3.1. Понятие системы случайных величин. Закон распределения в дискретном случае.
Упорядоченный набор X1 X2 Xn случайных величин X (i 1,...n.) i = , заданных на одном и том же пространстве элементарных событий Ω , называется n-мерной случайной величиной или системой случайных величин.
3.2. Функция распределения двумерной с.в. и ее свойства. Формула вероятности попадания в прямоугольник.
Ф.распеределения С.В.-вероятность попадания точки в прямоугольник ограниченный прямыми,параллельными осям координат:
P{
}=[F(
)-
F(
)]-
[F(
)-
F(
)]
F(x,y)=
Усл.нормировки:
M(Y/X=
)=
;Mx=
;My=
Dx=
;
Dy=
3.3. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины. Свойства.
Св-ва:
-неубывание
по каждому аргументу
F(+
)=1F(x,
)=F1(x)=Fx(x);
F(+
)=F2(y)=Fу(y)-при
обращении одного из аргументов в
бесконечность становится ф.одного
аргумента
-односторонняя
непрерывность
3.4. Зависимость и независимость случайных величин
два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.
Критерии независимости:
Если независимы события {
}
и {
}
Дискретные случайные величины независимы, если
:
Если условный и безусловный законы распределения совпадают
Если F(x,y)=F1(x)*F2(y)
f(x,y)=f1(x)*f2(y)
3.5. Условные законы распределения: дискретный случай
Условным законом распределения одной из случайных величин, входящих в систему двумерных случайных величин, называется закон ее распределения, найденный при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение.
Усл.мат.ожидание:
3.6 Условные распределения: непрерывный случай.
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется
Свойства:
F(x)
;P{X
}=F(b)-F(a)=
Определение непрерывной случайной величины.
С.в. Х называется непрерывной, если
Замечание
f(x) называют также дифференциальной функцией распределения.
3.7 Правило перемножения плотностей распределений
Совместная плотность системы двух зависимых непрерывных случайных величин (X,Y) равна произведению плотности одной из них на условную плотность другой при заданном значении первой:
Для независимых случайных величин теорема умножения плотностей будет иметь вид
Т.е. совместная плотность распределения независимых случайных величин равна произведению плотностей обеих случайных величин, входящих в систему.
Можно получить выражения для определения условных плотностей распределения
;
Условные плотности
И обладают свойствами обычных плотнойтей, т.е. они положительно определенные и интеграл от них в бесконечных пределах равен еденице (условие нормировки).
Обе формулы запишем так:
Отсюда следует, что геометрическая интерпритация кривой условной плотности может быть получена путем сечения поверхности распределения f(x,y) плоскостью, параллельной координатной плоскости, отсекающей на оси оу отрезок у.
3.8 Числовые характеристики. Математическое ожидание и дисперсия. Центр рассеивания.
Моменты.
С помощью математического ожидания определяются остальные числовые характеристики- начальные и центральные моменты.
Мат.ожидание (МХ)
Для дискретной случайной величины Х, принимающей значения хi с соответствующими вероятностями pi :
Mx=
Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения f(x):
Дисперсия
Центры рассеивания(центральные моменты):
Для дискретной случайной величины:
Для непрерывной с.в.:
Начальные моменты:
Для дискретной с.в.:
Для непрерывной с.в.:
