Краткие теоретические сведения для решения задач.

2.1. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца.

Принцип относительности. Никакими физическими опытами, производимыми внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится ли эта система или движется прямолинейно и равномерно.

Принцип постоянства скорости света. Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

Для описания движения тел в различных системах отсчета необходимо знать формулы преобразования координат при переходе от одной системы отсчета к другой. В специальной теории относительности такими формулами являютсяпреобразования Лоренца.

Рис. 17

Рассмотрим две системы отсчета К и К(рис. 17). Систему К будем считать условно неподвижной. Система Кдвижется относительно К со скоростьювдоль оси X системы К. Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем и направления соответствующих осей совпадают.

Тогда

.

Здесь с - скорость света в вакууме: с = 310⁸ м/с.

2.2. Следствия из преобразований Лоренца.

Будем рассматривать системы К и К (см. рис. 17).

Относительность промежутков времени между событиями

где - промежуток времени между событиями, происшедшими в одной и той же точке системы отсчета К ( отсчитывается по часам, находящимся в системе К, и называется в этом случае собственным временем); - промежуток времени между этими событиями, отсчитанный по часам, находящимся в системе К.

Относительность размеров движущихся тел

,

где L- длина стержня, расположенного вдоль оси и покоящегося в системе К (собственная длина стержня); L - длина этого же стержня, измеренная в системе отсчета К.

Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть некоторое тело движется в произвольном направлении в системе отсчета К со ско­ростью относительно последней. Тогда проекции скоростиэтого тела в систе­ме отсчета К на оси x,y, z этой системы:

Пространственно–временной интервал (интервал)

Интервалом между двумя событиями называется величина S, определяемая соотношением: ,

где x, y, z – пространственные координаты события, а t – его временная координата. Иначе выражение для интервала можно записать:

,

где t – промежуток времени между событиями; l – расстояние в пространстве между точками, в которых произошли события.

Важнейшим свойством интервала является его инвариантность, то есть неизменяемость при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Виды интервалов:

а) нулевой; соответствует случаю (сt) = l. Разделяет посылку и прием светового сигнала;

б) действительный (или времениподобный); соответствует случаю (сt) > l. Разделяет события, которые могут быть связаны причинно–следственной связью. Их последовательность одинакова во всех системах отсчета, и ни в одной системе они не могут происходить одновременно;

в) мнимый (или пространственноподобный); соответствует случаю (сt) < l. Разделяет события, которые настолько удалены, что не могут повлиять друг на друга. Их последовательность произвольна в разных системах отсчета, но ни в одной системе эти события не могут происходить в одной и той же точке пространства.

3. . Релятивистская масса и импульс. Взаимосвязь массы и энергии

Эйнштейн показал, что масса тела зависит от его скорости:

где m₀ – масса тела в той системе отсчета, где тело покоится (масса покоя);

m – масса тела в той системе, относительно которой тело движется;

v – скорость тела относительно системы отсчета, в которой определяется масса m.

Релятивистский импульс:

,

где m – релятивистская масса, то есть

Закон взаимосвязи массы и энергии:

,

где m - релятивистская масса;

E – полная энергия материального объекта.

Кинетическая энергия объекта:

,

где - полная энергия;- энергия покоя.

То есть

Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что всякое изменение массы тела на m сопровождается изменением его энергии на E:

E=mc².

Полная энергия тела связана с его релятивистским импульсом соотношением:

E² = E₀² + p²c² .

Отсюда следует, что величина E² – p²c² = inv, то есть инвариантна по отношению к переходу из одной инерциальной системы отсчета в другую.