Lesn4_Rjady
.pdfГлава IV. Ряды Лорана
5. Вычет в точке z0 =
Обратимся сначала к понятию вычета функции в бесконечно удаленной точке. Пусть z0 = изолированная особая точка функции f(z). Тогда функция аналитична в некоторой
проколотой окрестности U (z0 ) : R | z | точки z0 .
Возьмем в этой окрестности любой контур C, внутри которого лежит точка z = 0. Внутри контура C находятся все конечные особые точки функции f(z), если они есть. Назовем такой контур достаточно большим для точки z0 = .
Возьмем на контуре C отрицательное направление. Тогда, как и для конечной особой точки функции f(z), при обходе контура в выбранном направлении область DC, ограниченная контуром и содержащая точку z0 = , будет оставаться все время слева по ходу движения.
Из теоремы Коши для многосвязной области вытекает, что
интеграл f (z)dz не зависит от выбора контура C, достаточно
C
большого для точки z0 . Поэтому он является своеобразной численной мерой неаналитичности функции в точке z0.
Определение 2. Интеграл |
1 |
f (z)dz |
по достаточно большо- |
|
|||
|
2 i |
|
|
|
|
C |
|
му для точки |
z0 = контуру |
C называется |
|
функции f(z) |
в данной точке. |
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
Res f (z) = |
1 |
f (z)dz . |
|
2 i |
||
|
|
C |
|
|
|
|
вычетом
(8)
Согласно теореме Лорана функция f(z) раскладывается в проколотой окрестности R | z | точки z0 = в ряд Лорана:
f (z) an zn . (9)
n
По аналогии с конечными особыми точками доказывается равенство
80
§4. Вычеты функции
Res f (z) a |
1 |
. |
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
|
Выполнив в интеграле (8) замену |
z 1 |
, можно показать, |
|||
|
|
|
z |
|
|
что вычет функции f(z) в бесконечной удаленной точке |
z0 = |
сводится к вычету некоторой функции в конечной точке z1 = 0: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Res f (z) Res f |
1 |
1 |
. |
|
|
|
|
(11) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 5. |
Найдем вычет |
Res |
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как |
|
lim |
|
z |
|
0 , то |
|
z0 = |
|
является устранимой особой |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
z z2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
точкой функции |
f (z) |
|
z |
|
. Найдем сначала согласно (11) функцию |
|||||||||||||||||||||||||||
z2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
1 z2 |
|
1 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(z) f z |
|
|
|
z |
: ( |
|
|
1) |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
z |
2 |
z |
2 |
|
2 |
1 z |
2 |
|
z |
2 |
|
1 z |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Точка z1 = 0 является простым полюсом функции (z) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Согласно равенству (6) получаем |
Res (z) |
|
1 |
|
|
1 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
z2 1 |
|
z 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Наконец, из равенства (11) следует, что Res |
|
|
|
z |
|
|
= 1. |
|||||||||||||||||||||||||
|
z2 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Как следует из примера 5, если z0 = - устранимая
особая точка функции f(z), то вычет Res f (z) не всегда
равен нулю.
6. Основные теоремы о вычетах
Теорема 3 (Теорема Коши о вычетах).
Пусть в односвязной области, ограниченной контуром C, функция f(z) имеет конечное число особых точек z1, z2 ,...,zn ; на контуре особых точек нет. Тогда выполня-
ется равенство
|
n |
|
|
f (z)dz = 2 i Res f (z) . |
(12) |
C |
k 1 zk |
|
Доказательство. Для каждой особой точки |
zk построим доста- |
81
Глава IV. Ряды Лорана
точно малую окружность Ck |
с центром в этой точке так, чтобы |
|||||||
окружности не пересекались между собой и с контуром C. Тогда |
||||||||
по теореме Коши для много- |
|
|
||||||
связной области имеем: |
|
y |
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
f (z)dz f (z)dz = |
|
Cn |
||||||
|
• zn |
|||||||
C |
k 1 Ck |
|
|
|||||
|
|
• z1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
1 |
|
|
|
|
C1 |
||
2 i |
|
f (z)dz |
|
|
C |
|||
|
|
|
||||||
2 i |
|
|
||||||
k 1 |
|
C |
k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
|
|
О |
x |
||
2 i Res f (z) . |
► |
|||||||
|
|
|||||||
k 1 |
zk |
|
|
|
|
Рассмотрим теперь свойство всей совокупности особых точек функции.
Теорема 4 (Основная теорема о вычетах).
Пусть функция f(z) имеет на комплексной плоскости ко-
нечное число особых точек z1, z2, …, zn, z0 = . Тогда сумма вычетов функции по всем этим точкам равна нулю:
n
Res f (z) 0 . (13)
k 0 zk
Доказательство. Построим контур C, достаточно большой для
точки z0 = . Тогда все конечные особые точки z1, z2, …, zn функции f(z) будут находиться внутри контура C (см. рис.). Согласно теореме 3 и определению вычета в точке z0 = получаем
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res f (z) |
1 |
|
f (z)dz |
1 |
|
f (z)dz Res f (z) . |
|
2 i |
2 i |
|
|
|||||
zk |
|
|
|
|||||
k 1 |
|
|
C |
|
|
C |
|
|
Из последнего равенства вытекает равенство (13). |
► |
Обратимся теперь к прикладным вопросам теории выче-
тов.
82
§5. Приложение вычетов к вычислению интегралов.
Лекция 10
§5. Приложение вычетов к вычислению интегралов
1. Вычисление интегралов по контуру
Вычисление интегралов по контуру с помощью вычетов заключается в использовании теоремы Коши о вычетах и основной теоремы о вычетах.
Пример 1.
Вычислим интеграл по контуру |
I |
|
ez 1 |
dz . = 2 (ei 1) . |
||||
z2 iz |
||||||||
|
|
|
|z i| 2 |
|
||||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим интеграл по контуру |
I |
|
z15 |
dz . = 4 i . |
|
|||
z8 2 |
|
|||||||
|
|
|
|z| 3 |
|
||||
|
2. Вычисление интегралов |
|
||||||
|
от функций вещественного аргумента |
|
||||||
Теорема 1. Пусть R(sin x,cos x) - |
рациональная функция |
sin x и |
||||||
|
cos x . Тогда интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R(sin x, cos x)dx |
(1) |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
заменой |
|
|
|
|
|
|
|
|
z eix |
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
сводится к интегралу по контуру от некоторой рацио- |
|||||||
|
нальной функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
R1(z)dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|z| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство опустим. |
|
|
|
|
|
|
|
83
Глава IV. Ряды Лорана
Пример 3.
2 |
|
dx |
|
|
|
||||
Вычислим интеграл I |
|
|
|
||||||
3 cos x |
. = |
|
|
|
. |
||||
2 |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Рациональная дробь |
Pm (z) |
имеет не более n конеч- |
|||||||
Qn (z) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ных изолированных особых точек. Все они являются устранимыми или полюсами порядка, не большего n.
Теорема 2. Пусть рациональная функция f (z) Pm (z) , n > m + 1,
Qn (z)
на вещественной оси непрерывна, а в верхней полуплоскости имеет конечное число полюсов z1, z2, … , zk. Тогда имеет место равенство
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x)dx 2 i Re s f (z) . |
|
(3) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
k 1 zk |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство опустим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислим интеграл I |
|
|
|
. = |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
( x |
2 |
4) |
2 |
16 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема 3. |
Пусть правильная рациональная дробь |
f (z) |
Pm (z) |
, |
||||||||||||
Qn (z) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
на вещественной оси непрерывна, а в верхней полуплос- |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
кости имеет конечное число полюсов z1, z2, … , zk. Тогда |
|||||||||||||||
|
для > 0 имеет место равенство |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)ei xdx 2 i |
Re s f (z)ei x . |
(4) |
|
|||||||||||
|
|
|
k 1 |
|
zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство опустим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Замечание. |
Пусть правильная рациональная дробь |
f (z) |
Pm (z) |
, |
||||||||||||
Qn (z) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на вещественной оси непрерывна, а в нижней полуплоскости имеет конечное число полюсов z1, z2, … , zk. Тогда для< 0 имеет место равенство
84
§5. Приложение вычетов к вычислению интегралов.
|
l |
|
|
|
f (x)ei xdx 2 i Re s f (z)ei x . |
(5) |
|
|
k 1 |
zk |
|
Следствие. При условиях теоремы 3 справедливы равенства:
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
Re s f (z)e |
i x |
||||||||||
f (x) sin xdx Im |
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
z |
k |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) cos xdx Re |
|
2 i Re s f (z)e |
i x |
||||||||||||
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k 1 |
z |
k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
I |
dx . = |
|
|
|||||||||||
Вычислим интеграл |
|
|
2 |
1 |
|
|
. |
|
|
|||||||
x |
e |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6)
(7)
На этом мы закончим исследование рядов Лорана и их приложений. Перейдем к рассмотрению рядов другой структуры.
85
Глава V. Ряды Фурье
Лекция 11
Глава V.
Ряды Фурье
§1. Ряд Фурье по ортогональной системе функций
Сначала рассмотрим постановку вопроса в самом общем виде. Будем использовать аналогию с конечномерными линейными пространствами. Распространим понятия линейной алгебры на случай бесконечномерных линейных пространств. Таковыми являются многие классы функций.
Рассмотрим один из них. Исследуя тригонометрические ряды, будем работать, в основном, с кусочно-непрерывными функциями f(x): R R.
Определение 1. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной
на отрезке, если она непрерывна на нем или имеет конечное число точек разрыва и только первого рода.
В каждой из таких точек разрыва функция f(x) имеет конечные односторонние пределы f(x0 0) и f(x0 + 0). Поэтому на данном отрезке функция ограничена. Кроме того, как известно, функция интегрируема на этом отрезке.
ассмотрим множество L[a, b] всех функций, кусочнонепрерывных на отрезке [a, b]. Относительно, сложения функций и умножения функции на действительное число множество L[a, b] образует бесконечномерное линейное векторное пространство. (Проверить самостоятельно).
В данном пространстве можно задать аналог скалярного произведения векторов.
Определение 2. Скалярным произведением функций f(x) и g(x)
называется число, определяемое равенством
b
( f , g) f (x)g(x)dx . (1) a
Можно показать, что это произведение обладает всеми ал-
86
§1. Ряд Фурье по ортогональной системе функций.
гебраическими свойствами скалярного произведения векторов, кроме последнего свойства.
Вместо термина "модуль вектора" будем использовать понятие "норма функции" и будем употреблять для него обозначение || f || . Дадим формальное определение.
Определение 3. Нормой функции f(x) |
называется число, опре- |
|||
|
деляемое равенством |
|
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|| f || ( f , f ) . |
(2) |
||
|
|
|
|
|
При наличии в линейном пространстве скалярного произведения обычным образом определяется отношение ортогональности "векторов".
Определение 4. Функции f(x) и g(x) называются ортогональными на отрезке [a, b], если имеет место равенство
( f , g) 0 . |
(3) |
Рассмотрим теперь аналог базиса линейного пространства. Определение 5. Система функций
|
0 (x), 1 (x), 2 (x), ... , n (x), ... |
(4) |
|
называется ортогональной на отрезке [a, b], если |
|
||
1) |
( i , k ) 0 |
при i k ; |
|
2) |
0 || i || . |
|
о аналогии со степенными рядами вводятся ряды нового
вида.
Определение 6. Функциональный ряд вида
an n (x) , (5)
n 0
где an R, называется рядом по ортогональной системе функций { n(x)}.
Если ряд (5) сходится на отрезке [a, b] к некоторой функции f(x), то на этом отрезке выполняется равенство
87
Глава V. Ряды Фурье
f (x) an n (x) . (6) n 0
В таком случае будем говорить, что функция f(x) раскладыва-
ется на отрезке в ряд по ортогональной системе функций.
Теорема 1. Если функция раскладывается на отрезке в равномерно сходящийся ряд по ортогональной системе функций, то такое разложение единственно.
Доказательство. Пусть ряд (5) сходится на отрезке [a, b] равномерно к функции f(x). Тогда имеет место равенство (6). Умножим обе части этого равенства на функцию n ( x) :
f (x) n (x) am m (x) n (x) .
m 0
Так как функция n ( x) ограничена на отрезке [a, b], то
последний ряд сходится на [a, b] тоже равномерно. Проинтегрировав его почленно, получим:
|
|
|
|||
( f , n ) am ( m, n ) an ( n , n ) an || n ||2 . |
|||||
m 0 |
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|||
|
|
|
b |
|
|
|
( f , n ) |
|
|
f ( x) n ( x)dx |
|
an |
|
a |
|
. |
|
2 |
|
b |
|||
|
|| n || |
|
|||
|
|
|
|
n2 ( x)dx |
|
|
|
|
|
a |
|
Из данного равенства следует, что коэффициенты ряда (6) однозначно определяются функцией f(x). Поэтому разложение
(6) функции f(x) определяется единственным образом. ►
По аналогии с рядами Тейлора теперь вводятся ряды Фурье1.
1 Фурье Ж.Б.Ж. (1768 – 1830) - французский математик, физик.
88
§1. Ряд Фурье по ортогональной системе функций.
Определение 7. Функциональный ряд an n (x) , коэффициен-
n 0
ты которого определяются равенствами
a |
( f , n ) |
, |
(7) |
||
|
|||||
n |
|| |
n |
||2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
называется рядом Фурье функции f(x) по ортогональной системе функций { n(x)}, а его коэффициенты - коэффи-
циентами Фурье.
Существует большое число ортогональных систем функций, используемых в прикладных областях:
многочлены Лагерра, Лежандра, Чебышева, Эрмита, ортогональные системы тригонометрических функций, функций Бесселя, функций Радемахера, функций Уолша и так далее.
Рассмотрим одну из них, наиболее важную с прикладной точки зрения, основную тригонометрическую систему функций.
§2. Тригонометрический ряд Фурье
Будем предполагать, что отрезок [a, b] является симметричным относительно нуля: [a, b] = [ l, l].
Определение 1. |
Система функций |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
, cos |
x, sin x, ...,cosn |
x, sin n |
x, ... |
(1) |
||
|
|
||||||||
|
2 |
||||||||
|
|
l |
l |
l |
l |
|
|
||
|
называется основной тригонометрической системой. |
||||||||
|
|
T 2l . |
|
|
|
||||
Период всех функций: |
|
|
|
||||||
Замечание. При любом n N имеют место равенства |
|
||||||||
|
|
l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
cosn l |
xdx 0, |
sin n l |
xdx 0 . |
|
(2) |
||
|
l |
|
|
l |
|
|
|
||
Для доказательства равенств достаточно |
провести прямое |
вычисление интегралов.
Основное свойство системы функций (1) выражает следующее утверждение.
89