Независимые случайные величины Определения

Определение 5. Пусть дано семейство случайных величин , так что. Тогда эти случайные величины попарно независимы, если попарно независимы порождённые ими сигма-алгебры . Случайные величины независимы в совокупности, если таковы порождённые ими сигма-алгебры.

Определение, данное выше, эквивалентно любому другому из нижеперечисленных. Две случайные величины X, Y  независимы тогда и только тогда, когда:

Для любых A, B :

• 

• Для любых борелевских функций  случайные величины f(X), g(Y) независимы.

• Для любых ограниченных борелевских функций f,g: R→R:

1.12 Вероятность суммы событий

• Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

• Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

• Вероятность суммы двух совместных событий выражается формулой:

• Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, составляющих полную группу, равна единице:

Р(А) + Р(В) + ... + Р(N)=1,

где события А, В, ..., N образуют полную группу.

Действительно, так как события А, В, ..., N образуют полную группу, то событие А+В+...+N по правилу 1 является достоверным и Р(А+В + ... +N)=1. Вспомним, что события, образующие полную группу, являются несовместными. Тогда по теореме сложения вероятностей Р(А+В+...+N) = Р(А) + Р(В) + ... + Р(N). Из двух полученных равенств делаем вывод: Р(А) + Р(В) + ... + Р(N)=1.

Следствие 2. Вероятность события, противоположного А, равна единице минус вероятность события А:

P() = 1  P(A).

1.13 Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности 

позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство (, и полная группа попарнонесовместных событий  , таких что

1. 

2. 

3. 

Пусть A  — интересующее нас событие. Тогда

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть N — случайная величина, имеющая распределение

.

Тогда

, т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

1.14 Формула Байеса

Формулировка

основная статья: Байесовская вероятность

,

где

P(A)— априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

P(A|B)— вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

P(B|A)— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

P(B)— полная вероятность наступления события B.

Доказательство

Формула Байеса вытекает из определения условной вероятности. Вероятность совместного события AB двояко выражается через условные вероятности

Вычисление P(B) 

В задачах и статистических приложениях P(B)  обычно вычисляется по формуле полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез, имеющих суммарную вероятность 1.

,

где вероятности под знаком суммы известны или допускают экспериментальную оценку.В этом случае формула Байеса записывается так:

«Физический смысл» и терминология

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.События, отражающие действие «причин», в данном случае называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом

факта произошедшего события —апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).