- •1.1 Случайные события: элементарные, достоверные, невозможные, несовместные, совместные, равновозможные. Попарно-несовместные, образующие полную группу. Пространство элементарных событий. Случай.
- •1.2. Сумма, произведение, разность, отрицание. Теоретико-множественная трактовка. Диаграммы Эйлера-Венна. Алгебра событий. Понятие сигма-алгебры.
- •1.3. Частота события. Свойство статистической устойчивости. Статистическое определение вероятности.
- •1.4. Классическое определение вероятности события. Непосредственное вычисление вероятностей.
- •1.5. Комбинаторика: правило умножения и сложения. Основные схемы: с возвращением, без возвращения. Понятия размещения, сочетания, перестановки.
- •1.6. Геометрическое определение вероятности.
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятностей.
- •1.8. Вероятностное пространство.
- •Независимые случайные величины Определения
- •1.12 Вероятность суммы событий
- •1.13 Формула полной вероятности.
- •1.14 Формула Байеса
- •1.15.Однородная цепь Маркова
- •1.16. Независимые испытания. Схема и формула Бернулли. Многоугольник распределения вероятностей.
- •1.17 . Предельные теоремы в схеме Бернулли: формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавры-Лапласа.
- •1.18 Схема Бернулли. Наивероятнейшее число
- •2.1.Понятие и определение случайной величины.
- •2.2. Закон распределения случайной величины. Многоугольник распределения.
- •2.3. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •2.4.Дискретные случайные величины. Сумма, разность, произведение на число.
- •2.5. Произведение д.С.В. Независимость.
- •2.9. Числовые характеристики случайных величин. Мат ожидание. Свойства мат ожидания.
- •2.10. Числовые характеристики случайных величин. Дисперсия. Свойства. Среднее квадратное отклонение
- •2.11. Числовые характеристики случайных величин. Квантили. Мода, медиана. Начальные и центральные моменты.
- •2.12. Производящая функция (случай целочисленных случайных величин).
- •3.1. Понятие системы случайных величин. Закон распределения в дискретном случае.
- •3.8 Числовые характеристики. Математическое ожидание и дисперсия. Центр рассеивания.
- •3.9 Корреляционный момент. Свойства ковариации. Ковариационная матрица.
- •3.10 Коэффициент корреляции. Свойства. Линейная корреляционная зависимость.
- •3.11 Двумерное нормальное распределение. Центр рассеивания. Формула вероятности
- •3.12 Условное мат. Ожидание. Регрессия. Коэффициент линейной регрессии.
- •5.1 Неравенство Чебышёва
- •5.2 Неравенство Маркова для с.В. Принимающих неотрицательные значения
- •5.3 Сходимость по вероятности
- •5.4 Закон больших числе в форме Чебышёва
- •5.5 Закон больших чисел в форме Бернулли (схема Бернулли)
- •5.6 Центральная предельная теорема (формулировка, пример применения для решения задач)
- •5.7 Центральная предельная теорема в случае схемы Бернулли (теорема Муавра-Лапласа).
- •Глава 1. Случайные события
- •Глава 2. Случайные величины
- •Глава 3. Системы случайных величин
- •Глава 5. Предельные теоремы
2.5. Произведение д.С.В. Независимость.
Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина. Понятие зависимости случайных величин является очень важным в теории вероятностей. Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям. Определим необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.
Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.
Аналогичную теорему можно сформулировать и для плотности распределения:
Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.
2.6. Функция распределения. Свойства.
С помощью функции распределения F(x), определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x). F(x) есть неубывающая, непрерывная слева функция удовлетворяющая свойствам :
2.7. Функция распределения случайной дискретной величины.
Функция распределения случайной величины - это вероятность того, что случайная величина (назовём её k) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x: F(X) =
2.8. Плотность распределения. Свойства.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины x называют функцию f(x) — первую производную от функции распределения F(x):
f(x)=F’(x)
Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.
Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения — неотрицательная функция f(x)>=0.
2.2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до равен единице: Условие нормировки:
Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:
- вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
- полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
2.9. Числовые характеристики случайных величин. Мат ожидание. Свойства мат ожидания.
Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: M(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn
Свойства математического ожидания. 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: М(С) = С 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С·М(Х) 3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х1 + Х2 + …+ Хn) = М(Х1) + М(Х2) + ... + М(Хn) 4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х1 · Х2 · ... · Хn) = М(Х1) · М(Х2) · ... · М(Хn)