1.6. Геометрическое определение вероятности.

Под вероятностью в геометрическом смысле понимают вероятность попадания случайно выбранной точки в заданную область.

1-мерный случай: попадание точки в заданный отрезок l. p=l/L

2-мерный случай: попадание точки в заданную область на плоскости S. p=S/D

3-мерный случай: попадание точки в заданный объем V.p=V/W

Если имеется некоторое подмножество g множества G (g⊆G). Случайным образом выбираем

точку в g. Нужно найти вероятность, с которой эта точка попадет в G.

Обобщенная формула выглядит так: p=mes(g)/mes(G)

Обозначение "mes" (от "mesure") означает меру множеств.

1.7. Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятностей.

Пусть Ω - множество всех возможных исходов. S – множество подмножеств Ω.

Определение. Множество подмножеств S называется алгеброй событий (σ-алгеброй в случае счетного количества множеств), если выполняются следующие свойства:

1. Ø - ∈ S,Ω∈ S пустое множество и все Ω принадлежит S

2. - замкнутостьS относительно операций.

Пустое множество Ø и пространство элементарных исходов Ω составляют минимальную сигма-алгебру.

Вероятностью называется функция P(A), определенная на алгебре событий S,принимающая действительные значения и удовлетворяющая аксиомам:

1. P(A)≥0 – неотрицательность

2. P(𝛺)=1 –нормированность

3. A_i^.A_j= Ø ⟹ P(– Аддитивность

Совокупность (Ω, S, p) - вероятностное пространство

Из аксиомы неотрицательности следует: действительные значения, принимаемые вероятностью, как функции на сигма-алгебре событий S, не меньше 0 (вероятности невозможного события).

Аксиома нормированности ("условие нормировки") есть выражение того факта, что вероятность достоверного события равна 1.

Аксиома аддитивности дает правило вычисления вероятности для суммы несовместных событий.

Свойства вероятностей:

1. p(Ø)=0

2. p(A) + p() =1⇒ p() =1− p(A)

3. 0 ≤ p(A) ≤1

4. A ⊆ B ⇒ p(A) ≤ p(B)

5.

События А-{хотя бы одно} и ={ни одного} противоположны.P(A)=1-P()

Из аксиом следуют свойства вероятностей.

1. Вероятность невозможного события равна 0.

2. События A и ‑ несовместны, поэтому вероятность их суммы есть сумма вероятностей, а вместе они составляют достоверное событие – все пространство элементарных исходов, следовательно, сумма их вероятностей равна 1.

3. Свойство три очевидно.

4. Выполняется в силу аксиомы неотрицательности.

5. Следует из аксиомы аддитивности.

1.8. Вероятностное пространство.

Конечное вероятностное пространство. Пусть эксперимент имеет конечное число возможных исходов:

Ω = {ω₁,ω₂,…, ω_n} – Пространство элементарных событий.

S (сигма- алгебра)

1.

2.

Состоит из всех подмножеств множества 𝛺. Всего таких подмножеств: (всевозможные сочетания изn по m элементов)

Все подмножества можем подсчитать с помощью суммы биномиальных коэффициентов. Каждое случайное событие можно выразить через множество каких-то элементарных исходов.

Поставим в соответствие каждому элементарному исходу некоторое число – вероятность элементарного события:

удовлятворяющую следующим условиям:

1. Неотрицательности: p(ωi) ≥ ,0 ∀ωi ∈Ω

2. Нормированности:

Тогда вероятностью события А будет число р(А):

-сумма вероятностей элементарных событий составляющих событие А.

Если для каждого элементарного исхода определить вероятность, то вероятность случайного события, состоящего из этих элементарных исходов, будет равна сумме вероятностей соответствующих элементарных исходов.

1.9Условная вероятность. Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Пусть  — фиксированное вероятностное пространство. Пустьдва

случайные события, причём . Тогда условной вероятностью событияA при условии события B называется

.|B)=

Замечания

Круговая диаграмма Венна для условной вероятности

Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:

Если , то изложенное определение условной вероятности неприменимо.

• Условная вероятность является вероятностью, то есть функция, заданная формулой

,

Пример

Если A, B  — несовместимые события, то есть  и, то

и .

Предположим, что по статистике вероятность того, что человек доживает до 80 лет, а вероятность того, что человек доживет до 90 лет

Какова вероятность того, что человек доживший до 80 лет доживет до 90? Решение: (если независимы) но так как вероятности зависимы, то пересечение вероятности будет 0,2

0,2/0,3 = 2/3 ≈ 0,67

1.10 вероятность произведения события Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при том условии, что первое событие произошло:

Р(А В) = Р(А)P_A(В) .

Так как для вычисления вероятности произведения не играет роли какое из рассмотренных событий А и  В было первым, а какое вторым, то можно записать:

Р(А В) = Р(А) P_A(В) = Р(В) P_B(А).

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий:

Р(АВ) = Р(А)  P(В).

1.11 Независимость событий.  пределение 1. Два события A, B независимы, если

Вероятность появления события A не меняет вероятности события B.

Определение 2. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий, гдеI — произвольное индексное множество. Тогда эти события попарно независимы, если любые два события из этого семейства независимы, то есть

пределение 3. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий. Тогда эти событиясовместно независимы, если для любого конечного набора этих событий верно:

.

Независимые сигма-алгебры[

Определение 4. Пусть  A₁, A₂ двесигма-алгебры на одном и том же вероятностном пространстве. Они называются независимыми, если любые их представители независимы между собой, то есть:

.