10.2.2. Кинематика четырехмерного пространства-времени

Из постулатов теории относительности вытекает тот факт, что пространство и время образуют единую пространственно-временную четырехмерную систему отсчета (пространственно-временной континуум). Положение материальной точки, тела в ней может быть задано с помощью четырех координат: x, у, z, и  (x, у, z, - пространственные координаты;  - координата времени, равная  = ict, где , c - скорость распространения света в вакууме, t - время).При этом x = x₁, у = x₂, z = x₃, и  = ict = x₄. По Минковскому, это четырехмерное пространство - "мир", в котором каждое мгновенное событие характеризуется точкой - мировой точкой с указанными координатами. События, происходящие с материальной точкой, отобразится в этом мире некоторой линией - мировой линией данной материальной точки (точнее, некоторой трубкой из-за протяженности тела).

В этом четырехмерном пространстве можно ввести четырехмерный радиус-вектор S = S(x₁, x₂, x₃, x₄). Смысл этого вектора состоит в том, что его три проекции на оси x₁, x₂ и x₃ представляют собой обычные координаты материальной точки x, у и z в момент времени , т.е. в момент времени, которым является четвертая проекция вектора S, деленная на ic.

Если материальная точка за время t переместится на r (на x, у, z), то в четырехмерном пространстве это отобразится четырехмерным перемещением S, первые три проекции которого x, у, z (отображают перемещение материальной точки в обычном пространстве), а четвертая проекция, деленная на ic, будет равна t.

Таким образом, введение четырехмерного пространства, четырехмерного радиус-вектора S и четырехмерного перемещения S позволяет описывать протекание процессов в пространственно-временной системе отсчета.

Известно, что расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве определяется следующим соотношением:

. (10.31)

В четырехмерном пространстве (в теории относительности) расстояние между двумя точками (событиями), которое называют пространственно-временным интервалом между двумя событиями, можно определить так:

. 0.32)

Можно показать, что интервал между двумя событиями в пространственно-временной системе отсчета в случае распространения света равен нулю (S = 0). Это позволяет утверждать, что интервал между двумя событиями в теории относительности инвариантен по отношению к переходу из одной системы отсчета в другую. При этом

S = S^', (S)² = (S^')², (10.33)

где S и S^' - пространственно-временной интервал между двумя событиями в системах К и К^' (система К^' движется относительно системы К).

Надо отметить, что S = S^', а не S = S^', так как направления S в разных системах отсчета различны, что и приводит к тому, что x_i и x_i^' не равны.

Дифференцируя пространственно-временной интервал по так называемому собственному времени движущегося тела , в пространственно-временной системе координат можно ввести понятие скорости v и ускорения a.

Интервал собственного времени d вводится следующим образом. Пусть некоторое тело в системе К имеет скорость v (обычная трехмерная скорость по отношению к системе К). За время dt по часам системы К это тело, двигаясь, переместится на dr (обычное трехмерное перемещение). Тогда пространственно-временной интервал будет иметь вид

. (10.34)

Производя преобразования и учитывая, что , получим

,

откуда

. (10.35)

Так как в левой части равенства (10.35) стоят величины, не зависящие от выбора системы отсчета, то и правая часть равенства не зависит от выбора системы отсчета, т.е. является инвариантом перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Эта величина имеет размерность времени и называется интервалом собственного времени движущегося тела, т.е. является промежутком времени d, который отметят часы, находящиеся на теле, в то время как часы системы К, по отношению к которой тело движется со скоростью v, отметят время dt.

Таким образом,

. (10.36)

Скорость в четырехмерной системе отсчета

. (10.37)

Чтобы уяснить смысл этой скорости запишем ее проекции:

, ,

, . (10.37)

Из (10.37) видно, что первые три проекции в меньше проекцийv_x, v_у и v_z скорости v. Четвертая проекция - мнимая величина, не имеющая физического смысла.

Так как dS и d для данного процесса не зависит от выбора системы отсчета, то и модуль скорости в четырехмерной системе отсчета не зависит от выбора системы отсчета, хотя модуль соответствующей ей скорости в трехмерной системе отсчета имеет разную величину в разных системах отсчета. Кроме того, величина скорости в четырехмерной системе одна и та же для всех тел и равна ic. Действительно, , а так как , тоv = ic.

Ускорение в четырехмерной системе отсчета определяется формулой

. (10.38)

Так как скорость v для всех тел постоянна, то v может меняться только по направлению, что означает в рассматриваемой четырехмерной системе отсчета av или av = 0, или в проекциях на оси a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ + a₄v₄ = 0.

Очевидно, что по известному а() можно найти v() и S():

, (10.39)

. (10.40)

Следовательно, основные понятия и определения кинематики четырехмерного пространства-времени аналогичны основным понятиям и определениям кинематики классической механики.

Отличие кинематики специальной теории относительности от кинематики материальной точки в классической механике заключается в следующем:

1. Специальная теория относительности имеет дело с векторами, описывающими поведение материальной точки в четырехмерном пространстве-времени. Классическая же кинематика имеет дело с векторами, описывающими поведение материальной точки в трехмерном пространстве.

2. То, что S = S^', данное равенство вытекает из постулатов Эйнштейна. Для того чтобы v = v^', необходимо их определить как отношение dS и dS^' к такому времени d, для которого имело бы место d = d^', иначе при равных числителях и неравных знаменателях дроби dS/dτ и dS^'/dτ^' не были бы равны. Для этого и вводится в рассмотрение собственное время τ.

По аналогичной причине и ускорение определяется как производная от скорости по собственному времени частицы τ.

3. Модули классических векторов r, v и dr имеют различные значения в различных системах отсчета. Модули же векторов в четырехмерном пространстве-времени S, S, v и другие для одной и той же мировой точки одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Иными словами, переход от системы К к системе К^' сопровождается поворотом векторов S, S, v, а и т.д., описывающих поведение мировой точки, на некоторые мнимые углы.