Lesn4_Rjady

Глава VI. Интегралы Фурье

Лекция 14

Глава VI.

Интегралы Фурье

§1. Интегралы, зависящие от параметра

1. Определенные интегралы, зависящие от параметра

Рассмотрим функцию f(x,

нике D = [a; b] [c; d].

Пусть при любом фик-

сированном	значении
t [c; d] функция	f(x, t)

интегрируема по x на отрезке [a; b]. Тогда на отрезке [c; d] определена функция

t), определенную в прямоуголь-

y d t

с

0

a

b

x

b

I (t) f (x,t)dx . (1) a

Определение 1. Интеграл вида (1) называется интегралом, зави-

сящим от параметра t.

Функция I(t) определена через функцию f(x, t). Поэтому она наследует часть свойств функции f(x, t). Рассмотрим, в каких случаях I(t) обладает свойствами непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости.

Теорема 1. Если функция f(x,		t)	непрерывна в области
	D = [a; b] [c; d], то функция	I(t)	непрерывна на отрезке
	[c; d].
Доказательство опустим.

110

§1. Интегралы, зависящие от параметра.

Теорема 2. Если функция f(x,	t)	непрерывна в области
D = [a; b] [c; d], то функция	I(t)	интегрируема на отрезке
[c; d] и выполняется равенство

d	d b		b d
	I (t)dt	f (x,t)dx dt
c	c a		a c

f (x,t)dt dx . (2)

Доказательство. Функция f(x, t) непрерывна в области D = [a; b] [c; d], которая является простой как по вертикали, так и по горизонтали. Тогда согласно вычислительным формулам для двойного интеграла получаем:

d	d b			b d
I (t)dt		f (x,t)dx dt f (x,t)dxdt f (x,t)dt dx . ►
c	c a		D	a c
Теорема 3. Пусть функция			f(x, t)	и ее частная производная
	ft (x, t)	непрерывны в области D = [a; b] [c; d]. Тогда

функция I(t) дифференцируема на отрезке [c; d] и имеет место равенство

		b		b
I (t)	d		f (x, t)dx			f (x, t)dx .	(3)
					t
	dt
		a		a

Равенство (3) называется формулой Лейбница.

Доказательство опустим.

2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Предлагается расмотреть самостоятельно.

111

Глава VI. Интегралы Фурье

§2. Интеграл Фурье

Рядом Фурье можно представить, при выполнении соответствующих условий, функцию, определенную на конечном промежутке или периодическую функцию, определенную на бесконечном промежутке. Непериодическую функцию, определенную на бесконечном промежутке, так представить невозможно. Для таких функций можно получить аналог ряда Фурье - интеграл Фурье. Рассмотрим, как это делается.

усть непериодическая функция f(x) определена на множестве R и на каждом конечном отрезке [ l; l] раскладывается в ряд Фурье. Запишем его в комплексной форме:

			f (x)				сnei n x .
					n
	В этом равенстве		n n , коэффициенты cn определя-
						l
	ются интегралами
		1	l			i n x
	cn	2l	f (x)e					dx,	n Z .
			l
	Заменим в интегралах переменную интегрирования x на t
	и подставим коэффициенты cn				в ряд Фурье:
						l
	f (x)				1		f (t)e i nt dt ei n x .
			n		2l
						l

На промежутке

( ; + )

определим интеграл по . Разо-

бьем промежуток на малые отрезки точками

n

n . Тогда

l

n 1

и

1

1

1

n

. Перепишем ряд так:

n

n

l

2l 2

l

2

f (x) 1

2 n

l		i n (x t)
	f (t)e		dt		n .	(*)
l

Рассмотрим интеграл из правой части равенства. Перейдя в нем к пределу при l , получим несобственный интеграл пер-

112

	§2. Интеграл Фурье.
	f (t)ei ( x t )dt (x, ) , зависящий от параметров x
вого рода

и . Если он сходится, то ряд в правой части равенства (*) можно рассматривать как интегральную сумму функции (x, ) по переменной на промежутке ( ; + ). Перейдем в этой сумме к пределу при l (тем самым, при d 0). Если предел существует и конечен, то он дает двойной интеграл от параметра x:

	I (x)	1			f (t)ei ( x t )dt d .	(1)
		2

Интеграл определяется функцией f(x), он называется двой-

ным интегралом Фурье функции f(x) в комплексной форме.

результате предельных переходов мы могли "потерять" равенство f(x) = … В каких случаях это равенство сохраняется? Оказывается, здесь имеет место аналогия с рядом Фурье. Введем предварительно вспомогательное понятие.

Определение 1. Функция f(x) называется абсолютно интегрируемой на множестве R, если сходится (в смысле главного значения) несобственный интеграл первого рода:

			a
|	f (x) | dx	lim		| f (x) | dx .	(2)
		a a

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:

1)функция абсолютно интегрируема на R;

2)на каждом конечном промежутке [ l; l] функция ку-

сочно-непрерывна и кусочно монотонна.

Тогда двойной интеграл Фурье (1) функции f(x) сходится на всей числовой оси R. При этом в каждой точке x непрерывности функции имеет место равенство

	f (x) I (x)	1			f (t)ei ( x t )dt d ;	(3)
		2

а в каждой точке x0 разрыва f(x) выполняется равенство

113

Глава VI. Интегралы Фурье

I (x0 ) 12 f (x0 0) f (x0 0) .

Доказательство опустим.

Равенство (3) называется представлением функции f(x) двойным интегралом Фурье в комплексной форме.

аряду с комплексной формой двойного интеграла Фурье будем рассматривать вещественную форму.

Рассмотрим интеграл Фурье (3). Запишем подынтеграль-

ную

показательную

функцию

по

формуле

Эйлера

ei cos i sin и разобьем внутренний интеграл на два:

f (t)ei ( x t )dt

f (t)[cos (x t) i sin (x t)]dt

=

=

f (t)cos (x t)dt i

f (t)sin (x t)dt = I1( ) i I2 ( ) .

Функции I1( )

и I2( )

определены на симметричном

промежутке ( ; + )

и являются, соответственно, четной и не-

четной функциями.

Представим функцию f(x)

согласно равенству (3) так:

1

i

f (x)

I1( )d

I2 ( )d .

2

2

Второй интеграл равен 0, а первый можно записать немно-

го проще. В результате получим равенство

f (x)

1

f (t) cos (x t)dt

d .

(4)

0

Интеграл (4) называется двойным интегралом Фурье в

вещественной форме.

Равенства (3) и (4) дают представление функции двойным интегралом Фурье. Перейдем к простому интегралу Фурье.

114

§3. Различные формы записи интеграла Фурье.

§3. Различные формы записи интеграла Фурье

1. Интеграл Фурье в вещественной форме

Пусть функция f(x) определена на множестве R и представлена двойным интегралом Фурье в вещественной форме

	f (x)	1		f (t) cos (x t)dt d .
			0

Косинус под знаком интеграла запишем как косинус раз-

ности углов: cos ( x t) = cos x cos t + sin x sin t.

Используя свойство линейности, преобразуем внутренний интеграл:

1

f (t)cos (x t)dt				1			f (t)(cos x cos t sin x sin t)dt
1
								1
=			f (t)cos tdt cos x							f (t)sin tdt sin x .

Введем обозначения для интегралов, заменив t на x:

a( )	1		f (x) cos xdx ;	b( )	1		f (x)sin xdx . (1)

Функции a( ), b( ) переменной определены на R. Первая из них является четной, а вторая - нечетной функцией.

С учетом этих преобразований представление функции f(x) интегралом Фурье можно переписать в виде:

	a( ) cos x b( ) sin x d .
f ( x)		(2)
0

Интеграл (2) называется (простым) интегралом Фурье в вещественной форме функции f(x). Он является аналогом ряда Фурье в вещественной форме.

115

Глава VI. Интегралы Фурье

Рассмотрим следующие два частных случая.

1. Функция f(x) определена на R и четна. Тогда в первом из интегралов (1) подынтегральная функция четна, а во втором - нечетна. Поэтому равенства (1) и (2) принимают вид

a( )	2		f (x) cos xdx ;	b( ) 0 ;	(1')
			0
	f (x) a( ) cos xd .				(2')
			0

2. Функция f(x) нечетна на R. Тогда аналогично предыдущему получаем равенства:

a( ) 0 ;	b( )	2	f (x)sin xdx ;	(1'')
			0
f (x) b( ) sin xd .				(2'')
	0

Перейдем к рассмотрению другой формы интеграла Фурье.

2. Интеграл Фурье в форме гармоник

Рассмотрим снова равенство (2). По аналогии с рядом Фурье введем обозначения:

			, cos ( )	a( )	, sin ( )	b( )
	A( )	a2 ( ) b2 ( )					. (3)
				A( )		A( )

Тогда подынтегральное выражение a( )cos x + b( )sin x в (2) можно представить в виде гармоники A( )cos( x ( )). Равенство (2) теперь можно переписать так:

f (x) A( ) cos x ( ) d .	(4)
0

Мы получили интеграл Фурье в форме гармоник.

Функция f(x) представлена интегралом Фурье от гармо-

ник с непрерывным спектром частот . Кроме спектра частот имеем спектр амплитуд A( ) и спектр начальных фаз ( ).

116

ei xe i t и первый множитель не

§3. Различные формы записи интеграла Фурье.

Согласно равенству (4) представление функции интегралом Фурье равносильно определению спектров A( ) и ( ). Поэтому равенство (4) называют спектральным анализом функции f(x).

Мы рассмотрели вещественные формы интеграла Фурье. Исследуем аналогичные вопросы в случае комплексной формы интеграла Фурье.

3. Интеграл Фурье в комплексной форме

братимся к представлению функции f(x) двойным интегралом Фурье в комплексной форме

	f (x)	1			f (t)ei ( x t )dt d .
		2

Учитывая, что ei (x t ) зависит от t, перепишем равенство:

	f (x)	1		f (t)e i t dt ei xd .
		2

Внутренний интеграл является интегралом от параметра - некоторой функцией S( ). Заменив в нем t на x, запишем:

S( ) 1 f (x)e i xdx . (5)

2

Используя функцию S( ), получаем равенство для f(x):

f (x) S( )ei xd . (6)

Интеграл (6) называется интегралом Фурье в комплексной форме функции f(x).

117

Глава VI. Интегралы Фурье

Согласно равенству (6) представление функции f(x) интегралом Фурье равносильно заданию функции S( ). Она называ-

ется спектральной плотностью функции f(x) или просто спек-

тром.

аметим, что представления функции интегралом Фурье в вещественной форме (2) и в комплексной форме (6) задаются функциями a( ), b( ) и S( ). Поэтому функция S( ) тесно связана с функциями a( ), b( ).

Действительно, преобразуем показательную функцию в

равенстве (5)

по формуле Эйлера e i x cos x i sin x . За-

пишем равенство (5) в виде:

S( )

1

1

f (x) cos xdx i

1

f (x) sin xdx .

2

Учитывая равенства (1)

1

f (x) cos xdx ;

1

f (x)sin xdx ,

a( )

b( )

получаем равенство

S( )

1

a( ) ib( ) .

(7)

2

Отметим в заключение параграфа следующее.

Замечание. В

радиотехнике коэффициент

1

функции S( )

2

относят к функции f(x) (к интегралу (6)).

Используя спектральную плотность S( ), попытаемся выполнить спектральный анализ функции f(x).

118

§4. Спектральный анализ непериодического сигнала.

Лекция 15

§4. Спектральный анализ непериодического сигнала

усть функция f(x) определена на R и не является периодической. Будем называть ее сигналом, переменную x будем рассматривать как время. Представим сигнал f(x) интегралом Фурье в комплексной форме:

f (x) S( )ei xd . (1)

Функция S( ) в равенстве (1) - это спектральная плотность (спектр) сигнала:

S( ) 1 f (x)e i xdx . (2)

2

По аналогии с коэффициентами cn ряда Фурье в комплексной форме функция S( ) определяет 2 основные частотные характеристики сигнала:

| S( ) | - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) - амплитудный спектр;

( ) = argS( ) - фазово-частотная характеристика

(ФЧХ) - фазовый спектр.

Нахождение для функции f(x) спектральной плотности S( ) и частотных характеристик также называют спектральным анализом сигнала f(x).

ассмотрим простейшие свойства спектра			S( ), учитывая
равенство
S( )	1	a( ) ib( ) .	(3)
2

Так как функции a( ) и b( ) вещественные, то функция S( ) комплекснозначная. Как уже отмечалось, функция a( ) четна, а b( ) нечетна. Учитывая это, можем записать:

S( ) 12 a( ) ib( ) 12 a( ) ib( ) S( ) .

119