управления изменением фаз и форм питающих напряжений.
Реально ЭМС работают в составе систем более высокого уровня во взаимодействии с внешними управляющими устройствами, источниками питания и механической нагрузкой, которые существенно влияют на процессы в самой ЭМС.
Но ЭМС можно рассматривать и автономно, вне этих связей – как укрупненный элемент (подсистему) верхнеуровневой системы управления. Это позволяет решать «внутренние» проблемы ЭМС – разрабатывать способы управления двигателем и принципы построения ЭМС, определять его собственные статические и динамические свойства, точностные и энергетические характеристики.
При этом можно идеализировать (в разных аспектах) источник питания и механическую нагрузку при определенных сигналах задания. Полученные результаты можно затем использовать при синтезе и анализе ЭМС уже с учетом влияния указанных внешних факторов.