3.6. Сопоставление формул динамики вращательного и динамики поступательного движений

Существует очень глубокая аналогия расчетных формул, основных понятий, физических параметров теории динамики поступательного и вращательного движения. Эта аналогия позволяет глубже понять физическую сущность параметров динамики вращательного движения. Сходство между понятиями и формулами двух динамик становится очевидным, если сопоставить их с помощью таблицы. В таблицу 3.2 вошли, помимо "чисто" динамических параметров и формул, параметры и формулы кинематики поступательного и вращательного движения.

Таблица 3.2

Сопоставление формул динамики поступательного движения и динамики вращательного движения

№	Поступательное движение	Вращательное движение
1	- Пройденный путь	- Угол поворота
2	- Линейная скорость	- Угловая скорость
3	Линейное ускорение:	 - Угловое ускорение
4
5
6	- Mасса – мера инертности	- Момент инерции относительно оси
7	- Cила	- Момент силы
8	Основной закон динамики поступательного движения:	Основной закон динамики вращательного движения: .
9	Импульс тела	Момент импульса тела
10	Закон сохранения импульса:	Закон сохранения момента импульса:
11	Работа силы	Работа момента силы
12	Кинетическая энергия	Кинетическая энергия
13	Мощность	Мощность

Лекция 4. Физика колебаний. Гармонический осциллятор. Нормальные моды

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Модель гармонического осциллятора. Примеры гармонических осцилляторов: физический, математический и пружинный маятники. Определение их периодов и частот. Свободные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Характеристики затухающих колебаний: коэффициент затухания, декремент, логарифмический декремент затухания, добротность. Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действием синусоидальной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс. Параметрический резонанс.

4.1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение

Воспользовавшись основным уравнением классической динамики (уравнением второго закона Ньютона) можно получить уравнение движения материальной точки (тела), совершающего гармоническое колебание:

F = ma или F = ma, (4.1)

где a = d²x/dt² = - ω₀² x - ускорение материальной точки;

F = F_i- результирующая сила, под действием которой совершается гармоническое колебание (возвращающая сила);

F_i - i-я сила, действующая на материальную точку.

Тогда

F = - mω₀²x = - kx, (4.2)

где k = mω₀² - коэффициент возвращающей силы, физический смысл которого заключается в том, что он численно равен возвращающей силе, вызывающей единичное смещение.

Из уравнения (4.2) видно, что сила, под действием которой совершается гармоническое колебание, пропорциональна смещению и направлена в сторону противоположную ему. Она называется возвращающей силой. Возвращающая сила стремится вернуть материальную точку в положение равновесия.

Возвращающие силы могут иметь различную природу. Например, они могут возникать за счет деформации. Силы, возникающие за счет упругой деформации, называются упругими. Силы, имеющие иную природу, - квазиупругими (как бы упругими).

Таким образом, уравнение движения материальной точки при гармоническом колебательном движении имеет вид

или . (4.3)

С точки зрения математики уравнение (4.3) - однородное дифференциальное второго порядка, решением которого является выражение вида

x = x₀sin(ω₀t + φ₀), (4.4)

где x - смещение;

x₀ - амплитуда;

ω₀ - собственная (круговая или циклическая) частота;

φ₀ - начальная фаза.

Решая дифференциальное уравнение гармонического колебательного движения, можно получить значение, например, периода колебаний, собственной частоты.