2.7. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

Рассмотрим движение материальной точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, частоты которых ₁ и ₂ равны

(₁ =₂=), в направлениях осей "x" и "y".

В этом случае колебательный процесс описывается следующей системой уравнений:

x = x₀sint, y = y₀cos(t + ). (2.46)

Для определения уравнения траектории движения точки из системы уравнений исключим время. Из первого уравнения имеем

x/x₀ = sint. (2.47)

Второе уравнение системы перепишем в виде

y = y₀cos(t + ) = y₀(sintcos + costsin), (2.48)

но

cost = [1 – sin²t]^1/2 = [1 - (x/x₀)²]^1/2. (2.49)

Подставив вместо sint и cost их значения, получим уравнение траектории движения материальной точки:

y = y₀(x/x₀)cos + [1 - (x/x₀)²]^1/2sin, (2.50)

или

y = (y₀/x₀)xcos + [x₀² – x²]^1/2sin. (2.51)

Исследуем некоторые частные случаи.

1. Складываемые колебания имеют одинаковые частоты (₁ = ₂ =), различные амплитуды (x₀  y₀) и начальные фазы ₁ = ₂ = 0, уравнения которых имеют вид

x = x₀sint , y = y₀sint. (2.52)

Уравнение траектории движения точки в этом случае:

y = (y₀/x₀)x. (2.53)

Уравнение (2.53) является уравнением прямой, проходящей через начало координат, наклон которой к оси x определяется углом : tg = y₀/x₀. Смещение материальной точки от начала координат r² = (x₀² + y₀²)sin²t.

Результирующее колебание является гармоническим.

2. Складываемые колебания имеют одинаковые частоты (₁ =₂ = ), различные амплитуды (x₀  y₀), начальные фазы ₁ и ₂, отличающиеся на /2.

Уравнение траектории в этом случае имеет следующий вид:

y = y₀[1 - (x/x₀)²]^1/2 или (y/y₀)² + (x/x₀)² = 1. (2.54)

Следовательно, в данном случае траектория результирующего движения представляет собой эллипс с полуосями, равными x₀ и y₀.

Рис.2.9

При равных амплитудах (x₀ = y₀) траектория результирующего движения - окружность. Некоторые из рассмотренных случаев сложения взаимно перпендикулярных колебаний представлены на рис.2.9.

В общих случаях сложения взаимно перпендикулярных гармонических колебаний замкнутые траектории точки называются фигурами Лиссажу. Конфигурация этих кривых зависит от соотношения амплитуд, начальных фаз, периодов и частот складываемых колебаний (рис.2.10).

Рис.2.10

Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, соответственно равных амплитудам складываемых колебаний. Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа касаний соответствующей им фигуры Лиссажу со сторонами прямоугольника, параллельными осям.

Сложение колебаний, направленных под прямым углом друг к другу, достаточно часто происходит в различных процессах, протекающих в природе и в различных технических устройствах. Например, при подаче переменного напряжения на две пары отклоняющих пластин электронно-лучевой трубки электронный пучок одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. На экране электронно-лучевой трубки можно наблюдать траекторию результирующего колебательного движения (фигуры Лиссажу).