10.2.3. Динамика четырехмерного пространства-времени

Первый закон специальной теории относительности утверждает существование в природе систем отсчета сколь угодно близких инерциальным системам отсчета. При этом полагается, что не только механические, но и всякие другие явления выглядят в таких системах наиболее просто и описываются простыми уравнениями. Такими системами отсчета являются те, в которых свободное тело не имеет по отношению к ним ускорения.

Второй закон Ньютона в специальной теории относительности формулируется так же, как и в классической механике, с помощью понятия импульса тела. При этом импульс тела представляется в четырехмерном пространстве-времени.

Импульсом в четырехмерном пространстве-времени называют величину

p = m₀v, (10.41)

где m₀ - масса тела в той системе отсчета, по отношению к которой тело покоится (масса покоя);

v - скорость тела.

Запишем это равенство в проекциях на соответствующие оси координат четырехмерной системы отсчета:

; ;

; . (10.42)

Так как , - масса движущейся материальной точки, то величины (10.42)проекций обычного импульса материальной точки в той системе отсчета, по отношению к которой ее скорость равна v

; ;

; . (10.43)

Первые три выражения в (10.43) - проекции обычного импульса на оси x, у и z в четырехмерной системе отсчета пространство-время.

Уравнение движения материальной точки в четырехмерной системе отсчета пространство-время должно быть ковариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, т.е. и справа, и слева должны быть векторы в четырехмерной системе отсчета пространство-время. Кроме того, слева должна стоять быстрота (скорость) изменения импульса, а справа сила. Так как изменение импульса за малое время dτ в рассматриваемой системе отсчета вектор dp = p - p₀, а время dτ для всех систем отсчета одно и то же, то dp/dτ - вектор, равный силе в четырехмерной системе отсчета пространство-время.

Таким образом, уравнение движения материальной точки в четырехмерной системе отсчета пространство-время будет иметь вид

. (10.44)

Заменив в (10.44) dτ на , получим

. (10.45)

Распишем уравнение (10.45) в проекциях на соответствующие оси координат четырехмерной системы отсчета пространство-время с учетом того, что p₁ = p_x, p₂ = p_у, p₃ =p_z, p₄ = imc:

; ;

; . (10.46)

В первых трех уравнениях формул 10.46 слева стоят производные от проекций импульса по обычному времени, т.е. по часам той системы, в которой скорость тела (материальной точки) равна v. Справа проекция обычной трехмерной силы:

; ;

. (10.47)

Таким образом, проекции силы в четырехмерной системе отсчета отличаются от проекций силы в трехмерной системе координат множителем , а первые три проекции релятивистского уравнения движения – это закон изменения трехмерного импульса, т.е. второй закон Ньютона, записанный в проекциях на осиx, у и z с учетом .

Для выяснения смысла четвертой проекции (10.46) определим скалярное произведение v на F:

(10.48)

или через проекции:

v₁F₁ + v₂F₂ + v₃F₃ + v₄F₄ = 0. (10.49)

Отсюда

. (10.50)

Подставляя в правую часть равенства (10.50) вместо проекций векторов в четырехмерной системе отсчета пространство-время их выражения через проекции трехмерных векторов, получим

. (10.51)

Подставляя полученное выражение для F₄ в четвертую проекцию релятивистского уравнения движения (10.46), получим

. (10.52)

Умножая (10.52) на ic, будем иметь

. (10.53)

Но , следовательно:

. (10.54)

Так как mc² = E, то уравнение (10.54) можно записать в виде соотношения

. (10.55)

Соотношение (10.55) выражает закон изменения энергии материальной точки в специальной теории относительности.

Таким образом, релятивистские уравнение движения или- это закон изменения импульса и энергии, а сам релятивистский импульс - вектор энергии-импульса, так как первые его проекции образуют обычный трехмерный импульс, а четвертая проекция отличается от энергии материальной точки (тела) множителемi/c. Действительно,

. (10.56)

Связь между трехмерным импульсом и энергией можно установить, если возвести в квадрат выражение

,

которое после соответствующих преобразований будет иметь вид

. (10.57)

Так как mv = p, то

. (10.58)

Умножая (10.58) на с² и учитывая, что mc² = E, получаем

, (10.59)

вместо имевшегося в классической механике выражения

. (10.60)

Уравнение (10.59) было получено ранее, но из других соображений.

Можно показать, что из (10.59) при v²c² вытекает (10.60). Надо отметить, что при v²c² из формул релятивистской механики можно получить соответствующие формулы классической механики.

Следует отметить, что работу dA = dE совершает результирующая сила f, а это означает, что величина

(10.61)

- это энергия, обусловленная движением тела, т.е. аналог кинетической энергии в классической механике.

Частицу, не находящуюся в силовых полях (гравитационном, электрическом), называют свободной, а потому энергию E = mc² часто называют энергией свободной частицы.