Примеры решения задач.

Пример 1. Небольшое тело массой m равномерно втащили на горку, действуя силой, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории. Найти работу этой силы, если высота горки h, длина ее основания l, и коэффициент трения .

Решение.

Работу, совершаемую силой , можно найти по общему определению работы:

Для этого необходимо предварительно найти силу F. Рассмотрим перемещаемое тело в произвольной точке траектории его движения. На тело действуют четыре силы: сила тяжести , сила реакции опоры, сила трения скольженияи внешняя сила. Поскольку по условию задачи тело движется равномерно, то векторная сумма этих сил равна нулю:

Рис. 1

Выберем координатные оси X и Y таким образом, чтобы ось X была направлена по касательной к траектории (вдоль перемещения ). Запишем векторное равенство в проекциях на эти координатные оси.

ox:

oy:

Тогда , а модуль силы

Теперь можно найти выражение для элементарной работы, совершаемой силой F при перемещении тела на расстояние dr. При этом учтем, что угол между векторами иравен нулю и косинус этого угла равен единице.

Тогда

Из рис. 1 видно, что , то есть элементарному приращению высоты при перемещении тела на расстояниеdr, а , то есть элементарному перемещению тела в горизонтальном направлении.

Тогда

и полная работа, совершаемая силой F при втаскивании тела на горку:

Ответ: .

Пример 2. На горизонтальной поверхности лежит брусок массой m = 11 кг. К бруску прикреплена пружина жесткостью k = 200 Н/м. Коэффициент трения между бруском и поверхностью  = 0,1. Вначале пружина не деформирована. Затем, приложив к свободному концу пружины силу F, направленную под углом  = 45^о к горизонту, брусок медленно переместили на расстояние S = 50 см. Какая работа была при этом совершена?

Решение

В данной задаче работа, совершаемая силой , идет не только на перемещение бруска, но и на увеличение потенциальной энергии пружины при ее предварительном растяжении.

.

Найдем силу F. На перемещаемое тело действуют четыре силы: сила , сила тяжести, сила реакции опорыи сила трения скольжения. Так как по условию задачи тело перемещается медленно, то есть без ускорения, то векторная сумма этих сил равна нулю.

.

Выберем оси координат: горизонтальную OX и вертикальную OY. Запишем векторное равенство для сил в проекциях на эти координатные оси.

Рис. 2 ox: ;

oy: .

Тогда и. Теперь выразим силуF.



Чтобы в дальнейшем не делать громоздких алгебраических преобразований, имеет смысл вычислить значение силы F.

.

Найдем работу силы F по перемещению бруска. При этом учтем, что модуль силы F и угол  между направлением силы и направлением перемещения остаются постоянными.

.

Вычислим эту работу: А_пер= 13,90,5соs 45^о = 4,9 Дж.

Теперь найдем приращение потенциальной энергии пружины при ее предварительном растяжении силой F. Модуль силы упругости пропорционален величине деформации F = kx, а приращение потенциальной энергии первоначально не деформированной пружины . Тогдаи.

Сделаем вычисления: .

И окончательно полная работа, совершаемая силой F:

A = A_пер+ E_п = 4,9 + 0,48 = 5,38 Дж.

Ответ: А = 5,38 Дж.

Пример 3. На пути бруска, масса которого m₀ = 2 кг, скользящего по гладкому горизонтальному столу, находится незакрепленная горка. Она имеет массу m = 10 кг и тоже может скользить без трения. Какую минимальную скорость нужно придать бруску, чтобы он мог перевалить через горку? Высота горки H, трение между бруском и горкой пренебрежимо мало.

Решение

Рассмотрим систему, состоящую из двух тел – бруска и горки (рис. 3). Поскольку по условию задачи, трение между бруском и горкой, а также между горкой и столом отсутствует, то система является консервативной и для нее будет выполняться закон сохранения энергии. Данная система не является замкнутой, поскольку на брусок и горку действуют внешние силы – силы тяжести и силы реакции опоры. Однако эти внешние силы

Рис. 3

направлены вертикально и значит их проекции на горизонтальную ось X равны нулю. Поэтому сумма проекций импульсов тел системы на горизонтальную ось X будет оставаться постоянной.

Рассмотрим два состояния системы: 1) горка неподвижна; брусок движется по столу в горизонтальном направлении с минимально необходимой скоростью v, для того, чтобы переехать горку; 2) брусок находится на вершине горки, и они движутся с одинаковой (в данный момент) скоростью u.

Запишем для этих состояний системы закон сохранения энергии:

(в данном равенстве за нулевой уровень потенциальной энергии бруска принят уровень поверхности стола) и закон сохранения импульса для проекций импульсов на оcь ОX :

Учтем, что проекции векторов скоростей на ось X равны модулям этих векторов: v_x = v , u_x = u. Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными v и u.

;

.

Сделав несложные алгебраические преобразования, получим

.

Сделаем вычисления: .

Ответ: v = 4,85 м/с.

Пример 4. Тело соскальзывает по желобу, имеющему разрыв в верхней части. Радиусы желоба R, идущие к краям разрыва, образуют угол 2 (рис. 4). С какой высоты H относительно краев разрыва должно начать скользить тело, чтобы пролетев разрыв, снова попасть на желоб? Трением пренебречь.

Решение

Поскольку по условию задачи трение тела о дорожку, по которой оно движется, отсутствует, то рассматриваемое тело можно считать консервативной системой и применять для описания его движения закон сохранения энергии. Сравним два состояния тела: 1) тело неподвижно и находится в верхней точке своей траектории; 2) тело вылетает из разрыва желоба со скоростью v. Если за нулевой уровень потенциальной энергии принять уровень, на котором тело находится в состоянии 2, то закон сохранения энергии можно записать следующим образом:

.

Рис.4

Отсюда скорость вылета тела из разрыва желоба .

Д

Рис.4

алее тело движется по параболической траектории под действием силы тяжести с ускорением. Для описания этого движения выберем начало координат в точке вылета из желоба и направим оси координат, как показано на рис. 4. Уравнение движения в векторном виде записывается так:

.

В проекциях на выбранные координатные оси (с учетом того, что ускорение свободного падения направлено противоположно оси Y) данное уравнение примет вид .

Чтобы тело, пролетев разрыв, попало на его левый край, оно должно оказаться в точке с координатами x = 2R Sin ; y = 0 (см. рис. 4).

Тогда .

Выразив из второго уравнения время полета t и подставив его в первое уравнение, получим

.

И, наконец, учитывая, что , и проведя необходимые сокращения, получим.

Ответ: .

Пример 5. На гладкой горизонтальной поверхности находятся две одинаковые соприкасающиеся шайбы. Третья такая же шайба налетает на них со скоростью v₀ = 6 м/с, направленной по общей касательной к неподвижным шайбам. После столкновения налетевшая шайба движется вдоль первоначального направления со скоростью v₁ = 2 м/с. Найти величину энергии, перешедшей во внутреннюю энергию тел при столкновении? Масса каждой шайбы m = 100 г.

Р

ешение

Рассмотрим систему, состоящую из трех шайб. Данная система не является консервативной, так как в условии задачи требуется найти энергию, перешедшую во внутреннюю энергию тел при их взаимодействии. Значит удар не является абсолютно упругим, и механическая энергия системы не сохраняется. Строго говоря, эта система не является и замкнутой, так как на тела действуют внешние силы тяжести и реакции поверхности, на которой находятся шайбы. Однако эти внешние силы направлены вертикально и их проекции на любую горизонтально проведенную ось равны нулю. Поэтому при описании удара тел можно пользоваться законом сохранения импульса (для его проекций на любую горизонтальную ось).

Рассмотрим два состояния выбранной системы тел: 1) налетающая шайба движется со скоростью v₀ вдоль горизонтальной оси OX, остальные две шайбы покоятся; 2) после частично неупругого удара налетающая шайба движется вдоль оси OX с меньшей скоростью v₁, а две первоначально покоившиеся шайбы разлетаются со скоростями v₂ и v₃.

Рис. 5

Поскольку размеры всех шайб одинаковы, то скорости v₂ и v₃, направленные вдоль прямых, соединяющих центры шайб в момент удара, составляют одинаковые углы  = 30^о с осью OX, а так как массы всех шайб по условию равны, то очевидно, что скорости v₂ и v₃ равны по модулю, то есть v₂ = v₃ = v.

Теперь запишем закон сохранения импульса для проекций импульсов взаимодействующих тел на ось OX.

mv_0x = mv_1x + mv_2x + mv_3x

Учтем, что v_0x = v₀; v_1x = v₁; v_2x = v_3x = v сos.

Тогда mv₀ = mv₁ + 2 mv сos.

Отсюда .

Энергию, перешедшую во внутреннюю энергию тел при частично неупругом ударе, можно найти как разность кинетической энергии налетающей шайбы до удара и суммарной кинетической энергии всех тел после удара:

.

Сделаем вычисления:

Ответ: U = 1,07 Дж.

Пример 6. Кубик массой m = 2 кг соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой h = 1 м. Горка может перемещаться без трения по горизонтальной поверхности. Масса горки M = 7 кг. В конце спуска кубик ударяется о пружину с коэффициентом жесткости k = 100 Н/м, прикрепленную к основанию горки, и сжимает ее. Определить: а) скорости горки и кубика относительно горки в момент удара кубика о пружину; б) ускорение горки в момент наибольшей деформации пружины.

Решение

Рассмотрим систему тел, состоящую из кубика, горки и пружины. По условию задачи трение в системе отсутствует, значит система консервативна, и энергия системы остается постоянной в любой момент времени. Кроме того, внешние по отношению к выбранной системе силы тяжести и реакции горизонтальной поверхности направлены вертикально, следовательно, будет сохраняться и сумма проекций импульсов тел на любую горизонтальную ось.

Выберем три состояния системы (рис. 6): 1) кубик находится на вершине горки, горка и кубик неподвижны, пружина не деформирована; 2) кубик находится в нижней точке своей траектории и движется в горизонтальном направлении со скоростьюv₁(относительно земли), горка движется в противоположную сторону со скоростьюv₂, пружина не деформирована; 3) кубик остановился (относительно горки), пружина максимально сжата. Запишем для первого и второго состояний закон сохранения импульса:

Рис. 6

Рис.6

,

и если ось X направлена вдоль вектора скорости кубика , тоv_1x = v₁, а v_2x = -v₂. Тогда уравнение примет вид:

.

Теперь свяжем эти же состояния законом сохранения энергии, принимая за нулевой уровень потенциальной энергии уровень нижнего положения кубика.

.

Совместно решая последние два уравнения, найдем скорости v₁иv₂.

.

Сделаем вычисления: .

Заметим, что найденные скорости тел определены относительно земли, принятой за неподвижную систему отсчета. Скорость же кубика относительно горки в соответствии с законом сложения скоростей

или численноv_от = 3,9 + 1,1 = 5 м/с.

Теперь приступим к нахождению ускорения горки в момент наибольшего сжатия пружины. Очевидно, что сила, создающая это ускорение, это сила упругости пружины. Для ее нахождения потребуется определить величину деформации пружины x. Рассмотрим подробнее третье состояние системы. Поскольку сумма проекций импульсов кубика и горки на осьXостается постоянной (и равна нулю), то очевидно, что в момент наибольшей деформации пружины, когда кубик останавливается, горка останавливается тоже. Тогда полная энергия системы в данном состоянии – это потенциальная энергия сжатой пружины. Теперь свяжем третье состояние с первым с помощью закона сохранения энергии:

.

Выразим из этого равенства величину деформации пружины x.

.

Модуль силы упругости по закону Гука F=kx, а ускорение горки в соответствии со вторым законом Ньютонаa=F/M. Учитывая это, получим

.

Вычислим ускорение горки

.

Ответ:v₂= 1,1 м/с,v_от= 5 м/с,а = 8,9 м/с².

Пример 7. Два бруска соединены пружиной, расположенной вертикально. Нижний брусок лежит на столе. На верхний брусок падает грузик. С какой минимальной высотыh(отсчитывая от верхнего бруска) должен упасть грузик, чтобы нижний брусок подпрыгнул над столом? Массы каждого бруска и грузика одинаковы и равныm= 500 г, коэффициент жесткости пружиныk= 100 Н/м. Соударение грузика с верхним бруском абсолютно неупругое.

Решение

Рис. 7

Рассмотрим последовательно несколько состояний системы, состоящей из двух брусков, пружины и грузика (рис.7): 1) грузик находится на высотеhнад верхним бруском, и если за нулевой уровень потенциальной энергии принять поверхность верхнего бруска при недеформированном состоянии пружины, то грузик обладает потенциальной энергиейE_гр1=mg (h –x₁). Пружина при этом деформирована на величинуx₁, так что сила тяжести, действующая на верхний брусок, уравновешивается силой упругости пружиныmg=kx₁. Тогдаx₁=mg/k, а пружина обладает потенциальной энергиейE_пр=kx₁²/2. Верхний брусок, находясь ниже нулевого уровня потенциальной энергии, имеет потенциальную энергию Е_бр= -mgx₁; 2) в результате неупругого соударения грузика с верхним бруском оба приобрели скоростьuи соответствующую кинетическую энергию. Потенциальная энергия пружины по-прежнему равнаE_пр=kx₁²/2; потенциальная энергия грузика Е_гр2= -mgx₁, верхнего бруска: Е_бр= -mgx₁; 3) после максимального сжатия пружины верхний брусок с грузиком движутся вверх, пружина растягивается. В третьем состоянии системы верхний брусок с грузиком остановились, растянув пружину до величиныx₁относительно недеформированного состояния. Очевидно, именно такого растяжения пружины будет достаточно, чтобы сила упругости, действующая на нижний брусок, уравновесила силу тяжести, действующую на него, и нижний брусок подпрыгнул над столом. В данном состоянии пружина обладает потенциальной энергиейE_пр=kx₁²/2, а верхний брусок с грузиком имеют потенциальную энергию, равнуюE_п= 2mgx₁. Теперь приступим к решению.

Рис.7

Считая грузик консервативной системой (до его соударения с бруском), применим закон сохранения энергии для нахождения скорости грузика в момент соударения.

.

Ввиду кратковременности удара систему, состоящую из грузика и верхнего бруска, считаем замкнутой и применяем для нее закон сохранения импульса.

.

В дальнейшем система всех четырех тел остается консервативной. Запишем закон сохранения энергии, связывая второе и третье состояния системы.

.

Подставляя сюда полученное выражение для скорости uи проведя необходимые сокращения, получаем:

.

Проводим вычисления: .

Ответ:h= 0,392 м.

Пример 8. Тонкая прямоугольная пластина может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси аа, совпадающей с одной из ее сторон длиной а (рис. 8). Вторая сторона b =0,6 м. В точку, находящуюся ниже оси вращения на расстоянии x = 0,5 м, ударяет шарик массой m₁ = 10 г, летевший со скоростью v = 20 м/с. Масса пластины m₂ = 0,8 кг, момент инерции пластины относительно заданной оси J = 1/3(m₂b²). Какую угловую скорость приобретает пластина, если удар абсолютно упругий?

Решение

Рассмотрим систему, состоящую из пластины и шарика. Данная система является консервативной, поэтому для ее описания можно применять закон сохранения энергии. Поскольку внешние силы тяжести и реакции опор оси не создают в момент удара вращающих моментов относительно

осиаа, то можно использовать и закон сохранения момента импульса. Выберем два состояния системы (рис. 8): 1) непосредственно перед ударом пластина

Рис.8

неподвижна, а шарик, двигаясь горизонтально со скоростью v, обладает кинетической энергией Е_к1 = m₁v²/2 и моментом импульса относительно оси аа L₁ = m₁v x ; 2) непосредственно после удара скорость шарика также можно считать горизонтальной и равной v₁, но направленной в противоположную сторону. Тогда его кинетическая энергия Е_к2 = m₁v₁²/2, а момент импульса относительно оси аа L₂ = - m₁v₁x. Пластина непосредственно после удара имеет угловую скорость  и следовательно кинетическую энергию Е_кп = J²/2 и момент импульса относительно оси аа L_п = J.

Запишем для первого и второго состояний закон сохранения энергии

Рис.8

и закон сохранения момента импульса

.

Решим полученные уравнения совместно, исключая неизвестную скорость v₁ и находя неизвестную угловую скорость  вращения пластины. Проведем алгебраические преобразования. Первое уравнение умножим на 2 и выделим в левой части равенства член, содержащий скорость v₁. Второе уравнение поделим на x и также выделим в левой части равенства член, содержащий скорость v₁.

Теперь умножим первое уравнение на m₁, а второе возведем в квадрат.

Приравняем правые части уравнений и выразим искомую величину .

Прежде, чем рассчитать , вычислим момент инерции пластины J = 1/3(m₂b₂²).

J = 1/3(0,80,6²) = 0,096 кгм².

Теперь вычислим :

.

Ответ:  = 2,03 рад/с.