Примеры решения задач

Пример 1. В условно неподвижной системе отсчета К в точках с координатами x_A и x_B = x_A + l, где l = 1 км, одновременно происходят два события A и B. На каком расстоянии l_АВ друг от друга зафиксирует эти события наблюдатель в системе К, движущейся со скоростью v = 0,4с вдоль оси X? Какой промежуток времени t между этими событиями зафиксирует наблюдатель в системе К?

Решение

Обозначим через t₀ момент времени, когда в системе К происходят события А и В. Тогда событие А в этой системе обладает пространственно – временными координатами x_A и t₀, а событие В – координатами x_B и t₀. В системе К событие А обладает пространственно–временными координатами x₁ и t₁, а событие В – координатами x₂ и t₂. Связь координат каждого из событий можно записать с помощью преобразований Лоренца.

Найдя разность этих выражений, получим расстояние между точками,в которых происходят события А и В в системе К.

Видно, что расстояние l_АВ, разделяющее события А и В в любой системе, движущейся относительно К, больше, чем это же расстояние, измеренное в системе К, в которой оба события одновременны. Рассчитаем расстояние l_АВ.

Моменты времени, в которые в системе Кнаблюдатель зафиксирует события А и В, также могут быть найдены из преобразований Лоренца:

Тогда

Видно, что события А и В в системе отсчета К не являются одновременными. Если x_B  x_A и система К движется в положительном направлении оси X, как и задано в условии, то t₂ - t₁  0, то есть событие В происходит раньше, чем событие А. Рассчитаем t.

То есть событие В, зафиксированное наблюдателем в системе К, опережает событие А на 1,45 мкс.

Ответ: l_АВ = 1100 м; t = - 1,45 мкс.

Пример 2. В системе отсчета К, движущейся со скоростью v₀ = 0,5 с вдоль оси X неподвижной системы К, расположен неподвижный стержень длиной l = 1 м, ориентированный под углом  = 30^о к оси X. Параллельно стержню летит частица со скоростью v = 0,4 с. Под каким углом  к оси X ориентирован этот стержень для наблюдателя в системе К? Под каким углом  к оси X летит частица в системе К?

Решение

Рассмотрим вначале стержень с точки зрения наблюдателя в системе К. Он движется поступательно с горизонтальной скоростью v_x = v₀ = 0,5 c. Вследствие этого стержень в горизонтальном направлении сжат, в вертикальном направлении его размеры неизменны. Следовательно, длина стержня для наблюдателя в системе К будет меньше, чем для наблюдателя в системе К, а угол  наклона стержня к оси X больше чем . Применим следствия из преобразований Лоренца для нахождения расстояний между проекциями концов стержня на оси X и Y:

Стержень образует с осью X угол , причем tg  = y/x.

Тогда выражение для tg  примет вид:

Сделаем вычисления:

Теперь рассмотрим движение частицы. Частица, в отличие от стержня, движется относительно системы К и горизонтальная составляющая ее скорости v_x отличается от v_x = v cos . Причем если v_x  0, то очевидно, v_x больше чем v_x. Вертикальная составляющая скорости частицы v_y меньше чем v_y = v sin . Поэтому скорость v частицы образует с осью X угол, не равный . Таким образом, для наблюдателя в системе К частица будет двигаться прямолинейно, но уже не параллельно стержню. Проекции скорости частицы на оси X и Y могут быть получены как следствие из преобразований Лоренца:

Вектор скорости частицы образует с осью X угол  = arctg (v_y/v_x). Учитывая формулы для v_x и v_y и выражая проекции скоростей v_x и v_y через скорость v и тригонометрические функции угла , получаем:

Сделаем вычисления:

Ответ:  = 34^о,  = 12^о.

Пример 3. Частица с массой покоя m₀, летящая со скоростью v₁ = 0,8с, испытывает неупругое соударение с идентичной покоящейся частицей. Найти массу покоя m₀, скорость v и кинетическую энергию E_к частицы, образовавшейся в результате удара.

Решение

Поскольку скорость налетающей частицы близка к скорости света, задачу следует решать в рамках релятивистской динамики. Неупругость удара, оговоренная в условии, означает, что после удара частицы движутся вместе, образовав некоторую новую частицу с массой покоя m₀. Конкретные условия удара (направление вектора v₁, наличие других тел, с которыми возможно взаимодействие) не оговорены в условии. Поэтому решение возможно только в предположении, что соударяющиеся частицы образуют замкнутую систему тел. В этом случае импульс системы и ее полная энергия остаются постоянными.

.

Индексы 1 и 2 обозначают состояние системы до и после соударения.

Учитывая, что до удара система состоит из двух одинаковых частиц, одна из которых покоится, запишем импульс и полную энергию системы в начальном состоянии:

.

После взаимодействия система состоит из одной частицы, масса покоя которой m₀ и скорость v.

Тогда

Из последней пары формул, записав предварительно выражение для модуля импульса p₂, легко получить:

.

Используя законы сохранения, находим:

Подставляя в последние формулы условие v₁ = 0,8с, получим:

Теперь, подставляя полученные значения p₂ и Е₂ в выражение для скорости v, получаем:

Используем связь между энергией и импульсом частицы в релятивистской динамике:

.

Запишем это выражение для второго (после удара) состояния системы и выразим из него m₀.

Подставляя в последнее выражение значения для p₂ и Е₂, получим:

Как видно, масса покоя образовавшейся частицы больше, чем сумма масс покоя частиц, составлявших систему до соударения.

Наконец найдем кинетическую энергию образовавшейся частицы, используя общее выражение для кинетической энергии в релятивистской динамике:

.

Подставляя сюда m₀ = 2,31 m₀, и v = 0,5 c, получим Е_к = 0,36 m₀c².

Ответ: m₀ = 2,31 m₀, v = 0,5c, Е_к = 0,36 m₀c².

Пример 4. Два события произошли в системе отсчета К в мировых точках с координатами x₁ = 10 м; y₁ = 1 м; z₁ = 0; t₁ = 20 нс и x₂ = 5 м; y₂ = 4 м; z₂ = 2 м; t₂ = 40 нс. Можно ли найти систему отсчета в которой оба события происходят: 1) в одной точке пространства; 2) в один момент времени? Могут ли эти события быть причинно связаны друг с другом?

Решение

Для того, чтобы ответить на поставленные вопросы, достаточно найти величину, которая называется интервалом между двумя событиями.

.

Рассчитаем интервал для событий, о которых говорится в условии:

Как видим, интервал получился мнимым. Такие интервалы называются пространственноподобными. События, разделенные таким интервалом, являются абсолютно удаленными, они всегда разделены в пространстве, то есть невозможно найти систему отсчета, в которой оба события происходят в одной точке. В то же время последовательность таких событий в разных системах отсчета может быть различной. Имеется одна система отсчета, в которой эти события происходят одновременно. Абсолютно удаленные события не могут быть причинно связаны друг с другом, так как находятся на большем расстоянии друг от друга, чем расстояние, которое может пройти свет за промежуток времени между этими событиями. Таким образом, их взаимное влияние совершенно невозможно.

Ответ: 1) нельзя; 2) да, можно; 3) нет, не могут.