Lesn4_Rjady

Глава II.

Функциональные ряды

нальный ряд можно интегрировать на кривой L почленно.

Теорема 5. (О почленном дифференцировании ряда).

Пусть ряд un (z)

равномерно сходится в области

D и

все функции un (z)

аналитичны в этой области. Тогда и

сумма ряда

S(z)

аналитична в области D, при этом в об-

ласти D ряд можно дифференцировать почленно:

n

n

u

(z)

(3)

S (z)

u (z) .

В случае ряда из вещественных функций последняя теоре-

ма принимает другой вид.

Теорема 5 . Пусть на отрезке [a; b]:

ряд

un (x)

равномерно сходится;

1)

2)

все функции un (x) имеют непрерывные производные;

n

3)

ряд

u (x) равномерно сходится.

Тогда сумма ряда

un (x)

дифференцируема на отрезке

[a; b], при этом ряд можно дифференцировать почленно:

n

n

u

(x)

(4)

u

(x) .

На этом мы закончим исследование функциональных рядов общего вида. Перейдем к рассмотрению функциональных рядов наиболее простой структуры – степенных рядов.

40

§1. Степенной ряд. Область сходимости.

Лекция 5

Глава III.

Степенные ряды

§1. Степенной ряд. Область сходимости

ричины рассмотрения рядов такой структуры:

1)простые - следовательно, можно глубоко исследовать;

2)широкая область приложений.

Введем основное понятие. Определение 1. Функциональный ряд вида

	an (z z0 )n	a0	a1(z z0 ) ... an (z z0 ) ...,	(1)
	n 0
	где an , z0 - комплексные числа, называется степенным
	рядом.
Заменой z z0		z	степенной ряд можно привести к виду
			an zn .
			n 0

Договоримся, в дальнейшем при стандартной индексации слагаемых степенного ряда использовать упрощенную запись

an (z z0 )n , соответственно an zn .

Все свойства функциональных рядов общей структуры имеют место и для степенных рядов. Кроме того, степенные ряды обладают дополнительными свойствами. Начнем с рассмотрения области сходимости степенного ряда.

41

Глава III. Степенные ряды

Теорема 1. (Абеля ).

Если степенной ряд an (z z0 )n

сходит-

ся в точке

z1 z0 ,

то он абсолютно сходится в круге

| z z0 | r , где

r | z1

z0 | .

Доказательство рассмотрим для ряда вида an zn ,

то есть для

случая, когда z0 0 .

По предположению

числовой

y

ряд

an z1n

сходится. По необходи-

z1 •

мому

признаку

последовательность

r

{an z1n} сходится к 0. Следовательно,

z0

•

она ограничена по модулю. Это озна-

чает,

что

для

некоторого

числа

M R+ и всякого натурального числа

O

x

n выполняется неравенство

| a zn | M .

n

1

Возьмем произвольную точку z, удовлетворяющую усло-

z

q

|z|

1 .

вию

| z | | z

| . Введем

обозначение

q

.

Тогда

1

z1

|z1|

Рассмотрим

числовой

ряд

| an zn | .

Оценим

модуль

общего

члена ряда:

n

n

z

n

n

z

n

z

n

n

| a z

| | a z

|

| a z

|

z1

M

z1

Mq

.

n

n 1

z1

n 1

Таким образом,

| a zn | Mqn .

(*)

n

Рассмотрим ряд – геометрическую прогрессию Mqn . Так как q < 1, то ряд сходится. В силу неравенства (*) ряд| an zn | меньше сходящегося ряда Mqn . По первой теореме

сравнения ряд | an zn | сходится. Это означает, что ряд		an zn
сходится абсолютно. Теорема доказана.		►
Абель, Нильс Хенрик (1802 1829), норвежский математик.

42

				§1. Степенной ряд. Область сходимости.
Следствие. Если ряд an (z z0 )n					расходится в точке z2 ,			то он
	расходится и в области | z z0 | R , где R | z2						z0 | .
Доказательство предлагается выполнить самостоятельно (мето-
дом от противного).
◄ Рассмотрим произвольный степенной ряд						an (z z0 )n .
Можно привести пример, когда ряд сходится только в одной
точке	z0 C и пример, когда ряд сходится во всех точках ком-
плексной плоскости C.				Исключим из рассмотрения эти крайние
ситуации. Тогда существует хотя бы одна точка						z1 z0, в кото-
рой ряд сходится, и существует					y
хотя бы одна точка z2,				в кото-
рой ряд расходится.					•			• z2
	Согласно теореме Абеля				z1	r	R
						z0•
и ее следствию вопрос о схо-							r1
димости степенного ряда оста-							z3•
ется	открытым		для	кольца
r | z z0 | R		(см. рис.). Назо-
вем его кольцом неопределен-					О			x
ности. Ширина этого кольца
равна	d = R r.		Вопрос о сходимости ряда в данном кольце
решается следующим образом.
	Возьмем некоторый радиус (отрезок) внешней окружно-
сти. Выберем на нем точку z3 , равноудаленную от окружностей
(см. рис.). Проведем через эту точку окружность с центром в
точке z0 . Обозначим через r1 ее радиус.
	В точке z3 степенной ряд сходится или расходится. В пер-
вом случае по теореме Абеля ряд сходится в круге | z z0								| r1 .
Во втором случае согласно следствию из теоремы ряд расходит-
ся в области		| z z0 | r1 . И в том, и в другом случаях ширина
кольца d неопределенности становится меньше в 2 раза.
	После n-кратного выполнения такой процедуры ширина
кольца неопределенности будет равна d = (R – r)/2n.
	Проведем данный процесс бесконечное число раз. В ре-
зультате кольцо неопределенности будет иметь нулевую шири-

43

Глава III. Степенные ряды
ну, то есть превратится в окружность с центром в точке		z0 не-
которого радиуса R.		►
Определение 2. Действительное число 0 R , такое, что сте-
	пенной ряд an (z z0 )n сходится в круге | z z0	| R и
	расходится в области | z z0 | R , называется радиусом
	сходимости степенного ряда.
	Открытый круг | z z0 | R называется кругом сходимо-
	сти степенного ряда.

Обозначение круга сходимости: KR .

Итак, мы доказали следующее утверждение.

Теорема 2. Для любого степенного ряда существует круг сходимости KR некоторого радиуса 0 R .

Следствие 1. Областью сходимости степенного ряда является круг сходимости в объединении с некоторым множеством его граничных точек.

На границе круга сходимости каждый степенной ряд исследуется в индивидуальном порядке.

Следствие 2. Областью сходимости вещественного степенного

ряда an (x x0 )n является некоторый ин-

тервал (x0 – R, x0 + R) с центром в точке x0 ,

возможно, вместе с его граничными точками. Для доказательства

утверждения достаточно рассмотреть круг сходимости

an (z x0 )n .

y
		• x0	x
x0 R°	O		° x0 + R
комплексного		степенного ряда

аким образом, область сходимости степенного ряда практически полностью определяется точкой z0 и радиусом сходи-

мости R. Точка z0 всегда известна по заданию ряда. Рассмотрим, как можно определить радиус сходимости.

44

§1. Степенной ряд. Область сходимости.

Теорема 3. Пусть для степенного ряда an (z z0 )n									существует
	хотя бы один из пределов
	l lim	| an 1 |					,		(2)
	n | a			n	|
	l lim
		n | a				| .			(3)
	n			n
	Тогда радиус сходимости ряда определяется равенством
	R 1 .								(4)
			l

Доказательство. Рассмотрим первый случай. Пусть существует

предел (2): l lim | an 1 | . Применим к степенному ряду при- n | an |

знак Даламбера абсолютной сходимости. Возьмем произвольную точку z комплексной плоскости и вычислим предел:

d

lim

|a

n 1

(z z0 )n 1

|

lim

|a

n 1

| |z z0 |n 1

| z z

| lim

|a

n 1

|

0

n

|an (z z0 )n |

n

|an | |z z0 |n

n |an |

= | z z0 | l .

Если теперь | z z |

1

, то d 1 и степенной ряд сходится

0

l

(абсолютно) в точке z. Если же | z z0 | 1l , то d 1 и ряд расхо-

дится в точке z. Согласно определению, число	R 1	является
	l
радиусом сходимости степенного ряда.
В случае существования предела (3) рассуждения прово-
дятся аналогично.		►

Примеры. Найдем радиусы и круги сходимости степенных рядов:

1)

zn

;

2) n!(z 4)n ; 3)

(z 1 2i)n

.

n

3

n!

1

1 .

Для первого ряда имеем: z 0 ; a

n

; l lim n | a

|

0

3n

n

n

3

Радиус сходимости R 3 . Круг сходимости

| z | 3 .

45

Глава III.

Степенные ряды

Для второго ряда:

z

4 ; a

n! ;

l lim

| an 1 |

lim (n 1) .

n

0

n | a

|

n

n

Радиус сходимости

R 0 . Ряд сходится только в точке z0 4 .

Для третьего ряда:

z

1 2i ;

a

1

;

l lim

| an 1

|

lim

1

0 .

n

0

n!

n | a

|

n n 1

n

Радиус сходимости R . Ряд сходится на всей комплексной плоскости.

На этом мы закончим исследование области сходимости степенного ряда и перейдем к рассмотрению свойств суммы этого ряда.

§2. Свойства суммы степенного ряда

ассмотрим сначала вопрос об области равномерной сходимости степенного ряда.

Теорема 1. Пусть R > 0 - радиус сходимости степенного рядаan (z z0 )n . Тогда при любом r, 0 < r < R, степенной ряд равномерно сходится в замкнутом круге | z z0 | r .

Доказательство. Пусть R > 0 - радиус сходимости степенного

ряда an (z z0 )n и r – произвольное число, удовлетворяющее условию 0 < r < R. Возьмем на окружности | z z0 | r

произвольную точку z1 . Так

как | z1 z0 | r R , то сходится вещественный числовой ряд

| an (z1 z0 )n | | an | rn .

Для всех номеров n и

y

z1 r z z0 R

O

x

46

§2. Свойства сумы степенного ряда.

всех точек z замкнутого круга | z z			0	| r имеем: | a		(z z )n |
					n	0
| a	| | z z |n | a | rn . Следовательно, в этом круге					степенной
n	0	n
ряд	an (z z0 )n	мажорируется сходящимся			вещественным
числовым рядом		| an | rn . Согласно признаку Вейерштрасса

степенной ряд сходится в данном круге равномерно. Теорема

доказана.							►
	усть степенной ряд				an (z z0 )n	в круге сходимости
KR	сходится			к сумме	S(z). Каждое		слагаемое ряда
u (z) a (z z		0	)n	является аналитической, и в частности, не-
n	n
прерывной в		KR		функцией. А какими		свойствами обладает
функция S(z)?
Теорема 2. В круге сходимости сумма						S(z)	степенного ряда
	аналитична и степенной ряд можно почленно дифферен-
	цировать. При этом выполняется равенство

S (z) nan (z z0 )n 1 . n 1

Доказательство. Возьмем произвольную точку

мости KR . В круге сходимости

существует замкнутый круг y | z z0 | r радиуса r с центром

в точке z0 , содержащий точку z1 . По теореме 1 степенной ряд

an (z z0 )n		сходится в круге
| z z0 | r	равномерно					и	все
функции	u	n	(z) a	n	(z z			)n	O
						0

(1)

z1 круга сходи-

r

z0 z1

x

аналитичны. По теореме 5 из §2 главы II в этом круге, в частности и в точке z1 , сумма S(z) ряда аналитична и ряд можно диф-

ференцировать почленно.

Так как точка z1 взята в круге сходимости KR произволь-

47

Глава III. Степенные ряды

но, то функция S(z) аналитична во всем круге сходимости. Для производной функции S(z) имеем:

S (z)	an (z z0 )n		an (z z0 )n	nan (z z0 )n 1 .
n 1			n 1	n 1

Равенство (1) доказано. ►

Теорема 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любой кусочно-гладкой кривой из круга сходимости KR .

В частности, для суммы		S(z)			ряда и всякой точки z KR
выполняется равенство
z		a
z0	S(z)dz	n		(z z			)n 1 .	(2)
	n 0n		1			0

Доказательство вытекает непосредственно из теоремы 1 и теоремы 4 из §2 главы II.

Следствие. При почленном интегрировании, дифференцировании степенного ряда его радиус и круг сходимости не меняются.

Доказательство рассмотрим для случая дифференцирования ряда. Доказательство следствия для случая интегрирования проводится аналогично. Ограничимся случаем, когда радиус сходи-

мости степенного ряда

an (z z0 )n

можно вычислить по фор-

муле

R 1 , где l lim

| an 1 |

.

l

n | a

n

|

Обозначим через

R1

радиус сходимости ряда из производ-

ных

nan (z z0 )n 1 . Вычислим предел для нахождения этого

n 1

радиуса:

l lim

| (n 1)an 1

|

lim

n 1

lim

| an 1

|

1 l l .

1

n

| na

|

n

n

n | a

|

n

n

Из равенства l1 = l

следует равенство радиусов сходимо-

сти рассматриваемых степенных рядов R1 = R.

►

48

§2. Свойства сумы степенного ряда.

еоремы 2 и 3 можно использовать для нахождения суммы некоторых степенных рядов.

Пример.

Найдем интервал сходимости и сумму степенного ряда

( 1)n 1

xn .

n

n 1

Найдем сначала радиус сходимости ряда. Так как

l lim

| an 1 |

lim

n

1

, то

R 1

1 .

n | a

n

|

n n 1

l

Для данного ряда x0 = 0, получаем интервал сходимости ( 1; 1). Найдем теперь сумму ряда. Возьмем произвольную точку x (1; 1). Представим общий член степенного ряда следующим обра-

зом

		( 1) n 1	x
	un (x)		x n ( 1)n 1 x n 1dx .
		n
			0

Согласно теореме о почленном интегрировании имеем

( 1) n 1

n

x

n 1

x

n 1

S(x)

x

( x)

dx

( x)

dx .

n

n 1

n 1 0

0

n 1

Под знаком последнего интеграла стоит сумма геометрической

прогрессии с а = 1 и со знаменателем

q = x. Так как

x (1; 1), то

|q | < 1 и сумма прогрессии равна

a

1

1

.

1 q

1 ( x)

1 x

Учитывая это, получаем сумму степенного ряда

x

1

x ln |1 x | ln(1 x) .

S(x)

dx ln |1 x |

1 x

0

0

Перейдем к исследованию степенных рядов особой струк-

туры.

49