3.9 Корреляционный момент. Свойства ковариации. Ковариационная матрица.
Корреляционным моментом случайных величин Х и У называют математическое ожидание произведения этих величин:
Для дискретных величин:
Для непрерывных:
Корреляционный момент характеризует наличие (отсутствие) связи между величинами X и У.
Свойства ковариации
Пусть X,Y — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:
1)ковариация симметрична
cov(X,Y)=cov(Y,X)
2) В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как:
3) Ковариация случайной величины с собой равна дисперсии:
cov(X,X)=D[X]
4) Если X,Y независимые случайные величины, то
cov(X,Y)=0
Ковариационная матрица- это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов одного или двух случайных векторов.
Ковариационная матрица случайного вектора — квадратная симметрическая матрица, на диагонали которой располагаются дисперсии компонент вектора, а внедиагональные элементы — ковариациями между компонентами.
3.10 Коэффициент корреляции. Свойства. Линейная корреляционная зависимость.
Коэффициент корреляции-это мера линейной зависимости двух случайных величин.
Где Kxy обозначает ковариацию, а D- дисперсию.
Свойства:
1)
2) Коэффициент корреляции равен +- 1 тогда и только тогда, когда X и Y линейно зависимы:
3) Если X,Y независимые случайные величины, то qX,Y = 0. Обратное, вообще говоря, неверно.
Корреляционная зависимость между х и у называется линейной, если обе линии регрессии (по у и у по х) являются прямыми.
3.11 Двумерное нормальное распределение. Центр рассеивания. Формула вероятности
попадания в прямоугольник.
Двумерный случайный вектор имеет нормальное распределение, если его плотность равна
Средние значения (математические ожидания) М[x]=a M[Y]=b определяют точку (a,b) , называемую центром совместного распределения вероятностей или центром рассеивания.
Формула вероятности попадания…
3.12 Условное мат. Ожидание. Регрессия. Коэффициент линейной регрессии.
Условное мат.ожидание- это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.
Функция g(Х) = α + βХ называется наилучшим приближением Y в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание М(Y - g(Х))2 принимает наименьшее возможное значение; функцию g(Х) называют среднеквадратической регрессией Y на Х.
Коэффициенты линейной регрессии показывают скорость изменения зависимой переменной по данному фактору, при фиксированных остальных факторах (в линейной модели эта скорость постоянна):
5.1 Неравенство Чебышёва
Пусть случайная величина
определена на вероятностном пространстве
а её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда
Где а больше 0.
В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на 2 стандартных отклонения, с вероятностью меньше 25%. Она отклоняется от среднего на 3 стандартных отклонения с вероятностью меньше 11,2%.
5.2 Неравенство Маркова для с.В. Принимающих неотрицательные значения
Пусть Х - случайная величина, принимающая лишь неотрицательные значения. Тогда можно получить следующее неравенство:
;
где
Док-во:
Для определенности предположим, что Х - непрерывная случайная величина с плотностью f(х). По определению математического ожидания получаем
Оба слагаемых в правой части не отрицательны, в силу условий леммы, поэтому
но теперь x ≥ τ, и следовательно
