Lesn4_Rjady

Глава V. Ряды Фурье

Теорема 1. Основная тригонометрическая система функций ортогональна на отрезке [ l, l] и удовлетворяет условию:

||	1	||2	l	,	|| cosn x ||2		|| sin n x ||2	l . (3)
2		2			l		l

Доказательство. Основная тригонометрическая система функций (1) состоит из функций трех видов. Поэтому доказательство ортогональности сводится к рассмотрению различных пар функций.

Ортогональность

функции

(x)

1

и

любой другой

0

2

функции системы (1)

вытекает из равенств (2). Из равенства

l

1

2 dx

l

вытекает первое из равенств (3).

2

2

l

Возьмем функции

cos(m

x) и cos(n

x) . Рассмотрим их

l

l

скалярное произведение

cos(m

x),cos(n x) =

l

l

l

l

= cos(m x) cos(n

x)dx

1

cos(m n)

x cos(m n) x dx .

l

l

l

2

l

l

l

В силу равенств (2) последний интеграл при m n равен 0.

Следовательно,

функции cos(m

x) и cos(n x)

ортогональны.

l

l

Если же

m n ,

то

интеграл

равен l.

Это

означает, что

|| cosn x ||2

l .

l

Рассматривая

аналогично

скалярные

произведения

sin(m x),sin(n

x)

и

sin(m

x),cos(n

x) , получим утвер-

l

l

l

l

ждение теоремы.

►

Определение 2. Функциональный ряд по основной тригонометрической системе функций

	a0
			an cos(n x)		bn sin(n x)	(4)
	2
			n 1	l	l

называется тригонометрическим рядом.

Прежде всего, рассмотрим одно из достаточных условий равномерной сходимости тригонометрического ряда.

90

	§2. Тригонометрический ряд Фурье.
Теорема 2. Если ряды an ,	bn из коэффициентов тригоно-
n 1	n 1

метрического ряда (4) сходятся абсолютно, то тригонометрический ряд сходится равномерно на отрезке [ l, l].

Доказательство. Достаточно заметить, что						n N и	x R
выполняется						неравенство
| u (x) | | a cos(n x) b				sin(n	x) |
n	n	l	n	l
| a	| | cos(n x) | | b		| | sin(n x) | | a | | b | . Оно означает,
n	l	n		l	n	n
что числовой ряд		| an | | bn |			в области	D = R мажорирует
функциональный ряд (4). По условию теоремы ряды							| an | ,
| bn | сходятся. Поэтому сходится и ряд						| an | | bn | – их

сумма. Согласно теореме Вейерштрасса функциональный ряд (4) сходится на R равномерно. ►

Если функция f(x) раскладывается на отрезке [ l, l] в равномерно сходящийся тригонометрический ряд (4), то он является рядом Фурье для этой функции. Согласно равенствам (3) и

an	( f , n )					коэффициенты Фурье находятся из соотношений:
	||	n	||2
				1		l	f (x) cos(n x)dx ,	bn 1	l	f (x) sin(n x)dx . (5)
	an
				l		l	l	l	l	l

Замечание 1. Теоремы о непрерывности суммы, о почленном дифференцировании и интегрировании функциональных рядов переносятся и на тригонометрический ряд Фурье.

§3. Разложение функции в ряд Фурье

1. Достаточные условия разложимости

Если функция f(x) кусочно-непрерывна на отрезке [ l, l], то согласно равенствам (4) и (5) предыдущего параграфа можно

91

Глава V. Ряды Фурье

записать ряд Фурье для этой функции. А будет ли это разложением функции f(x)?

Рассмотрим, какие функции допускают разложение в ряд Фурье.

Определение 1. Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a, b], если отрезок можно разбить на конечное число промежутков монотонности этой функции.

Теорема 1 (Дирихле2).
Пусть	функция			f(x) кусочно-непрерывна и		кусочно-
монотонна на отрезке [ l, l]. Тогда она разлагается в ряд
Фурье на данном отрезке, то есть ряд Фурье сходится на
отрезке [ l, l] и его сумма S(x) удовлетворяет условиям:
1) S(x) = f(x) в любой точке x непрерывности функции f(x);
2) S(x	)	1	f (x	0) f (x 0)	в каждой	точке x	0
0	2		0	0

разрыва функции f(x);

3) S( l) S(l) 12 f ( l 0) f (l 0) .

Если, дополнительно, функция f(x) непрерывна на отрезке [ l, l] и f( l) = f(l), то ряд Фурье сходится равномерно к функции f(x).

Доказательство опустим.

Иллюстрация:	y	.
.			.
l	0	x0	l	x

Рассмотрим еще один достаточный признак разложения функции в ряд Фурье. Для этого введем еще одно понятие.

Определение 2. Функция называется кусочно дифференцируе-

мой на отрезке, если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков; внутри каждого из них функция дифференцируема, а в граничных точках имеет соответствующие односторонние производные.

2 Дирихле П.Г.Л. (1805 – 1859) – немецкий математик.

92

§3. Разложение функции в ряд Фурье.

Замечание 1. Утверждение теоремы Дирихле остается в силе, если в ее формулировке кусочную монотонность функции заменить на кусочную непрерывность производной этой функции.

2. Практический способ разложения функции в ряд Фурье

На практике для разложения функции в ряд Фурье используются равенства (4) и (5) из §2.

Пример 1. Разложим в ряд Фурье функцию

0,	x 0;
f (x)	0 x .
x,

Функция f(x) определена на отрезке [, ], поэтому l = . Построим график функции:

Очевидно, на отрезке [, ] функ- y ция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

Согласно равенствам (5) получаем:

1

1

1

2

0

x

a0

f (x)dx

xdx

x

2

0

2

0

1

x cosnxdx

1

1

1

(cosn 1)

( 1)n 1

a

n

(cosnx nxsin nx)

n2

0 n2

n2

0

1

1

( n ( 1)n )

( 1)n 1

b

1

x sin nxdx

1

(sin nx

nx cosnx)

n

n 2

0

n 2

n

0

В соответствии с (4) получаем разложение функции:

( 1)n 1

( 1)n 1

f (x)

cosnx

sin nx

.

4

n2

n

n 1

Замечание 2.

Коэффициент

a0

l

1

f ( x)dx

2

2l

l

является средним значением функции f(x) на отрезке [ l, l].

93

Глава V. Ряды Фурье

Лекция 12

3. Разложение в ряд Фурье четной или нечетной функции

окажем сначала вспомогательное утверждение.

Теорема 2. Если функция (x) четна на отрезке [ l, l], то

l	l
(x)dx 2 (x)dx .		(1)
l	0

Если же функция нечетна на этом отрезке, то

l

(x)dx 0 . (2)

l

Доказательство. Пусть функция Рассмотрим сначала интеграл

(x) четна на отрезке [ l, l].

0

(x)dx . Учитывая четность

l

функции, получаем:

	0					l	l
	(x)dx (x)dx ( x)d ( x) .
	l					0	0
		l x			l	0	l	l
После замены t						имеем (x)dx (t)dt (x)dx .
		0			0	l	0	0
	Из свойства аддитивности вытекает, что
	l		0			l	l
	(x)dx (x)dx (x)dx = 2 (x)dx .
	l		l			0	0
	В случае нечетной функции
0	l					l
(x)dx (x)dx и поэтому (x)dx 0 .								►
l	0					l
	ассмотрим теперь функцию f(x), четную на отрезке [ l, l].
Тогда для любого			n N функция				f (x) cosn x	четна, а функ-
							l
ция	f (x)sin n x		нечетна. Для коэффициентов Фурье в силу
	l

теоремы 2 имеем:

94

§3. Разложение функции в ряд Фурье.

		l
an	2	f ( x) cos(n l x)dx,	bn 0 .	(3)
	l
		0

Таким образом, разложение четной функции содержит только косинусы - четные функции. В этом случае говорят, что

четная функция раскладывается в ряд Фурье по косинусам.

Для нечетной функции f(x) получаем аналогично:

			l
an 0,	bn	2	f (x)sin(n l x)dx .	(4)
		l
			0

Таким образом, нечетная функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам.

Пример 2.

Разложим функцию f (x) | x | в ряд Фурье на отрезке [ , ].

Функция определена на отрезке [ , ], поэтому l = . Как видно из графика, функция f(x) на данном отрезке удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и четна, поэтому коэффициенты ряда Фурье можно вычислить по формулам (3):

y

a0

2

xdx

(см. пример 1);

0

a

n

2

x cosnxdx 2

( 1) n 1

;

n 2

0

x

0

bn 0 .

Получаем разложение функции в ряд Фурье

2

( 1)n 1

f (x) 2

cosnx .

n

2

m 1

Замечание 3. Любая функция f(x), определенная на симметричном отрезке [ l, l], раскладывается на сумму четной и нечетной функций

f (x) fчет (x) fнеч(x) .

Достаточно положить, например,

f	чет	(x)	1	f (x) f ( x) ,	f	неч	(x)	1	f (x) f ( x) .
		2					2

95

Глава V. Ряды Фурье

4. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на произвольном конечном отрезке

Пусть функция f(x) кусочно-непрерывна и кусочномонотонна на конечном отрезке [a, b].

Возьмем произвольный отрезок [ l, l], содержащий отрезок [a, b]. Доопределим функцию f(x) на отрезок [ l, l] с сохранением данных двух свойств.

y

l

a

0

b

l

x

Разложив теперь функцию в ряд Фурье на отрезке [ l, l], получим разложение и на отрезке [a, b].

Отметим частный случай, часто встречающийся на практике. Пусть функция f(x) определена на отрезке [0, l] и удовлетворяет на нем условиям теоремы Дирихле. Доопределим ее соответствующим образом на отрезок [ l, l]. Получим разложение в ряд Фурье на отрезке [ l, l] и, в частности, на отрезке [0, l].

Очевидно, таких разложений можно получить бесконечно много. В частности, если доопределим функцию f(x) на отрезок [ l, l] четным образом, то получим разложение по косинусам. Если же доопределим функцию f(x) на отрезок [ l, l] нечетным образом, то получим разложение по синусам.

Пример 3.

Разложим в ряд Фурье на отрезке [0; 2] функцию

x,		x [0; 1];
f ( x)	x,	x [1;2].
2

Функция f(x) определена на отрезке [0, 2] удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле (см. рис.). Продолжим функцию на отрезок [ 2; 0], например, четным образом. Тогда l = 2.

96

§3. Разложение функции в ряд Фурье.

	Согласно равен-								y
	ствам (3)	получаем
	bn 0 .
	В силу замечания
	2 коэффициент		a0	ра-	2	1			0	1	2	x
		2
	вен среднему	значению
	функции на отрезке [ 2; 2],				то есть	a0		1	(см. рис.).
						2
							2
	Наконец, согласно (3) имеем:
	2				1					2

an 2 f (x) cos(n x)dx 2 x cos(n x)dx 2 (2 x) cos(n x)dx

		0					0			1
=	2	(2( 1)	n	3) .
	2 2
	n
		Разложение функции принимает вид:
					1		2		2( 1)n 3
				f (x)						cosn x .
					2		2		n 2
								n 1

Рассмотрим еще одну частную ситуацию.

5. Разложение в ряд Фурье периодической функции

Пусть функция f(x) определена на множестве R и является периодической с периодом T = 2l. На отрезке [ l, l] она удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

Разложим функцию f(x) на этом отрезке в ряд Фурье. Тогда

во всякой точке x [ l, l]	непрерывности	f(x) ряд Фурье схо-
дится и для его суммы S(x)	имеет место равенство f(x) = S(x).
Так как слагаемые ряда функции		cosn x,	sin n x
		l	l

определены на R и имеют период T = 2l, то сумма ряда S(x) тоже имеет период T = 2l. Тогда во всякой точке x R непрерывности функции f(x) имеет место равенство f(x) = S(x). Следовательно, функция f(x) разложена в ряд Фурье на всей вещественной оси R.

97

Глава V. Ряды Фурье

Практически для такого разложения периодической функции достаточно разложить ее на отрезке [ l, l], длина которого равна периоду T = 2l этой функции.

На практике при разложении периодической функции в ряд Фурье полезно использовать следующее ее свойство.

Замечание 4. Для периодической функции f(x) с периодом T = 2l при любом R выполняется равенство:

l		2l
	f (x)dx	f (x)dx .	(5)
l

Пример 4.

Разложим в ряд Фурье периодическую функцию:

f(x) = x на [0; 2 ), на остальной части оси R задана по периоду T = 2 .

Построим

график

y

функции (см. рис.):

Для решения зада-

чи достаточно разложить

данную функцию на от-

2

резке [-, ], длина кото-

4

2

0

4

x

рого

равна

периоду

функции. Тогда

l = и на этом промежутке функция удовлетворяет

условиям теоремы Дирихле (см. рис.).

В силу замечания 2 слагаемое

a0

равно среднему значению

2

функции f(x) на отрезке [-, ], то есть

a0

(см. рис.).

2

Согласно равенству (5) при l = , = 0 получаем:

2

2

2

1

1

1

an

f (x) cosnxdx

x cosnxdx 0

;

bn

x sin nxdx

.

0

0

n

Разложение функции принимает вид:

f ( x) 2 1 sin nx . n 1 n

Разложение функции в ряд Фурье позволяет исследование функции свести к исследованию ее ряда Фурье. Перейдем к рассмотрению свойств этого ряда.

98

§4. Различные формы записи ряда Фурье.

§4. Различные формы записи ряда Фурье

1.

Ряд Фурье в форме гармоник

усть функция f(x) L[ l, l]

раскладывается в ряд Фурье

a0

f (x)

an cos(n x)

bn sin(n

x) .

(1)

2

n 1

l

l

Преобразуем общий член

In (x)

этого ряда.

Введем обо-

значения:

n ;

a0

n

A

;

A

a2

b2

. (2)

2

l

0

n

n

n

Тогда получим:

cos(n

b

sin(n

x) A

a

b

I

n

(x) = a

x)

n

cos

n

x

n

sin

n

x .

A

n

l

n

l

n A

n

n

Так как

2

b

2

an

1 , то существует такой угол , что

n

A

A

n

n

n

an

cos

n

,

bn

sin

n

.

(3)

An

An

Преобразуем In (x) :

In (x) = An cos n cos n x sin n sin n x =

An cos( n x n ) .

Ряд Фурье теперь принимает вид

f (x) A0

An cos( n x n ) .

(4)

n 1

ри исследовании разложения функции в ряд

Фурье в

форме (4) будем использовать физическую терминологию. Функция In (x) = An cos( n x n ) описывает так называемое

гармоническое колебание. Поэтому она называется гармониче-

ской или гармоникой.

Свои названия имеют и другие величины, используемые в

99