Lesn4_Rjady

Глава IV. Ряды Лорана

Доказательство.

Пусть точка z0

является полюсом порядка

m

функции

f(z). Тогда по теореме 3

для некоторой функции

(z), аналитической

в точке

z0,

выполняется

условие (3):

f (z)

1

(z) ,

(z0) 0.

(z z

0

)m

Разложим (z)

в окрестности точки

z0 в ряд Тейлора

(z) cn (z z0 )n . Тогда c0 =

(z0) 0 и

n 0

1

1

f (z)

(z) =

cn (z z0 )n =

(z z0 )

m

( z z0 )

m

n 0

c0

c1

...

cm 1

c

c

(z z

) c

(z z )2 ...

( z z )m

( z z )m 1

z z0

m

m 1

0

m 2

0

0

0

c0

c1

cm 1

...

c

(z z0 )n .

(z z )m

( z z )m 1

z z0

n m

0

0

n 0

Функция f(z)

разложена в проколотой окрестности точки

z0

в ряд Лорана вида (4).

Для доказательства этой импликации достаточно прове-

сти предыдущие рассуждения, с соответствующими поправками,

в обратном порядке.	►
4. Существенно особая точка функции

Для характеризации существенно особых точек достаточно заметить только, что особая точка функции является существенно особой тогда и только тогда, когда она не является устранимой и полюсом.

Теорема 5. Особая точка z0 функции f(z) является существенно особой тогда и только тогда, когда в некоторой проколотой окрестности этой точки функция раскладывается в ряд Лорана, главная часть которого содержит бесконечное число слагаемых.

Доказательство вытекает непосредственно из теорем 1 и 4.

70

§3. Особые точки функции

Пример 4.

1

Рассмотрим функцию f (z) e z .

Очевидно, функция имеет изолированную особую точку z0 = 0. Разложим функцию в ряд Лорана в проколотой окрестности этой точки.

Для этого в стандартном разложении функции													ez		в ряд Маклорена за-
меним переменную z на обратную величину 1z :
1
e z 1 1	1		1			1		1		...	1		1		...
	2!										n!
z			z	2	3!			z	3				z	n

Ряд Лорана имеет бесконечное число слагаемых в главной части. Следовательно, z0 = 0 является существенно особой точкой функции.

1

Отсюда, в частности, следует, что предел lim e z не существует!

z 0

Смысл термина "существенно особая точка", в какой-то степени, раскрывает следующее утверждение.

Теорема 6. (Сохоцкого ). Пусть z0 существенно особая точка
	функции f(z). Тогда для любого числа l C { } су-
	ществует последовательность { zn } z0				при n ,
	для которой	lim f (z	n	) l .
		n

Доказательство опустим.

На этом мы закончим исследование конечных изолированных точек функции и перейдем к рассмотрению бесконечно удаленной точки .

5. Бесконечная особая точка функции

Прежде всего, заметим, что если функция f(z) аналитична в точке z0, то функция и непрерывна в этой точке. Согласно определению непрерывности это означает, что выполняется ра-

венство lim f (z) f (z0 ) . Следовательно, функция f(z) опреде-

z z0

лена в точке z0.

Сохоцкий, Юлиан (1842 - 1927), русский математик.

71

Глава IV. Ряды Лорана

В точке z0 = не определена никакая функция f(z) комплексной переменной. Поэтому для любой такой функции f(z) точка z0 = является особой.

Пусть особая точка		z0 = функции f(z) является изоли-
рованной.	Тогда функция аналитична в некотором кольце
R | z | ,	являющемся	проколотой окрестностью точки z0.

В этой окрестности функция раскладывается в ряд Лорана:

f (z) n 0

	a n
		an zn.	(5)
	zn
		n 1

Заметим, что в разложении (5) первый ряд является правильной частью ряда Лорана, а второй (степенной ряд) является главной частью ряда Лорана.

Исследование особенности функции в точке z0 = можно выполнить, используя разложение (5), а можно свести к исследованию особенности в конечной точке.

Рассмотрим функцию f 1z . Очевидно, что она имеет в

точке

z1

= 0

особенность. Так

как

выполняется

равенство

lim f

1

lim f z , то особые точки

z0

= для

f(z)

и z1 = 0

z

0

z

z

для

f

1z

имеют один и тот же характер.

В равенстве (5) заменим переменную z

на 1

:

z

an

f 1

a n zn

.

(6)

z

n 0

n 1

zn

f 1z

в ряд Лорана. Это

Мы получили разложение функции

разложение имеет место в области

R | 1

|

, то есть в проколо-

z

той окрестности

0 | z |

1

точки

z1 = 0. Главные части рядов

R

Лорана (5) и (6) имеет одинаковые коэффициенты, поэтому они имеют одинаковое количество слагаемых. Отсюда вытекает следующее утверждение.

72

§3. Особые точки функции

Замечание. Теоремы 1, 4 и 5 верны и для точки z0 = . Рассмотрим, например, первое утверждение. Точка z0 =

является устранимой особой точкой функции f(z) тогда и только

тогда, когда z1 = 0 является устранимой особой точкой функции
f 1z . Второе условие равносильно тому, что ряд Лорана (6)
функции f 1z	не содержит главной части. А это условие равно-
сильно тому,	что ряд Лорана (5)					функции			f(z) не содержит
главной части.
Пример 5.
Рассмотрим функцию f (z) ez .
В любой проколотой окрестности R |z|									точки z0 = имеет
место разложение функции f(z) в ряд Лорана
	ez 1 z	z2		z3		...	zn	...
	2!		3!				n!

Ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых в главной части, поэтому точка z0 = является существенно особой.

Из данного примера вытекает, в частности, что предел lim ez z

не существует!

На этом мы закончим исследование особых точек функции комплексной переменной и перейдем к рассмотрению вычетов функции в ее особых точках.

73

Глава IV. Ряды Лорана

Лекция 9

§4. Вычеты функции

1. Определение и вычисление вычетов

Рассмотрим функцию f(z), аналитическую в некоторой проколотой окрестности U (z0 ) : 0 | z z0 | R конечной точки z0 . Возьмем в этой окрестности любой контур C, внутри которо-

го лежит точка z0 и рассмотрим интеграл	f (z)dz .
	C
Если функция f(z) аналитична и в точке z0, то согласно
теореме Коши для односвязной области f (z)dz 0 .
C
Пусть теперь функция f(z) не аналитична в точке z0. Тогда
z0 - изолированная особая точка функции	f(z) и внутри контура

C других особых точек функции нет. Назовем такой контур до-

статочно малым для точки z0 .

Из теоремы Коши для многосвязной области вытекает, что в этом случае интеграл f (z)dz не зависит от выбора контура

C

C, достаточно малого для точки z0 . Поэтому он является своеобразной численной мерой неаналитичности функции в точке z0.

Определение 1. Пусть z0 конечная изолированная особая точ-

ка функции

f(z). Тогда интеграл

1

f (z)dz

по доста-

2 i

C

точно малому для точки

z0 контуру

C называется выче-

том функции f(z) в точке z0.

Обозначение:

Res f (z) .

z0

Таким образом,

Res f (z) =

1

f (z)dz .

(1)

2 i

z

0

C

Пусть функция f(z) раскладывается в проколотой окрест-

74

		§4. Вычеты функции
ности 0 | z z0 | R конечной точки z0 в ряд Лорана:
f (z)	an (z z0 )n .	(2)
	n
Вид особой точки	z0 функции f(z)	полностью характери-

зуется данным разложением. Покажем, что и вычет Res f (z) од-

z0

нозначно определяется этим разложением.

Теорема 1. Пусть функция f(z) раскладывается в некоторой проколотой окрестности конечной изолированной особой точки z0 в ряд Лорана (2). Тогда выполняется равенство

Res f (z) a 1 .	(3)
z0

Доказательство. Согласно теореме Лорана коэффициенты разложения (2) вычисляются по формуле

an	1		f (z)dz			,
	2 i		(z z	0	)n 1
		C

где C любая окружность с центром в точке z0, лежащая в кольце 0 | z z0 | R . Эта окружность является достаточно ма-

	лым контуром для точки z0. Далее, при n = 1				получаем:
	a 1	1		f (z)dz Re s f (z) .	►
		2 i
				z0
			C

Рассмотрим дополнительные способы нахождения вычетов для особых точек каждого вида.

2. Вычет в конечной устранимой особой точке

Вычет функции в конечной устранимой особой точке функции находится наиболее просто.

Следствие из теоремы 1. Если z0 конечная устранимая особая точка функции f(z), то

Res f (z) 0 .	(4)
z0

Доказательство вытекает из равенства (3) и того, что для

75

Глава IV. Ряды Лорана

устранимой особой точки в разложении (2) главная часть ряда Лорана отсутствует. Это означает, что все ее коэффициенты равны 0, в частности a 1 0 .

Пример 1.

Найдем вычет функции f (z)	sin z	в особой точке z0 = 0.
	z

Как было установлено в примере 2 предыдущего параграфа, точка z0 = 0 является конечной устранимой особой точкой функции f(z).

Тогда согласно замечанию получаем Res f (z) 0 .

0

Перейдем к нахождению вычета в полюсе.

3. Вычет в конечном полюсе

Для нахождения вычета функции f(z) в конечном полюсе z0 можно пользоваться формулами (2) и (3). В том случае, когда для функции трудно получить разложение (2), можно использовать другие вычислительные формулы.

Теорема 2. Пусть z0 конечный полюс порядка m функции f(z). Тогда выполняется равенство

Res f (z)	1		(z z		)m f (z)	(m 1)
		lim				.	(5)
				0
z0	(m 1)! z z0

Доказательство. Пусть конечная точка z0 является полюсом порядка m функции f(z). Тогда по теореме 4 из §3 в некоторой

проколотой окрестности U (z0 ) этой точки функция раскладывается в ряд Лорана следующего вида

a m

a (m 1)

a 1

f (z)

...

an (z z0 )n .

( z z )m

( z z )m 1

z z0

n 0

0

0

Согласно теореме 1 в этом разложении a 1

Res f (z) .

z0

Преобразуем разложение:

f (z)

1

(a

a

(z z ) ... a

(z z )m 1

a (z z )m ...) .

(z z )m

m

(m 1)

1

0

0

0

0

0

76

§4. Вычеты функции

Обозначим через S(z)

сумму степенного ряда, записанно-

го в скобках.

Тогда

f (z)

1

S(z)

и по теореме Тейлора

(z z )m

0

a

1

S(m 1) (z ) .

Перепишем

первое

равенство

так

1

(m 1)!

0

S(z) (z z )m f (z) . Оно имеет место для всякого z U (z ) .

0

0

Так как функция S(m 1) (z)

непрерывна в точке z0, то можем

записать:

Res f (z) a

1

S(m 1)

(z )

1

lim (z z

)m f (z) (m 1) .

z0

1

(m 1)!

0

(m 1)! z z0

0

Теорема 2 доказана.

►

Следствие 1.

Если функция f(z)

представлена в стандартном

виде относительно полюса z0

порядка m

f (z)

1

(z) ,

(6 )

(z z

0

)m

то имеет место равенство

Res f (z)

1

(m 1) (z ) .

(6)

z0

(m 1)!

0

Действительно, подставив в правую часть равенства (5)

выражение (6 ) для функции f(z), получим

Res f (z)

1

lim (z) (m 1) .

Отсюда, в силу непрерывности

z0

(m 1)! z z0

производной (m 1) (z)

вытекает равенство (6).

Пример 2.

Найдем вычет Res

sin 2z

.

3 ( z 3)3

Точка z0 = 3 является конечной изолированной точкой функции

f (z)

sin 2z

. Представим функцию в виде

f (z)

1

sin 2z .

Здесь

3

3

( z 3)

( z 3)

функция (z) sin 2z

аналитична в точке z0 =

3 и (z0 ) sin 6 0 . Сле-

довательно, функция f(z)

имеет стандартный вид относительно полюса

z0 = 3 порядка

m = 3.

Тогда

(m 1)

(z)

4sin 2z . Со-

(z)

(sin 2z)

гласно (6) получаем

77

Глава IV. Ряды Лорана

Res f (z) 1 ( 4) sin 2z0 2sin 6 . z0 2!

 Для вычета функции в простом конечном полюсе можно

использовать еще одну вычислительную формулу.
В этом случае функцию f(z)			можно представить в виде
	f (z)	(z)	,	(7 )
	(z)
где функции (z)	и (z) аналитичны в точке z0,			(z0 ) 0 , а
для (z) точка z0	является простым нулем.

Действительно, если z0 - простой конечный полюс функ-

	1
ции f(z), то ее стандартный вид таков	f (z)
		z z0

(z) . В нем

функция (z) аналитична в точке	z0	и (z0 ) 0 . Обозначив
(z) z z0 , получим для функции	f(z)	равенство (7 ). Очевид-

но, (z) аналитична в точке z0 и эта точка является простым нулем функции (z).

Далее, так как z0 - нуль первого порядка функции (z), то согласно следствию теоремы 1 из §3 предыдущей главы имеем:(z0 ) 0 , (z0 ) 0 . Так как z0 - полюс первого порядка (m = 1) функции f(z), то равенство (5) принимает простой вид

Res f (z)	lim (z z0 ) f (z) .
z0	z z0

Преобразуем это равенство, учитывая предыдущее условие и равенство (7 ):

Res f (z)

lim

(z z

)

(z)

(z

) lim

z z0

(z0 )

. ►

z

0

( z)

0

( z) ( z )

(z )

0

z z0

z z0

0

0

Следствие 2. Если z0 - простой полюс функции f(z) и функция представлена в виде (7 ), то имеет место равенство

	Res f (z)		( z0 )	.	(7)
	z0		( z0 )
Пример 3.
Найдем вычет Res	z 1	.
0	sin z

Точка z0 = 0 является конечной изолированной точкой функции

78

									§4. Вычеты функции
	f (z)	z 1	. Представим функцию в виде		f (z)				( z)		. Здесь функции
								( z)
		sin z
	(z) z 1 и (z) sin z			аналитичны в точке z0 = 0
											и (z) cos z .
	Кроме того, (0) 1 0 ,			(0) 0 , (0) 1 0 .
	Таким образом, для функции f(z) выполнено условие (7 ). Тогда
	согласно равенству (7) получаем Res f (z)					(0)		1 1 .
					(0)
				0				1

Перейдем к существенно особой точке функции.

4. Вычет в конечной существенно особой точке

Нахождение вычета функции в конечной существенно особой точке проводится только на основе формулы (3).

Пример 4.

Найдем вычет Res e

1

z .

0

В

данном

случае

f (z) e

1

и

не

существует

предела

z

lim f (z) lim e

1

z0 = 0

z

(см. пример 4 из §3). Поэтому

является

z z0

z 0

конечной существенно особой точкой функции f(z).

В стандартном разложении функции

(z) ez

в ряд Маклорена

в круге | z | заменим переменную z на величину

1

:

z

e

1z

1

1

1 1

1 1

... ( 1)

n

1 1

...

z

2!

z

2

3!

z

3

n!

z

n

Это

равенство

имеет

место

при

условии

| 1

|

, то есть

z

0 |z| . Следовательно, равенство является

разложением функции

f(z) в ряд Лорана в проколотой окрестности 0 |z| точки

z0 = 0. В

этом ряду

a 1 1 . Согласно теореме 1

тогда Res f (z) a 1

1 .

0

Рассмотрим теперь вычеты функции в бесконечно удаленной точке.

79