Lesn4_Rjady

Глава I. Числовые ряды
димости ряда.
Теорема 2. (Необходимый признак сходимости).
Если ряд an			сходится, то общий член ряда an являет-
ся бесконечно малой при n , то есть
			lim a 0 .						(8)
			n		n
Доказательство. Пусть ряд					an сходится, то есть существует
конечный предел lim Sn . Представим							an в виде: an = Sn Sn 1.
	n
Тогда имеют место равенства:
lim a	lim (S		S		) lim S		lim S		S S 0 . ►
n n	n	n		n 1	n	n	n	n 1

Следствие. Если lim an 0 , то ряд an расходится.

n

Таким образом, необходимый признак можно использовать для доказательства расходимости ряда.

Пример 4.

Исследуем на сходимость ряд n(n 1) .

2n2 1

Так как an 12 0 при n , то ряд расходится.

Предостережение. Признак (8) не является достаточным для сходимости ряда.

Пример 5.

Рассмотрим вещественный ряд, называемый гармоническим:

1

1

1

13 ...

1

...

n

2

n

n 1

Для этого ряда lim a

lim

1

0 . А каков же предел

lim S

n

?

n

n

n n

n

Как

известно,

для

всякого

x 0 выполняется неравенство

x ln(1 x) . Положив

x

1

, получаем неравенства

1

ln 1

1

,

n N .

n

n

n

Используя

свойства

логарифма,

представим неравенства

в

виде

1

ln(n 1) ln n . Сложим почленно первые n неравенств:

n

10

§1. Комплексные числовые ряды …

1	1		1 ...	1	(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) (ln 4 ln3) ... (ln(n 1) ln n) .
2			3	n
Перепишем это неравенство в виде									Sn ln(n 1) . В полученном нера-
венстве перейдем к пределу: lim Sn									lim ln(n 1) . Следовательно,
								n	n
lim Sn и ряд						1	расходится.
						n
n					n 1
			Заметим, что сумма гармонического ряда возрастает очень мед-
ленно:			S1 1;		S1000 7,48;			S1000000 14,36 . Поэтому ряд занимает по-

граничное положение между сходящимися и расходящимися рядами.

ад рядами, как и над конечными суммами, можно выполнять различные операции. Рассмотрим сначала две линейные операции.

Определение 4. Суммой рядов an и bn		называется ряд
	an bn .
	Произведением ряда an на число c называется ряд
	can .
Имеют место следующие свойства линейных операций над
рядами.
Теорема 3. Сумма сходящихся рядов an		и bn является

сходящимся рядом. При этом выполняется равенство

an bn an bn .

(9)

Доказательство. Обозначим через Sn , n , n n-ые частичные суммы рядов соответственно an bn , an , bn . Для этих сумм выполняется равенство Sn n n .

По условию ряды an и		bn	сходятся, поэтому суще-
ствуют конечные пределы	lim n и		lim n . Но тогда, как из-
	n		n

вестно, существует конечный предел

11

Глава I. Числовые ряды

		lim Sn	lim n	lim n .
		n	n	n
Отсюда вытекают оба утверждения теоремы.					►
Теорема 4.		Для любого числа c 0		ряд can сходится тогда
	и только тогда, когда сходится ряд an . Если ряды схо-
	дятся, то выполняется равенство
		can c an .			(10)
Доказательство выполнить самостоятельно.
	зглянем теперь на		комплексный ряд an «изнутри».
Представим		слагаемые	ряда в	алгебраической	форме

an n i n . Запишем ряд n из вещественных частей слагаемых и ряд n из мнимых частей. Оба ряда являются вещественными.

Таким образом, имея комплексный ряд ( n i n ) , мо-

жем по нему построить два вещественных ряда. Обратно, имея два вещественных ряда, можем построить комплексный ряд.

	Как связана сходимость комплексного ряда			( n i n )
со сходимостью вещественных рядов n и n ?
Теорема 5. Комплексный ряд ( n i n )			сходится тогда и
	только	тогда, когда сходятся оба вещественных ряда
	n и	n . Если ряды сходятся,	то выполняется ра-
	венство
		( n i n ) n i n .		(11)
Доказательство. Обозначим через Sn , n ,			n n-ые частичные
суммы рядов соответственно ( n i n ) ,			n ,	n . Для

этих сумм выполняется равенство Sn n i n .

Согласно критерию сходимости комплексной последова-

тельности Sn n i n конечный предел	lim Sn существует
	n
12

§1. Комплексные числовые ряды …

тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

lim n и	lim n . При этом выполняется равенство
n	n
	lim Sn lim n i lim n .
	n	n	n
Отсюда вытекают оба утверждения теоремы.				►

Таким образом, вопрос о сходимости комплексного ряда сводится к вопросу о сходимости двух вещественных рядов. Исследованием сходимости вещественных рядов мы и займемся далее.

13

Глава I. Числовые ряды

Лекция 2

§2. Вещественные положительные ряды

В данном параграфе рассмотрим более простые по структуре вещественные числовые ряды an . Все слагаемые an

ряда являются положительными вещественными числами. Такие ряды называются кратко положительными рядами.

Рассмотрим сначала признаки сходимости положительного ряда, в основе которых лежит сравнение данного ряда с другим рядом. При этом для второго ряда вопрос о сходимости либо уже решен, либо может быть легко решен.

1. Признаки сравнения положительных рядов

режде всего, отметим, что последовательность частичных сумм {Sn} положительного ряда является возрастающей. Отсюда вытекает следующее свойство положительных рядов.

Замечание. Для всякого положительного ряда an предел

lim Sn существует (конечный или бесконечный).

n

Действительно, если последовательность {Sn} частичных сумм ограничена, то согласно теореме Вейерштрасса она схо-

дится, то есть существует конечный предел lim Sn . Если же она

n

неограниченна, то в силу ее монотонного возрастания существу-

ет предел lim Sn .

n

ервый признак сравнения вытекает непосредственно из приведенного замечания.

Теорема 1. (Первая теорема сравнения).

Пусть для положительных рядов an и bn начиная

14

§2. Вещественные положительные ряды

с некоторого номера n, выполняются неравенства
an bn .	(1)
Тогда сходимость "большего" ряда bn	влечет сходи-
мость "меньшего" ряда an , расходимость "меньшего"
ряда влечет расходимость "большего" ряда.

Доказательство. Согласно теореме 1 из §1 можем считать, что неравенства (1) выполняются для всех номеров n.

Обозначим через Sn и n соответственно частичные
суммы рядов	an и	bn . Согласно (1) для них выполняется
неравенство	Sn n .	Перейдем в этом неравенстве к пределу:

lim Sn lim n . В силу замечания оба предела существуют.

n

n

Если теперь ряд

bn сходится, то есть предел

lim n

n

конечен, то

конечен и

меньший

предел

lim Sn , то есть ряд

n

an

тоже сходится. Если же ряд an

расходится, то есть пре-

дел

lim Sn

бесконечен,

то бесконечен

и

больший

предел

n

lim n , то есть ряд bn

тоже расходится.

►

n

Пример 1. Исследуем на сходимость ряд

1

.

n

n

При n 2 выполняется неравенство

1

1

. Геометрическая

n n

2 n

прогрессия

1

сходится так как

q

1

1. Согласно теореме 1

n

2

2

тогда сходится и исследуемый ряд

1

.

n

n

Теорема 2.

(Вторая теорема сравнения).

Пусть для положительных рядов an и bn существует

конечный ненулевой предел

lim

an

c .

(2)

n bn

Тогда оба ряда сходятся или оба расходятся.

15

Глава I. Числовые ряды

Доказательство. Пусть существует конечный ненулевой предел

	(2). Так как	an	0 , то по теореме о предельном переходе в не-
		b
		n

равенстве выполняется неравенство c 0 . Возьмем произволь-

ное число , удовлетворяющее условию									0 c .
Согласно определению предела (2), начиная с некоторого
номера, выполняется неравенство							an	c		. Преобразуем его:
							b
							n
		an		c ;
		b
			n
	c		an		c ;
			b
			n
(c )bn an (c )bn .											(*)
Если ряд bn	сходится, то по теореме 4 из §1 сходится
положительный ряд	(с )bn .					Из неравенств					an (c )bn

(см. (*)) согласно теореме 1 следует сходимость ряда an .

Если же ряд bn расходится, то расходится и положи-

тельный ряд (с )bn . Из неравенств (c )bn an	согласно
теореме 1 следует расходимость ряда an .	►

Заметим, что если общий член положительного ряда an

не является бесконечно малым при n , то согласно необходимому признаку ряд расходится. Следовательно, остается рассмотреть вопрос о сходимости только тех положительных рядов, общие члены которых являются бесконечно малыми при n . Для таких рядов согласно теореме 2 справедливо

Следствие. Если в положительном ряду бесконечно малый общий член заменить на эквивалентный, то сходимость ряда не изменится.

Действительно, если в положительном ряду an общий член an является бесконечно малым, эквивалентным bn , то вы-

полняется равенство lim an 1 . Согласно теореме 2 ряд bn

n bn

16

§2. Вещественные положительные ряды

ведет себя по сходимости так же, как и ряд an .

Пример 2.

Исследуем на сходимость ряд sin n2 .

2

2

2

2

Так как

sin

,

то ряды sin

и

оба сходятся или оба

n

n

n

n

расходятся. Но ряд

2

расходится, так как расходится гармониче-

n

ский ряд

1

. Следовательно, расходится и ряд sin

2

.

n

n

2.Признаки сходимости положительных рядов

Воснове признаков сходимости положительных рядов лежит сравнение исследуемого ряда с эталонным рядом aqn 1 .

Рассмотрим сначала вспомогательное утверждение.

Лемма 1. Пусть для положительного ряда an существует такое число q R, что, начиная с некоторого номера, вы-

	полняются неравенства	an 1
		an

q 1. Тогда ряд

an

сходится. Если же, начиная с некоторого номера, выпол-

няются неравенства an 1

an

1 , то ряд расходится (по необ-

ходимому признаку).

Доказательство. В силу теоремы 1 предыдущего параграфа можно считать, что неравенства в условиях леммы выполняются для всех номеров.

	Пусть выполнено первое условие леммы:								an 1	q 1. То-
									an
	гда для всех натуральных чисел					k имеем:		ak 1 ak		q . Отсюда
	следует: a	a	q a	q2		a qn 1 ,		то есть		a	a qn 1 .
	n	n 1	n 2			1				n	1
	Эти неравенства		говорят	о	том, что		ряд	an меньше ряда
	a1 qn 1 .	Ряд	a1 qn 1		является		бесконечной			убывающей

17

Глава I. Числовые ряды

прогрессией, поэтому сходится. По первому признаку сравнения тогда сходится и меньший ряд an .

Пусть теперь выполнено второе условие леммы: an 1 1 .

an

Тогда для всех натуральных чисел n имеем: an 1 an . Это означает, что последовательность {an } является возрастающей. Ее

предел lim an существует и, так как an a1 ,						удовлетворяет усло-
	n
вию lim an		lim a1 a1 0 . Следовательно,				lim an 0 . Согласно
n		n				n
необходимому признаку ряд				an расходится. Лемма 1 доказа-
на.							►
Теорема 3. (Признак Даламбера ).
	Пусть для положительного ряда an					существует предел
			lim	an 1	d .		(3)
			n	an
	Тогда при		d 1 ряд сходится, а при d 1				расходится
	(по необходимому признаку).						an суще-
Доказательство.			Пусть для положительного ряда

ствует предел (3). По определению предела имеем: для любого числа 0 , начиная с некоторого номера, выполняется неравен-

ство					an 1	d	. Оно равносильно двойному неравенству
					an
							d	an 1	d .	(*)
								an
					Если теперь d 1 , то возьмем такое , чтобы выполнялось
неравенство d 1. Тогда согласно (*)										имеем неравенство
	an 1		d 1 . Положив в нем q d , получим первое усло-
	an

вие леммы 1. Следовательно, ряд an сходится.

Если же d 1 , то возьмем такое , чтобы выполнялось не-

 Даламбер, Жан Лерон (1717 – 1783), французский математик и физик.

18

§2. Вещественные положительные ряды

равенство

d 1 . Тогда

согласно

(*)

имеем

неравенство

an 1

d 1. Поэтому

an 1

1 . По второму условию леммы 1

an

an

ряд an

расходится по необходимому признаку.

►

Пример 3.

Исследуем на сходимость ряд

xn

, где

x R и x 0 .

n!

Применим признак Даламбера:

a

xn 1 n!

x

d lim

n 1

lim

= lim

0

1.

n an

n (n 1)! xn

n n 1

Следовательно, ряд xnn! сходится.

Рассмотрим еще одно вспомогательное утверждение.

Лемма 2. Пусть для положительного ряда an существует такое число q R, что, начиная с некоторого номера, вы-

			an
полняются неравенства n an q 1. Тогда ряд

сходится. Если же, начиная с некоторого номера, выполняются неравенства nan 1 , то ряд расходится (по необ-

ходимому признаку).

Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 1. В силу теоремы 1 предыдущего параграфа можно считать, что неравенства в условиях леммы выполняются для всех номеров.

Пусть выполнено первое условие леммы: nan q 1 . Тогда для всех натуральных чисел n имеем: an qn . Запишем не-

равенства так:	an q qn 1 . Они говорят		о том, что ряд an
меньше ряда	q qn 1 . Ряд	q qn 1	является бесконечной

убывающей прогрессией, поэтому сходится. По первому признаку сравнения тогда сходится и меньший ряд an .

Пусть теперь выполнено второе условие леммы: nan 1 . Тогда для всех натуральных чисел n имеем: an 1n 1. Если

19