- •1.1 Случайные события: элементарные, достоверные, невозможные, несовместные, совместные, равновозможные. Попарно-несовместные, образующие полную группу. Пространство элементарных событий. Случай.
- •1.2. Сумма, произведение, разность, отрицание. Теоретико-множественная трактовка. Диаграммы Эйлера-Венна. Алгебра событий. Понятие сигма-алгебры.
- •1.3. Частота события. Свойство статистической устойчивости. Статистическое определение вероятности.
- •1.4. Классическое определение вероятности события. Непосредственное вычисление вероятностей.
- •1.5. Комбинаторика: правило умножения и сложения. Основные схемы: с возвращением, без возвращения. Понятия размещения, сочетания, перестановки.
- •1.6. Геометрическое определение вероятности.
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятностей.
- •1.8. Вероятностное пространство.
- •Независимые случайные величины Определения
- •1.12 Вероятность суммы событий
- •1.13 Формула полной вероятности.
- •1.14 Формула Байеса
- •1.15.Однородная цепь Маркова
- •1.16. Независимые испытания. Схема и формула Бернулли. Многоугольник распределения вероятностей.
- •1.17 . Предельные теоремы в схеме Бернулли: формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавры-Лапласа.
- •1.18 Схема Бернулли. Наивероятнейшее число
- •2.1.Понятие и определение случайной величины.
- •2.2. Закон распределения случайной величины. Многоугольник распределения.
- •2.3. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •2.4.Дискретные случайные величины. Сумма, разность, произведение на число.
- •2.5. Произведение д.С.В. Независимость.
- •2.9. Числовые характеристики случайных величин. Мат ожидание. Свойства мат ожидания.
- •2.10. Числовые характеристики случайных величин. Дисперсия. Свойства. Среднее квадратное отклонение
- •2.11. Числовые характеристики случайных величин. Квантили. Мода, медиана. Начальные и центральные моменты.
- •2.12. Производящая функция (случай целочисленных случайных величин).
- •3.1. Понятие системы случайных величин. Закон распределения в дискретном случае.
- •3.8 Числовые характеристики. Математическое ожидание и дисперсия. Центр рассеивания.
- •3.9 Корреляционный момент. Свойства ковариации. Ковариационная матрица.
- •3.10 Коэффициент корреляции. Свойства. Линейная корреляционная зависимость.
- •3.11 Двумерное нормальное распределение. Центр рассеивания. Формула вероятности
- •3.12 Условное мат. Ожидание. Регрессия. Коэффициент линейной регрессии.
- •5.1 Неравенство Чебышёва
- •5.2 Неравенство Маркова для с.В. Принимающих неотрицательные значения
- •5.3 Сходимость по вероятности
- •5.4 Закон больших числе в форме Чебышёва
- •5.5 Закон больших чисел в форме Бернулли (схема Бернулли)
- •5.6 Центральная предельная теорема (формулировка, пример применения для решения задач)
- •5.7 Центральная предельная теорема в случае схемы Бернулли (теорема Муавра-Лапласа).
- •Глава 1. Случайные события
- •Глава 2. Случайные величины
- •Глава 3. Системы случайных величин
- •Глава 5. Предельные теоремы
1.17 . Предельные теоремы в схеме Бернулли: формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавры-Лапласа.
Локальная теорема Лапласа. Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях очень трудно. Например, еслиn=50, m=30, p=0,1, то для отыскания вероятности P30,50 надо вычислить значение выражения
Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую вероятность, не используя формулу Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно раз виспытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Теорема 3.1. Если вероятность P появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pm,n того, что событие A появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции
при . Существуют таблицы, которые содержат значения функции, соответствующие положительным значениям аргумента. Для отрицательных значений аргумента используют те же таблицы, так как функциячетна, т. е..
Итак, приближенно вероятность того, что событие A появится в n испытаниях ровно m раз,
где .
Интегральная теорема Лапласа
Предположим, что проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна P. Необходимо вычислить вероятность P(m1,m2),n того, что событие A появится в n испытаниях не менее m1 и не более m2 раз (для краткости будем говорить "от m1 до m2 раз"). Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа.
Теорема 3.2. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то приближенно вероятность P(m1,m2),n того, что событие A появится в испытаниях от m1 до m2 раз,
где .
Формула Пуассона для маловероятных событий
Если вероятность P наступления события в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний n, но при небольшом значении произведения np получаемые по формуле Лапласа значения вероятностей Pm,n оказываются недостаточно точными и возникает потребность в другой приближенной формуле.
Теорема 3.3. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, но мала, число независимых испытаний n достаточно велико, но значение произведения np=𝜆 остается небольшим (не больше десяти), то вероятность того, что в этих испытаниях событие A наступит m раз,
1.18 Схема Бернулли. Наивероятнейшее число
Вероятности Рn(k) при данном n сначала увеличиваются при увеличении k от 0 до некоторго значения k0, а затем уменьшаются при изменении k от k0 до n. Поэтому k0 называют наивероятнейшим числом наступления события А в n испытаниях.
Наивероятнейшее число k0 определяется из неравенств np-q≤k≤np+p. В этом неравенстве k может быть только целым числом. Когда np целое число, то k=np. Если np+p и np-q целые числа, то наивероятнейших чисел наступления события будет два k0 (1)= np-q и k0 (2)=np+p и их вероятности будут равны Рn (k0 (1))= Рn (k0 (2)).