Lesn4_Rjady

Глава VI. Интегралы Фурье

Таким образом, верно равенство

	S( ) S( ) .				(4)
Из равенств (2) - (4) вытекают такие свойства спектра S( ).
	1
1. Число S(0)		f (x)dx вещественно и пропорцио-

2

нально "площади" сигнала f(x).

2. Амплитудный спектр является четным, так как

| S( ) | | S( ) | | S( ) | .

3. Фазовый спектр является нечетным, так как argS( ) argS( ) arg S( ) .

4. Амплитудный спектр интеграла Фурье в комплексной форме в 2 раза меньше, чем в вещественной. Действительно,

| S( ) | 12 | a( ) ib( ) | 12 A( ) .

5. а) Пусть функция f(x) четна. Тогда b( ) 0 и согласно равенству (3) получаем равенство

S( ) 12 a( ) .

Оно означает, что спектр S( ) является вещественным (и четным). Таким образом, если сигнал является четным, то спектр является вещественным (и четным).

Обратно, пусть спектр S( ) является вещественным. Из равенства (3) тогда вытекает равенство b( ) 0 . В этом случае

имеем: f (x) a( ) cos xd . Следовательно, сигнал f(x) явля-

0

ется четным.

Итак, сигнал f(x) является четным тогда и только тогда,

когда спектр S( ) является вещественным (и четным).

б) Пусть теперь функция f(x) нечетна. Тогда a( ) 0 и согласно равенству (3) получаем

120

§4. Спектральный анализ непериодического сигнала.

S( ) 12 b( )i .

Оно означает, что спектр S( ) является мнимым (и нечетным). Таким образом, если сигнал является нечетным, то спектр

является мнимым (и нечетным). Справедливо и обратное утверждение.

Пример.

Выполним спектральный анализ сигнала

0,				x 0;
f ( x)	E	,		x 0;
	2
			x ,
Ee				x 0.

(Параметры 0, E 0 характеризуют структуру сигнала).

Построим		гра-				y
фик функции.
Проверим		до-				E
статочные	условия
представления		функ-				.
ции f(x) интегралом						2
Фурье.
1. Очевидно, на					0			x
каждом	конечном
промежутке функция кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна.
2. Рассмотрим интеграл			|	f (x) | dx E e xdx .
					0
Он сходится, так как сходится ряд					e n (убывающая геометриче-

n 0

ская прогрессия). Таким образом, функция f(x) абсолютно интегрируема на R , и ее можно представить интегралом Фурье.

Найдем сначала согласно (2) спектральную плотность функции:

S( ) 2			f (x)e i xdx 2 e xe i xdx			2 e ( i )xdx =
	1			E		E
			0			0

121

Глава VI. Интегралы Фурье

=

E e ( i ) x

E

0

1

E

.

2 ( i )

0

2

i

2 ( i )

Итак, S( )

E

.

2 ( i )

Представим теперь функцию f(x) интегралом Фурье (см. (1)):

f (x) 2
		i ei x d .
	E	1

Найдем амплитудную и фазовую частотные характеристики сиг-

нала.

АЧХ:

| S( ) |	E			E
						.
	2 | i |		2
				2 2
График	функ-
ции изображен на ри-							y
сунке.
Функция	|S( )| ,

2

как всякий амплитудный спектр, четна.

ФЧХ:

( ) arg S( ) arg 2E

Итак,

( ) arctg .

График функции представлен на рисунке.

Функция ( ) , как любой фазовый спектр, нечетна.

			0
1	arg	1			arg( i ) arctg .
i		i
				y
				2
				0

−2

Перейдем к рассмотрению еще одного свойства интегрального представления функции.

122

§5. Преобразование Фурье

§5. Преобразование Фурье

1. Понятие об интегральном преобразовании

Рассмотрим представление функции f(x) интегралом Фурье в комплексной форме (см. равенства (2) и (1) §4):

S( ) 1 f (x)e i xdx . (1)

2

f (x) S( )ei xd . (2)

Из этих равенств следует, что, зная одну из функций f(x) или S( ), можно найти другую функцию. Функция f(x) используется для временнóго описания сигнала, а функция S( ) - для частотного. В зависимости от ситуации всегда можно перейти от одного языка описания сигнала к другому языку.

Определение 1. Переход от функции f(x) к функции S( ) согласно равенству (1) называется прямым преобразованием Фурье (ППФ). Обратный переход - от функции S( ) к функции f(x) согласно равенству (2) - называется об-

ратным преобразованием Фурье (ОПФ).

В прикладных областях при исследовании физических процессов часто используется аналогичный прием.

Пусть физический процесс описывается функцией f(x). С помощью некоторого преобразования с функцией f(x) связывают другую функцию F(u). В некоторых случаях оказывается, что исследование физического процесса с помощью функции F(u) можно проводить более просто. При этом любое свойство, сформулированное на языке функции F(u), можно сформулировать и на языке функции f(x).

Переход от функции f(x) к функции F(u) называется преобразованием функции f(x). Этот же термин используется и для названия функции F(u) (хотя логически это не совсем коррект-

123

Глава VI. Интегралы Фурье

но).

На практике часто применяют интегральные преобразования, в которых используются вспомогательные функции, называемые ядром преобразования. Введем соответствующие понятия.

Определение 2. Пусть K(x, u) – некоторая функция двух аргументов. Для всякой функции f(x), заданной на промежутке (a; b), интеграл F(u) от параметра u, определяемый равенством

b
F (u) f (x)K (x,u)dx ,	(3)
a

называется интегральным преобразованием функции f(x).

Функция K(x, u) называется ядром интегрального преобразования.

Как правило, интегральные преобразования классифицируются по виду ядра K(x, u).

Мы уже познакомились с преобразованием Фурье. Согласно равенству (1) оно является интегральным. Его ядро имеет вид

K(x, ) 21 e i x ,

где x, - вещественные переменные.

Позже мы рассмотрим преобразование Лапласа. Его ядро

K(x, p) e px ,

где x – вещественная, а p комплексная переменные.

Если не принимать во внимание коэффициент 21 , то мож-

но считать, что ядро преобразования Фурье является частным случаем ядра преобразования Лапласа, а именно, когда число p является чисто мнимым p = i . Поэтому основные свойства преобразования Фурье вытекают из соответствующих свойств преобразования Лапласа. Последние мы рассмотрим позже достаточно подробно.

124

§5. Преобразование Фурье

2. Косинус- и синус-преобразования Фурье

Пусть функция f(x) определена на промежутке [0; ) .

Представим ее интегралом Фурье в вещественной форме. Рассмотрим два случая.

оопределим функцию f (x) четным образом на промежуток ( ; ) . Получим четную функцию f (x) . Для нее выполняются равенства

a( )	2		f (x) cos xdx ;	b( ) 0 .	(*)
			0
	f (x) a( ) cos xd ;				(**)
			0

Учтем, что для спектра выполняется равенство

S( ) 12 a( ) ib( ) .

Отсюда, так как b( ) 0 , следует равенство													a( ) 2S( ) . То-
гда равенства (*) и (**) можно переписать так:
1				f (x) cos xdx ,								f (x) 2 S( ) cos xd .
		S( )
0												0
Для спектра введем обозначение												S( ) Sc ( ) . Коэффициенты
	1	и 2 распределим равномерно между функциями f (x)												и S( ) .
Тогда функции примут вид:
				Sc ( )			2				f (x) cos xdx ;			(4)
							0
				f (x)		2			Sc ( ) cos xd .					(5)
							0

Функция Sc ( ) называется прямым косинус-преобразова-

нием Фурье функции f (x), а функция f (x) - обратным косинус-

преобразованием Фурье.

125

Глава VI. Интегралы Фурье

оопределим функцию f (x) на промежуток ( ; )

нечетным образом. Тогда аналогично равенствам (4) и (5) получим равенства:

Ss ( )				2				f (x)sin xdx ;	(6)
								0
f (x)		2				Ss ( )sin xd .			(7)
				0

Функция Ss ( ) называется прямым синус-преобразовани- ем Фурье функции f (x), а функция f (x) - обратным синус-преоб- разованием Фурье.

Можно показать, что косинус- и синус-преобразования

Фурье обладают свойствами, аналогичными свойствам преобразования Фурье.

126

§1. Понятие оригинала и изображения

Лекция 16

Глава VII.

Элементы операционного исчисления

В данной главе рассматривается аппарат, называемый операционным исчислением, применяемый для решения дифференциальных уравнений, уравнений математической физики и др.

Зарождение операционного исчисления связано с работами английского инженера Хевисайда . Сам по себе этот факт говорит о том, насколько прикладной характер имеет данная теория.

В основе операционного исчисления лежит интегральное преобразование Лапласа. Оно является, в некотором смысле, обобщением преобразования Фурье. С рассмотрения этого преобразования Лапласа мы и начнем знакомство с операционным исчислением.

§1. Понятия оригинала и изображения

данном параграфе, как и далее, будем рассматривать комплекснозначные функции f : R C вещественной переменной t. Будем исследовать только те функции, которые удовлетворяют следующему условию.

Определение 1. Говорят, что функция f(t) имеет конечный показатель роста s, если выполняется условие:

s R M R t 0

| | f (t) | Mest .

(*)

Условие (*) означает, что на каждом конечном отрезке функция f(t) ограничена по модулю, а при t ее модуль

растет не быстрее, чем показательная функция est с некоторым кратным показателем st.

Хевисайд, О (1850 1925), английский инженер.

127

Глава VII. Элементы операционного исчисления

Пример 1.

y = e st

Рассмотрим функцию

f(t) = t

n

,

y

где n N {0}.

y = | f(t) |

Сравним ее с функцией est, где

1

s R +.

Возьмем

отношение

(t)

t n

. Исследуя функцию с по-

O

t

est

мощью производной, можно показать,

что она принимает в точке

t

n

наибольшее значение. Обозначим

s

его через

M. Тогда для всякого

t R +

выполняется неравенство

t n

M и, следовательно,

| f (t) | tn M est .

est

Таким образом, любое число s R + является показателем роста функции f(t) = t n.

Пример 2.
Рассмотрим функцию f(t) = tg t.
На конечном промежутке [0;		) функция не ограничена.
	2

Поэтому она не имеет конечного показателя роста. В таких случаях говорят, что функция имеет бесконечный показатель роста.

ассмотрим теперь основное понятие.

Определение 2. Функция f (t): R C называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям:

1)f(t) = 0 для всякого t < 0;

2)функция кусочно-непрерывна на любом конечном промежутке;

3)функция f(t) имеет конечный показатель роста s.

Пример 3.

Рассмотрим функцию

1,	t 0;
(t)	t 0.
0,

Она называется функцией Хевисайда.

y

1

O

t

128

§1. Понятие оригинала и изображения

Условия 1) и 2) из определения оригинала выполнены. Так как 1 = t0, то функция (t) имеет конечный показатель роста и, следовательно, является оригиналом.

Пример 4.

Рассмотрим функцию f(t) = tn.

Как уже было показано, функция имеет конечный показатель роста. Она непрерывна на любом конечном промежутке. Следовательно, обладает свойствами 2) и 3) оригинала. Однако она не обладает свойством 1) оригинала.

Замечание. Если функция f(t) обладает свойствами 2), 3) оригинала, то функция f(t) (t) является оригиналом.

В дальнейшем, для краткости записей, такие оригиналы будем обозначать через f(t). Например, будем кратко писать "оригинал tn " вместо "оригинал tn (t) ".

понятием оригинала тесно связано следующее понятие.

Определение 3. Пусть		f(t) оригинал. Тогда функция F(p)
	комплексной переменной p, определяемая равенством
		F ( p) f (t)e ptdt ,	(1)
		0
	называется изображением оригинала f(t).
	Переход от оригинала f(t) к изображению F(p)		по фор-
	муле (1) называется прямым преобразованием Лапласа.
Обозначения:
	F(p) f(t);	f(t) F(p) ; L[f(t)] = F(p).

Замечание. Для оригинала f(t) прямое преобразование Фурье есть частный случай прямого преобразования Лапласа.

Действительно, положив	в (1) p = i ,	получим прямое
	f (t)e i t dt S( ) функции f(t).
преобразование Фурье F ( p)
Рассмотрим, для каких оригиналов f(t)		определено и ка-
кими свойствами обладает изображение F(p).
		129