3289-electrodinam

Равенство (3.41) доказано.

Формула (3.44) дает возможность вычислять в конкретных случаях взаимные индуктивности по одному лишь взаимному расположению контуров.

В качестве примера определим внутреннюю индуктивность прямого провода радиуса R. Пусть по проводу протекает ток I.

Энергия и индуктивность связаны соотношением

L =	2Wм .			(3.46)
	I02
Энергию, сосредоточенную в объеме dV, выразим через ее
плотность:
dW =	μH	2	dV ,	(3.47)
м	2

где в цилиндрической системе координат dV = rdrdadz .

Выражая напряженность магнитного поля из первого уравнения Максвелла и интегрируя (3.47) по объему цилиндра единичной длины, получим соотношение для энергии. Подставив его в (3.46), получим

	μI0		R	2π	1	μR	4			μ
L =			∫r3dr ∫ dα∫dz =					2π	=		.
	2	4				32π		2 4
	8π R	0		0	0			R		8π

Это внутренняя индуктивность прямого провода. Заметим, что она не зависит от радиуса провода.

Определим теперь взаимную индуктивность двух витков, находящихся в одной плоскости (см. рис. 3.8).

Поток, создаваемый большим контуром, равен

	Φ = B S = μ				I2			πR2	,
			0 2R π
	12 2 1							1
						2
	откуда
	B2 = μ0		I2				.
		2R				π
			2

91

Из выражения Φ12 = М12 I2 находим

	Φ		μ	π R2
М12 =	12	=	0		1	.
	I2		2		R2

Контрольные вопросы

1.Запишите уравнения для электрического поля в проводящей среде. Сопоставьте их с уравнениями электростатики.

2.Каким образом можно приспособить аналитические решения задач электростатики для решения задач в поле проводящей среды?

3.Запишите уравнения магнитостатики.

4.Получите уравнения магнитостатического поля из уравнений Максвелла.

5.С какой целью вводится векторный магнитный потенциал?

6.Запишите закон Био – Савара в интегральной и дифференциальной форме.

92

4.Общие свойства переменного электромагнитного поля

4.1. Монохроматическое поле, метод комплексных амплитуд

Для радиоэлектроники переменное электромагнитное поле представляет основной интерес. Мы будем изучать установившиеся процессы, которым свойственны гармонические во времени колебания. Тогда всякую изменяющуюся во времени скалярную величину можно записать в виде

ψ= ψт cos(ωt + ϕ)

исоответственно всякий вектор записывается как

A = Am cos(ωt +ϕ),

где ω — круговая частота гармонических колебаний; ϕ — фаза. Это величина, характеризующая состояние процесса в начальный момент времени.

Поля, изменяющиеся по гармоническому закону, называются монохроматическими. Для их исследования очень часто применяют хорошо известный из теории цепей метод комплексных амплитуд (МКА). Он также называется символическим методом.

МКА основан на применении формулы Эйлера. С учетом ее любую комплексную скалярную или векторную величину можно представить в виде

ψ = ψme j(ωt+ϕ) = ψm (cos(ωt +ϕ) + j sin(ωt +ϕ)),

A = Ame j(ωt+ϕ) = Am (cos(ωt +ϕ) + j sin(ωt +ϕ)).

Тогда

ψ = Reψ и A = Re A.

Известно, что если решением дифференциального уравнения является комплексная величина, то решение включает действительную и мнимую части этой величины. Таким образом, получив

93

решение в виде комплексной величины, необходимо в конечном ответе взять только ее действительную часть.

Применение МКА во многих случаях помогает значительно упростить решение дифференциальных уравнений, так как дифференцирование комплекса по времени эквивалентно умножению на jω:

∂∂t A = jωA.

Интегрирование сводится к делению на jω.

Представим комплексные величины в виде сомножителей:

ψ = ψ		e jωt и		=		e jωn ,
	m		A		A
					m

где ψm = ψme jϕ и Am = Ame jϕ — комплексные амплитуды.

Применение понятия комплексной амплитуды позволяет во многих случаях избавляться от временной зависимости.

4.2. Уравнения Максвелла в комплексной форме

Используя МКА, заменим в уравнениях Максвелла (1.1) и (1.2), записанных в дифференциальной форме, векторы поля комплексными представлениями:

=

e jϖt , H

=

e jϖt ,

E

E

m

E

m

=

e− jkz ,

E

E

где

m

m

— комплексные амплитуды векторов поля.

− jkz

Hm = Hme

Теперь можем записать:

= σ

+ ε dE

(4.1)

rot H

E

rotH

= σE + jωεE ;

dt

rot

= −μ dH

rot

= − jμω

.

(4.2)

E

E

E

dt

94

Сократив на e jϖt , избавимся от временной зависимости и перейдем к комплексным амплитудам:

σ

rot Hm =

(4.3)

jω ε − j

ω

Em ;

rot

m.

E

m = − jωμH

(4.4)

В формуле (4.3)

ε − j σ = ε — комплексная диэлектрическая

проницаемость.

ω

σ

Обозначим ε

′

= ε, ε

′′

тогда

ε = ε

′

′′

= ω,

− jε .

Отношение

ε′′ =

σ

= tg

— тангенс угла диэлектрических по-

ωε

ε′

терь.

Мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости характеризует ток проводимости и электрические потери в веществе: если потерями можно пренебречь, то ε′′ = 0 .

′	′′	μ′′	= tg	м — потери на пе-
Аналогично получим: μ = μ	− jμ ,	μ′

ремагничивание.

Уравнения Максвелла, таким образом, будут иметь вид: для комплексных векторов —

(4.5а)

rot H

= jωεE ,

;

(4.5б)

rot E

= − jωμH

для комплексных амплитуд —

m = jωε

m ,

(4.6а)

rot H

E

rot

m.

(4.6б)

E

m = − jωμH

Эти уравнения дополняются еще двумя:

div

= 0;

(4.7)

E

= 0.

(4.8)

div H

95

Уравнение (4.8) не вызывает сомнения, так как получено из

div B = 0. А вот уравнение (4.7) требует доказательства. Приведем его:

div

= −

∂ρ

;

div

= − jωρ;

ρ = −

1

div

;

j

j

j

∂t

jω

= σ

;

j

E

ρ = −

σ

div

;

div

= ρ;

E

D

jω

σ

σ

div εE +

div E = 0;

ε+

div E = 0.

jω

jω

Так как выражение в скобках не может равняться нулю, следовательно, div E = 0.

4.3. Волновые уравнения

Получим из уравнений Максвелла уравнения отдельно для E

. Из равенства (4.5б) выразим

и отдельно для H

H и подставим

в (4.5а):

1

rot

;

H

= −

E

jωμ

rot (rot

)= ω2εμ

;

E

E

grad (div

)− 2

= ω2εμ

.

E

E

E

Обозначим ω2 εμ = k2 , где k — волновое число.

Так как div

= 0, то

E

2

+ k2

= 0.

(4.9)

E

E

96

Проведем аналогичные действия относительно вектора H :

2 H

+ k2 H

= 0.

(4.10)

Выражения (4.9) и (4.10) — это уравнения Гельмгольца.

Для комплексных амплитуд они выглядят следующим образом:

2				+ k2		= 0;		(4.11)
	E				E
		m			m
2H		m + k2H					m = 0.	(4.12)

4.4. Средний баланс энергии электромагнитного поля

4.4.1. Среднее значение характеристик поля

Поскольку гармонические колебания электромагнитных полей, представляющие интерес для радиоэлектроники, являются быстропеременными, обычно имеют дело с их усредненными во времени энергетическими характеристиками.

Переходя к комплексным величинам, необходимо иметь в виду следующие соотношения:

Re(a,b) ≠ Re(a) Re(b);

A = 12 (A + A* ),

где А* — комплексно-сопряженная величина.

Соответственно энергия магнитного и электрического полей и вектор Пойнтинга определяются по формулам:

ωм =

1 μH 2

=

1

μ(H

)2 ;

(4.13)

+ H

2

8

ωэ =

1

εH 2

=

1

ε(

+

)2 ;

(4.14)

E

E

2

8

97

		=	1	(		+		),(H			) .	(4.15)
	Π				E		E		+ H
			4

Понятия «среднее» и «среднее за период» у гармонических сигналов совпадают. Найдем среднее значение вектора Пойнтинга:

			1	T
		ср =		∫						dt.	(4.16)
	П						П
			T
				0
С учетом равенства (4.15)

4

(

)

1

П

=

E H + E H* + E* H + E* H *

sin E, H .

(4.17)

Комплексные векторы поля задаются в виде

=

me j(ωt+ϕE ) ,

(4.18)

E

E

me j(ωt+ϕH ).

(4.19)

H

= H

Подставим соотношения (4.18) и (4.19) в формулу (4.17) и затем в (4.16). Рассмотрим каждый из четырех получившихся интегралов в отдельности:

	1	T							1	T	EmHme jωte j(ϕE +ϕH )dt = 0.
		∫		EH				dt =		∫
	T								T
		0								0

Равенство нулю этого интеграла обусловлено наличием аргумента с удвоенной частотой. Аналогично обратится в ноль интеграл, содержащий произведение двух комплексно-сопряженных величин:

1 T∫E*H *dt = 0. T 0

Третье и четвертое слагаемые в подынтегральном выражении (4.16) освобождаются от временной зависимости:

1

T

dt =

1

T

E

H

e j(ϕE +ϕH )dt =E H

e j(ϕE +ϕH ) ; (4.20)

∫

EH

∫

T

T

m

m

m

m

0

0

98

	T	∫
	1	T			H	dt =EmHme− j(ϕE +ϕH ).	(4.21)
		0		E

Таким образом, среднее значение вектора Пойнтинга определяется выражением

Пср		=	1 EmHm (e j(ϕE −ϕH ) + e− j(ϕE −ϕH ) ) sin E, H .
			4

Сучетом формулы Эйлера

Πср = 12 Em , Hm cos(ϕE −ϕH );

1 Re

, H

=

1 Re

.

(4.22)

=

П

ср

E

E

, H

2

2

Чтобы найти среднее значение вектора Пойнтинга, нужно определить реальную часть комплексного вектора Пойнтинга.

Аналогично находится среднее значение плотности энергии магнитного поля:

T

T

ωм.ср =

1

∫ωмdt =

1

∫μ(H

2 + H

*2 + 2

* )dt,

HH

T

8T

0

0

ω

= 1

μH 2 .

(4.23)

м.ср

4

m

Среднее значение плотности энергии электрического поля

ω

= 1

εE2 .

(4.24)

э.ср

4

m

Определим среднее значение плотности мощности

электро-

магнитного поля:

pср = Re p,

(4.25)

где

p = 1

*σ =

σ E2 .

EE

2

2

m

99

Сторонняя плотность мощности, как правило, имеет комплексный характер, так как ток и напряженность стороннего источника отличаются по фазе.

4.4.2. Средний баланс энергии

Будем исходить из комплексной формы уравнений Максвелла (4.1), (4.2), записывая первое из них комплексно-сопряженным:

rotHm* = − jωε*Em* + jст* .т,

rot Em = − jωμHm.

Все члены первой строчки умножим на Em , а второй — на Hm .

Произведем вычитание соответственных частей и применим тождество

div Em, Hm = Hm rot Em − Em rot Hm.

Отсюда

div

= j

ω(ε

m

m )− pстm.

(4.26)

Π

E

E

m −μ′H

m H

2

Внесем в (4.26) представления комплексных проницаемостей. Разделение вещественной и мнимой частей дает:

ω

div ReΠ = −

2

(ε′′Em Em +μ′′Hm Hm )− Re pстm ;

(4.27)

ω

div Im Π =

2

(ε′Em Em −μ′Hm Hm )− Im pстm.

(В (4.27) учтено, что в результате комплексного сопряжения изменился знак при ε′′.) Удобно сначала произвести интегрирование по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S, и перейти к следующим соответствиям:

100