8.3. Закон сохранения момента импульса. Уравнение моментов

Известно, что моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки называется векторная физическая величина, численно равная произведению ее импульса (количества движения) на плечо, т.е. на кратчайшее расстояние от направления импульса до оси (или центра) вращения:

L_i = m_iv_ir_i = m_iω_ir_ir_i= m_ir_i²ω_i = I_iω, (8.22)

где I_i - момент инерции материальной точки относительно выбранной оси (выбранного центра) вращения;

ω - угловая скорость материальной точки.

В векторной форме

L_i = I_iω или L = [rp]. (8.23)

Момент импульса твердого тела (системы) относительно выбранной оси (или центра) вращения равен сумме моментов импульса отдельно взятых материальных точек тела (тел системы) относительно той же оси (того же центра) вращения. При этом

L = Iω, (8.24)

где - момент инерции тела (системы);

ω - угловая скорость.

Основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки имеет вид

, (8.25)

где L_i - момент импульса материальной точки относительно начала координат;

- суммарный вращающий момент, действующий на i-ю материальную точку;

- результирующий момент всех внутренних сил, действующих на материальную точку;

- результирующий момент всех внешних сил, действующих на материальную точку.

Для тела, состоящего из n материальных точек (системы из n тел):

. (8.26)

Так как -момент всех внутренних сил равен нулю, то

или , (8.27)

где L₀ - момент импульса тела (системы) относительно начала координат;

M_вн - суммарный вращающий момент внешних сил, действующих на тело (систему).

Из (8.27) следует, что момент импульса тела (системы) может изменяться под действием момента внешних сил, а скорость его изменения равна суммарному вращающему моменту внешних сил, действующих на тело (систему).

Если M_вн = 0, то

, а L₀ = const. (8.28)

Таким образом, если на тело (замкнутую систему) не действует внешний вращающий момент, то его момент импульса остается величиной постоянной. Данное утверждение и называют законом сохранения момента импульса.

Для реальных систем закон сохранения момента импульса можно записать так

, а L₀_x = const. (8.29)

Из закона сохранения момента импульса следует: если тело не вращалось

(ω = 0), то при M = 0 оно и не придет во вращение; если тело совершало вращательное движение, то при M = 0, оно будет совершать равномерное вращательное движение.

Уравнения , называют уравнениями моментов, соответственно для тела (системы) или материальной точки.

Уравнение моментов указывает, как изменяется момент импульса под действием сил. Так как dL₀ = M∙dt, то момент сил, совпадающий по направлению с моментом импульса, увеличивает его. Если же момент сил направлен навстречу моменту импульса, то последний уменьшается.

Уравнение моментов справедливо для любой произвольно выбранной неподвижной оси вращения.

Приведем несколько примеров:

а) когда кошка неожиданно для себя падает с большой высоты, она усиленно вращает хвостом в ту или иную сторону, добиваясь оптимального разворота своего тела для благоприятного приземления;

б) человек перемещается по краю круглой, свободно вращающейся платформы: пусть моменты импульса платформы и человека соответственно равны и, тогда, принимая систему замкнутой, получим

, ,.

Т.е. угловые скорости вращения этих тел вокруг их общей оси будут обратны по знаку, а по величине – обратно пропорциональны их моментам инерции;

в) опыт со скамьей Жуковского. Человек, находящийся посередине скамьи и вращающийся вместе с платформой, притягивает к себе грузы. Пренебрегая трением в опорных подшипниках, считаем момент силы равным нулю:

, ,.

, .

При ,, если же, то;

г) при фигурном катании на коньках спортсмен, выполняя вращение, складывается и при этом ускоряет свое вращение;

д) гироскопы - устройства, принцип действия которых основан на законе сохранения момента импульса тела: . Предназначены для фиксирования первоначально заданного направления в пространстве на объекте, который перемещается в произвольном направлении и неравномерно (космические ракеты, танки и др.).