Lesn4_Rjady

Глава VII. Элементы операционного исчисления

t			pt		pt
				dt f ( ) (t )e		d dt .
( f )(t)	f ( ) (t )d e
0	0			D

Область интегрирования D в двойном интеграле						имеет
вид, указанный на рисунке. Изме-
ним порядок интегрирования (при					= t
условиях теоремы это можно сде-
						D
лать) и преобразуем интегралы:
( f )(t)
		f ( ) (t )e pt dt d	O	t		t
0

	f ( )	(t )e pt dt d
0				0
f ( )L[ (t )]d f ( )e pΦ(
0			0

F( p)Φ( p) .

f ( )	(t )e pt dt d
	0

p)d ( p) f ( )e p d

0

►

Следствие. Для любых оригиналов f(t), (t) имеем равенство

pF( p) ( p)		f f (0) (t) .	(12)
Доказательство. Используя линейность изображения,			диффе-
ренцирование оригинала и теорему Бореля, получаем:

pF( p)Φ( p) pF( p) f (0) Φ( p) f (0)Φ( p) f f (0) (t) .

Равенство (12) называется формулой Дюамеля . Ее можно записать так:

		t
pF( p) ( p)		f (0) (t) f ( ) (t )d .	(13)
		0

Дюамель (1797 1872), французский инженер.

140

§3. Свойства преобразования Лапласа.

Интеграл в равенстве (13) называется интегралом Дюамеля. Он используется, например, при расчете переходных процессов в электрических цепях.

Рассмотренные свойства оригиналов и изображений, как мы видели, можно использовать при нахождении изображений данных оригиналов. Займемся решением обратной задачи.

§4. Нахождение оригинала по его изображению

простейших случаях обратную задачу можно решать, как и прямую задачу, с помощью таблицы изображений и исследованных свойств изображений и оригиналов.

	Пример 1.
	Является ли функция	F ( p)	pe 2 p	изображением некоторого
			p2 1

оригинала? Если является, то найти соответствующий оригинал f(t).

Заметим, что функция F(p) получается умножением функции

	( p)	p			на показательную функцию e 2 p	. Функция Φ(p) являет-
		p2	1

ся табличным изображением: (p) (t) = ch(t) = ch(t) (t). Согласно теореме запаздывания функция F( p) e p ( p) является изображением и выполняется равенство F(p) f(t) = φ(t τ) = ch(t 2)η(t 2).

При введении оригинала f(t) мы указали условия, которым должна удовлетворять эта функция. Рассмотрим теперь условия, при которых функция F(p) может быть изображением некоторого оригинала и этот оригинал может быть найден.

Существует несколько достаточных условий. Ограничимся рассмотрением наиболее простых из этих условий.

спомним сначала (см. §1), что если F(p) изображение,

то lim	F ( p) 0 . При этом точка	p0 = является особой для
Re p
		141

Глава VII. Элементы операционного исчисления

функции F(p). Потребуем, чтобы функция F(p) удовлетворяла более сильному условию.

Теорема 1. (Первая теорема разложения).

Пусть p0 = изолированная особая точка функции

F(p) и существует предел lim F ( p) 0 . Тогда в окрест-

p

	ности точки p0 = функция F(p)					раскладывается в ряд
	Лорана вида
			an
	F ( p)					(1)
			p	n 1
	n 0
	и F(p) является изображением оригинала
	f (t)	an		t n .		(2)
		n !
	n 0

Доказательство. При условиях теоремы точка p0 = является устранимой особой точкой функции F(p), так как существует

конечный предел lim F ( p) 0 . Поэтому в некоторой проколо-

p

той окрестности точки p0 = функция раскладывается в ряд Лорана, который не содержит главной части. При этом, так как

lim F ( p) 0 , то постоянное слагаемое ряда равно 0. Следова-

p

тельно, ряд Лорана имеет вид (1).

Далее доказывается, что степенной ряд (2) является оригиналом и его можно изображать почленно:

an

n!

L[ f (t)] L

an

tn

L

tn

an

L t n

an

.

n !

n !

n 1

n !

n 0

n !

n 0

n 0

n 0

p

an

Следовательно,

f (t)

F ( p) .

►

p

n 1

n 0

Пример 2.

Является ли функция F ( p) sin 1p изображением? Если да, то

восстановить оригинал.

Функция F(p) аналитична в области D: 0 | p| . Поэтому точка

142

§4. Нахождение оригинала по его изображению.

p0 = является изолированной особой точкой функции F(p). Кроме

того, существует предел lim sin 1 0 . Согласно теореме 1 функция

p p

F(p) является изображением некоторого оригинала f(t).

Разложим F(p) в окрестности точки p = в ряд Лорана вида (1):

sin	1		1			1					1			...
	p							3					5
			p			3!p					5!p
Согласно равенству (2) имеем:
						t2				t4
f (t ) 1												... .
					3! 2!					5! 4!

ассмотрим еще один частный вид изображений. Обратим внимание на примеры изображений в предыдущих параграфах. В них все изображения являются рациональными дробями.

Прежде всего, заметим, что если рациональная дробь

	F ( p)	A( p)		является	изображением, то в	силу	равенства
		B( p)
	lim		F ( p) 0 дробь		является правильной.	Таким	образом,
	Re p

изображениями могут служить только правильные рациональные дроби.

Следующее утверждение показывает, что каждая такая дробь может служить изображением некоторого оригинала.

	Теорема 2. (Вторая теорема разложения).
	Любая правильная рациональная дробь
	F ( p)	A( p)		(3)
		B( p)

является изображением оригинала вида

n			e pt ,
f (t) Res		A( p)		(4)
		B( p)
k 1	pk

где p1, … , pn все полюсы функции F(p).

Доказательство. Во множестве комплексных чисел любой многочлен B(p) раскладывается в произведение множителей вида

( p )k , где k N. Поэтому любая правильная рациональная

143

Глава VII. Элементы операционного исчисления

дробь F ( p) A( p) представляется линейной комбинацией про-

B( p)

стейших дробей вида	1		, где	m N или m = 0. Соглас-
	( p )	m 1

но таблице изображений и свойствам линейности F(p) изображает оригинал f(t), являющийся линейной комбинацией функций вида e t tm .

Посмотрим на оригинал f(t) с другой точки зрения. Согласно теореме обращения оригинал f(t) можно представить интегралом Меллина:

		a i
f (t)	1	F ( p)e ptdp .
	2 i
		a i

Этот интеграл можно рассматривать как интеграл по бесконечному контуру, охватывающему все особые точки функции

F(p)ept. Они все исчерпываются особыми точками F ( p) A( p)

B( p)

так как второй множитель является аналитическим на всей комплексной плоскости C. Многочлен B(p) имеет во множестве C конечное число корней. Следовательно, функция F(p) имеет на плоскости конечное число изолированных особых точек.

Согласно теореме Коши о вычетах имеет место равенство (4), где pk – все изолированные особые точки F(p). Особые точки рациональной дроби F(p) могут быть только полюсами или устранимыми особыми точками. Для последних точек все вычеты равны нулю. Поэтому в формуле (4) остаются только вычеты

	во всех полюсах функции F(p).							►
	Следствие. Если правильная рациональная дробь
	F ( p)			A( p)
				B( p)
	имеет только простые полюсы pk						и A( pk ) 0 ,	то дробь
	является изображением оригинала
	n		A( p)
	f (t)			e pt			.	(5)
			B ( p)
	k 1				p pk

144

				§4. Нахождение оригинала по его изображению.
	Доказательство.			Равенство (5) вытекает из равенства (4) и фор-
	мулы Re s	(z)		(z0 )	вычисления вычета в простом полюсе.
		(z)		(z0 )
	z0
	В данном случае			( p) A( p)e pt , ( p) B( p) .

Пример 3.

Восстановить оригинал по изображению F( p) 2 . p3 p 2 p 1

В данном случае для правильной рациональной дроби имеем:

A( p) 2 0;

B( p) ( p 1)( p2

1) ( p 1)( p i)( p i) .

Дробь F(p)

имеет три полюса

p1 = 1,

p2 = i, p3 = i. Все они

простые.

Так

как

B ( p) 3p2 2 p 1 ,

то

согласно (5) получаем:

3

2e

p

k

t

eit

e it

= et eit (1 i) e it (1 i)

f (t)

et

=

3 pk

1 i

k 1

2 pk 1

1 i

2

2

t

eit e it

i(eit e it )

t

= e

=

e cost sin t .

2

2

Замечание. В случае рационального изображения оригинал можно найти иногда проще, если рациональную дробь разложить на простейшие дроби.

Пример 4.

Рассмотрим изображение предыдущего примера:

F( p) 2 .

p3 p2 p 1

Раскладывая дробь на элементарные дроби, получим:

F( p)	2				A				B				Cp					1				1					p		.
					p 1													p 1
	( p 1)( p	2	1)					p	2	1			p	2	1						p	2	1			p	2	1
Согласно таблице изображений имеем																	f (t ) et sin t cost .

Итак, мы рассмотрели решение двух задач: нахождение изображения данного оригинала и восстановление оригинала по данному изображению. Посмотрим теперь, как эти задачи можно использовать при решении прикладных задач.

145

Глава VII. Элементы операционного исчисления

Лекция 18

§5. Приложения операционного исчисления

1. Решение линейных дифференциальных уравнений

ассмотрим задачу Коши для линейного дифференциаль-

ного уравнения с постоянными коэффициентами

x(n) a x(n 1)

... a

x a x f (t)

(1)

1

n 1

n

и начальных условий:

x(0) c ,

x (0) c , ...

x(n 1) (0) c

.

(2)

0

1

n 1

Будем предполагать, функция

f(t)

является оригиналом.

Можно показать, что в этом случае искомое решение x(t)

и его

производные до порядка

n

являются оригиналами. Будем ис-

пользовать обозначения:

x(t) X ( p);

f (t) F( p) .

Учитывая свойство линейности изображения и теорему о

дифференцировании оригинала, получаем:

pn X ( p)

c pn 1

... c

p c

+

0

n 2

n 1

+ a pn 1X ( p)

a c pn 2 ... c

+

1

1

0

n 2

…

+ an 1 pX ( p)

an 1(c0 ) +

+

an X ( p)

F( p) .

Qn ( p)X ( p)

Rn 1( p)

F( p)

В данном равенстве через Qn(p) обозначен характеристический многочлен уравнения (1), а через Rn-1(p) некоторый многочленом степени n 1, определяемый начальными условиями задачи Коши. Таким образом, имеем равенство

Qn ( p)X ( p) Rn 1( p) F( p) .	(3)
Уравнение (3) называется изображающим	(оператор-

146

§5. Приложения операционного исчисления.

ным) уравнением дифференциального уравнения (1). Оно является линейным алгебраическим относительно неизвестного изображения X(p) и легко решается:

X ( p)	F ( p) Rn 1	( p)	.	(4)
	Qn ( p)

Восстановив по найденному изображению X(p) оригинал x(t), найдем единственное решение задачи Коши.

Согласно исследованиям получаем

алгоритм решения задачи Коши операционным методом.

1.Находим изображение левой части уравнения (1).

2.Находим изображение F(p) правой части уравнения.

3.Записываем операторное уравнение в виде (3).

4.Записываем решение X(p) операторного уравнения согласно равенству (4).

5.По изображению X(p) восстанавливаем оригинал x(t) – решение задачи Коши.

Отметим частный случай. Если начальные условия задачи Коши (1) (2) являются нулевыми, то есть

x(0) x (0) ... x(n 1) (0) 0 ,

то в равенстве (4) Rn-1(p) = 0. Пункты 1 и 3 алгоритма можно опустить и решение операторного уравнения принимает наиболее простой вид

X ( p)	F ( p)	.	(5)
	Qn ( p)

Пример 1.

Решим задачу Коши:

x x 1 , x(0) = 0.

В данной задаче Коши начальные условия являются нулевыми. 1. Находим изображение правой части уравнения: F ( p) 1p .

147

Глава VII. Элементы операционного исчисления

2. Характеристический многочлен уравнения Q(p) = p + 1. Согласно равенству (5) записываем изображение искомого решения

X ( p) 1 . p( p 1)

3. Разложим изображение на простейшие дроби:

X ( p) 1p p1 1 .

По таблице изображений получаем решение задачи Коши x(t) 1 e t .

Сделаем два замечания. Мы рассмотрели решение задачи Коши для случая, когда начальные условия заданы в точке t = 0. Это не всегда будет выполняться. Что можно будет сделать в таких случаях?

Замечание 1. Если начальные условия задачи Коши задаются не при t = 0, а при t = t0 0, то заменой = t t0 задача Коши

(1) (2) сводится к решению линейного уравнения с правой частью f( + t0) и с начальными условиями при = 0. Второе замечание касается упрощения задачи Коши.

Замечание 2. Задачу Коши (1) (2) всегда можно свести к задаче с нулевыми начальными условиями:

x(0) x (0) ... x(n 1) (0) 0 .

Для этого достаточно выполнить замену искомой функции x(t) на функцию y(t), определяемую равенством:

n 1		(k )	(0)
y(t) x(t)	x			t k .
k 0		k !

Вернемся к алгоритму решения задачи Коши операционным методом. В нем технически сложными могут быть только построение изображения F(p) оригинала f(t) и восстановление оригинала x(t) по его изображению X(p). Рассмотрим частные случаи, в которых эти вопросы решаются алгоритмически.

ешение задачи Коши, когда правая часть f(t) дифферен-

циального уравнения имеет рациональное изображение.

Если изображение F(p) является рациональной дробью

148

§5. Приложения операционного исчисления.

(правильной), то согласно равенству (4) изображение X(p) искомого решения x(t) будет тоже правильной рациональной дробью.

В этом случае решение задачи Коши оригинал x(t) можно найти, в соответствии со второй теоремой разложения, через вычеты, а можно по таблице изображений, разложив предварительно X(p) на элементарные дроби.

Пример 2.
Решим задачу Коши:
x 3x 2x 6e t ,	x(0) 2;	x (0) 0 .

В данной задаче начальные условия не являются нулевыми.

1.Изобразим левую часть уравнения:

x3x 2x

( p2 X p 2 0) 3( pX 2) 2X ( p2 3p 2)X 2 p 6 .

2.По таблице находим изображение правой части:

F ( p) p6 1 .

3. Записываем операторное уравнение

( p2 3p 2)X 2 p 6 p6 1 .

4. Находим изображение X(p) решения x(t) и упрощаем его:

	6		2 p 6		6 2 p2 2 p 6 p 6
X ( p)	p 1						2 p( p 2)		2 p	.
					( p 1)( p 2)( p 1)		( p2 1)( p 2)
	p2 3 p 2								p2 1

5. По таблице изображений находим, что x(t) = 2ch t.

Обратимся к другому частному случаю.

ешение задачи Коши, когда изображение F(p) правой ча-

сти f(t) дифференциального уравнения не является рациональ-

ным и его сложно найти. В этом случае задачу Коши можно ре-

шить с помощью свертки оригиналов.

Рассмотрим уравнение (1) с нулевыми начальными условиями. Как уже было отмечено, тогда изображение решения равно

X ( p) F ( p)	1	.
	Q ( p)
	n

Представим его в виде

149