Лекция 9. Основы релятивистской механики. Релятивистская кинематика

Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Инварианты преобразования. Закон сложения скоростей в классической механике. Представления о свойствах пространства и времени в специальной теории относительности. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца для координат и времени. Следствия из преобразований Лоренца: сокращение движущихся масштабов длин, замедление движущихся часов, закон сложения скоростей.

9.1. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Инварианты преобразования. Закон сложения скоростей в классической механике

Теория относительности, физическая теория, рассматривающая пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физических процессов. Универсальность пространственно-временных свойств, рассматриваемых теорией относительности, позволяет говорить о них просто как о свойствах пространства-времени.

Наиболее общая теория пространства-времени называется общей теорией относительности (ОТО) или теорией тяготения, так как согласно этой теории свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. В специальной (частной) теории относительности (СТО), основы которой были опубликованы А. Эйнштейном в 1905 г., изучаются свойства пространства-времени, справедливые с той точностью, с какой можно пренебрегать действием тяготения.

Таким образом, логически СТО - частный случай ОТО; исторически построение ОТО А. Эйнштейном было завершено в 1915 году, после чего и появился термин "частная (специальная) теория относительности". Надо отметить, что еще до появления СТО голландский и французский физики Лоренц и Пуанкаре были близки к получению результатов, вытекающих из положений СТО.

А. Эйнштейн представил с единой точки зрения все известные до него эксперименты по определению скорости света и зависимости скорости распространения света от того, движутся или нет источники и приемники света, изложил физическое понимание проблем, с которыми столкнулись электродинамика и оптика.

Рассматривая движение материальных точек (тел) в классической механике, предполагается, что они движутся со скоростями vc (v - скорость движущегося объекта; c - скорость распространения света в вакууме).

Говоря о механическом движении, т.е. о перемещении тела в пространстве, всегда имеется в виду его движение относительно других тел (или одних частей тела относительно других его частей). Для математического описания движения тел с этим телом и другими телами жестко связывается система отсчета и часы для определения времени. Положение материальной точки (тела) в выбранной системе отсчета определяется либо с помощью координат (X,У,Z), либо с помощью радиус-вектора r и часов. При движении материальной точки (тела) в инерциальной системе отсчета предполагается: 1) выбранная система отсчета неподвижна или движется равномерно и прямолинейно относительно любой другой инерциальной системы отсчета; 2) условия движения тела в различных системах отсчета одинаковы; 3) основное уравнение динамики F = dp/dt = ma (второй закон Ньютона) справедливо, если наблюдатель неподвижен относительно выбранной системы отсчета. В этом случае: 1) тело, брошенное вдоль вагона, достигает противоположной стенки за одно и то же время, независимо от того движется ли оно по направлению движения поезда или в противоположном направлении, причем это время такое же, как и в покоящемся вагоне; 2) тело, брошенное вертикально вверх в вагоне, движущимся равномерно и прямолинейно (движущейся системе отсчета), вернется в ту же точку вагона, из которой оно было брошено, а не отклонится в сторону, противоположную направлению движения вагона; 3) упругий удар биллиардных шаров в обеих инерциальных системах (покоящейся и движущейся) отсчета заканчивается разлетом на одинаковые углы и с одинаковыми скоростями, если только в двух системах отсчета были одинаковые начальные скорости и направления движения.

Все это показывает, что в классической механике справедлив следующий закон природы: "В двух системах отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, все механические явления протекают одинаково (при одинаковых условиях)".

Это положение, сформулированное еще Галилеем, получило название классического принципа относительности, или принципа относительности Галилея.

Если начальные условия в различных системах отсчета не одинаковы, то величины, характеризующие движение (координаты, скорости, траектория движения), относительны. Например, траектория движения тела, свободно падающего вертикально вниз в неподвижной системе отсчета, представляет собой прямую линию. Однако по отношению к движущейся системе отсчета это же тело движется по параболе.

Наблюдая движение тел внутри инерциальных систем отсчета, нельзя установить, какая из них движется, а какая покоится.

Это позволяет придать принципу относительности Галилея другую (отрицательную) формулировку: "Никакие опыты, проводимые в инерциальных системах отсчета с механическими приборами (представляющими собой совокупность пружин, нитей, блоков, рычагов и т. д.), не позволяют установить, покоится система отсчета или движется равномерно и прямолинейно по отношению к другой инерциальной системе отсчета.

Рис. 9.1

Согласно механическому принципу относительности, во всех инерциальных системах отсчета законы классической механики имеют одинаковую форму.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: систему К, которую будем считать условно неподвижной, и систему К^', движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью v₀ (v₀ = const). Отсчет времени начнем с момента, когда начала координат обеих систем совпадали. В классической механике предполагается, что время не зависит от относительного движения систем отсчета (рис.9.1).

Положение произвольной точки в этих системах можно определить радиус-векторами r и r^'; положение начала координат системы К^' в системе К - радиус-вектором r_o. Если направление скорости v₀ совпадает с направлением r_o, то в произвольный момент времени t, положение выбранной точки в системе К можно определить так:

r = r^' + r₀ = r' + v_ot; t = t^'. (9.1)

В проекциях на оси координат выражение (9.1) будет иметь следующий вид:

x = x^' + v_0xt, у = у^' + v_0уt,

z = z^' + v_0zt, t = t^'. (9.2)

Соотношения (9.2) называют обратными преобразованиями координат Галилея. Для получения прямых преобразований Галилея необходимо поменять знак относительной скорости v₀. В результате получим

x^' = x - v_0xt, у^' = у - v_0уt,

z^' = z - v_0zt, t = t^'. (9.3)

Или в векторной форме

r^' = r -v₀t; t = t^'. (9.4)

Уравнения, обе части которых при переходе от одной системы координат к другой преобразуются одинаково и благодаря этому сохраняют свой вид во всех координатных (инерциальных) системах, называются ковариантными или инвариантными по отношению к рассматриваемому преобразованию координатных систем. Поэтому уравнения, выражающие физические законы в векторной форме, не зависят от выбора осей координат, они инвариантны.

Продифференцировав (9.1) по времени, получим

v = v^' + v₀. (9.5)

Уравнение (9.5) является математической формой записи закона сложения скоростей в классической механике.

Из выражения (9.5)

; a = a^'. (9.6)

Таким образом, ускорение выбранной точки в инерциальных системах отсчета К и К^', движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, одинаково. Следовательно, если на рассматриваемую точку не действуют внешние силы, то согласно (9.6) система К^' является инерциальной (выбранная точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно).

Умножив (9.6) на массу материальной точки, будем иметь

ma = ma^', (9.7)

или

ma = F; ma^' = F^'. (9.8)

Уравнения (9.8) выражают основной закон классической динамики. Равенство F = F^' означает, что законы классической динамики инвариантны при переходе от одной инерциальной системы к другой, что в свою очередь подтверждает справедливость принципа относительности Галилея.

В классической механике предполагается, что время во всех инерциальных системах отсчета одно и то же (это можно доказать), а координаты выбранной материальной точки (тела) относительны. Относительные расстояния между двумя точками пространства определяются из геометрических соображений. При этом относительное расстояние между выбранными точками пространства в подвижной системе отсчета определяется соотношением

, (9.9)

а в неподвижной системе отсчета

. (9.10)

Сравнив (9.9) и (9.10), можно сделать вывод, что относительные расстояния в классической механике одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, они абсолютны, т.е. инвариантны.

Таким образом, принцип относительности по своему содержанию глубоко диалектичен. Он утверждает относительность ряда величин и понятий (координаты, скорости, траектории), содержит утверждение об абсолютности (инвариантности) расстояния между телами (точками), промежутков времени между событиями, относительных скоростей тел, ускорений, об инвариантности (абсолютности) законов природы. С этой точки зрения, само название "принцип относительности" не является наиболее удачным, так как оно подчеркивает только одну, причем не самую важную сторону - относительность, и игнорирует другую - абсолютность (инвариантность) законов механики. Следовательно, можно привести математическую формулировку принципа относительности Галилея: уравнения второго закона Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.

Инвариантные величины (расстояния между телами (точками), промежутки времени между событиями, относительные скорости тел, ускорения) называют инвариантами преобразований.