9.4.2. Сокращение движущихся масштабов длин

Из преобразований Галилея можно сделать вывод, что расстояние между двумя точками или длина стержней не изменяется, не зависимо от того, где происходит измерение расстояния (длины стержня): в движущейся системе отсчета или в неподвижной. Действительно, запишем полную систему уравнений для двух событий:

; .

Вычитая почленно из первых трех уравнений второй системы соответствующие уравнения первой системы, получим

(9.27)

откуда, вводя относительные расстояния между двумя точками (относительные размеры тел)

(9.28)

и

, (9.29)

получим

l_1,2^' = l_1,2. (9.30)

Таким образом, действительно, расстояния между двумя точками (размеры тел) абсолютны или инвариантны во всех инерциальных системах отсчета классической механики.

Совершенно так же четвертые уравнения полной системы уравнений показывают, что промежуток времени между двумя событиями одинаков во всех галилеевых системах отсчета: τ_1,2^' = τ_1,2.

Определим длину стержня, с точки зрения теории относительности, в системеK. Пусть стержень движется относительно- системы с постоянной скоростьюv (рис.9.3). В системе K^’, связанной со стержнем, его длина l₀.

Проделаем для этого следующий мысленный эксперимент. Сделаем на оси X K-системы метку M и установим около неё часы. Зафиксируем по этим часам время пролёта стержня мимо меткиM. Искомая длина стержня по времени K-системы составляет

. (9.31)

Для наблюдателя, связанного со стержнем, время движения, определенное по тем же часам будет иным, - . Поэтому длина покоящегося относительно него стержняl₀ будет равна: . Из этих двух выражений длины с учетом формулы замедления времени получаем

или . (9.32)

Повторим теперь выкладки, но с помощью формул преобразований Лоренца.

Пусть в системе К покоится стержень длины l₀, расположенный вдоль оси OX: l₀ = x₂ - x₁. Для того чтобы измерить его длину в системе К^', движущейся по отношению к системе К со скоростью v, необходимо найти разность координат его концов l = x₂¹ - x₁¹ в один и тот же момент времени по часам системы К^'.

Запишем преобразования Лоренца для координат концов стержня:

; .

Вычтя из второго равенства первое и учитывая, что t₁^' = t₂^', получим

или ;. (9.33)

Длину , измеренную в системе отсчета, где стержень неподвижен, называют собственной длиной.

Таким образом, в противоположность классической физике, в которой длина стержня считалась абсолютной, в теории относительности один и тот же стержень имеет различную длину в различных системах отсчета. Максимальную длину l₀ стержень имеет в той системе отсчета, в которой он покоится, в системах же, движущихся по отношению к стержню, он имеет длину l тем меньшую, чем больше скорость движения. Совершенно очевидно при этом, что сокращаются только размеры стержня, параллельные направлению движения системы отсчета. Поперечные размеры, как это следует из формул преобразований Лоренца у = у^', z = z^', не меняются.

Следует особо подчеркнуть, что речь не идет о каком-либо реальном физическом процессе сокращения, происходящем со стрежнем. Это ясно потому, что один и тот же стержень имеет разную длину в разных системах отсчета.

Это явление называют лоренцевым сокращением. Лоренцево сокращение является чисто кинематическим эффектом - в теле не возникает каких-либо напряжений, вызывающих деформацию. Подчеркнем, что лоренцево сокращение тел в направлении движения представляет собой реальный и объективный факт, не связанный с какими-либо иллюзиями наблюдателя. Все значения размеров данного тела, полученные в разных системах отсчета, являются равноправными.

Трудность понимания этих утверждений связана исключительно с нашей привычкой, основанной на повседневном опыте. Мы привыкли считать понятие длины абсолютным понятием, когда в действительности это не так. Понятия длины столь же относительны, как и понятия движения и покоя.