1.15.Однородная цепь Маркова

Цепью Маркова называют последовательность испытаний, в каждом из которых появляется одно и только одно из k несовместных событий A1…A2…Ak полной группы, причем условная вероятность  Pij(S) того, что в S-м испытании наступит событие Aj(=1,2,…,k), при условии, что в (s-1)-м испытании наступило событие Ai(i-1,2,…,k), не зависит от результатов предшествующих испытаний.

Определение. Однородной называют цепь Маркова, если условная вероятность Pij(s) (переход из состояния i в состоянии j) не зависит от номера испытания. Поэтому вместо Pij(S) пишут просто Pij.

Переходной вероятностью  Pij называют условную вероятность того, что из состояния  i (в котором система оказалась в результате некоторого испытания, безразлично какого номера) в итоге следующего испытания система перейдет в состояние j.

Таким образом, в обозначении pij первый индекс указывает номер предшествующего, а второй − номер последующего состояния. Например, P23 – вероятность перехода из второго состояния в третье.\

Пусть число состояний конечно и равно k.

Матрицей перехода системы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы:

Так как в каждой строке матрицы помещены вероятности событий (перехода из одного и того же состояния i в любое возможное состояние j), которые образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице. Другими словами, сумма переходных вероятностей каждой строки матрицы перехода равна единице:

1.16. Независимые испытания. Схема и формула Бернулли. Многоугольник распределения вероятностей.

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли. Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом. Так же примером является многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну.

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. p=P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой q=P(A¯)=1−p.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли

Pn(k)=Ckn⋅pk⋅qn−k,q=1−p. (3.2)

Формулу (3.2) называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события A, называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически. Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения. Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.