Lesn4_Rjady

Глава I. Числовые ряды

предел lim an существует,		то		он	удовлетворяет условию
	n
lim an 1 0 . Следовательно,		lim an 0 . Если же предел					lim an
n		n					n
не существует, то снова получаем:				lim an 0 . Согласно необхо-
				n
димому признаку ряд an расходится. Лемма 2 доказана.							►
Теорема 4. (Признак Коши ).
	Пусть для положительного ряда an					существует предел
	lim n a k .						(4)
	n	n
	Тогда при k 1 ряд сходится,				а при	k 1 - расходится
	(по необходимому признаку).
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы
3. Пусть для положительного ряда				an существует предел (4).

По определению предела имеем: для любого числа 0 , начи-

ная с некоторого номера, выполняется неравенство			n		k	.
				a
				n
Оно равносильно двойному неравенству
k n a k .			(*)
	n

Если теперь k 1 , то возьмем такое , чтобы выполнялось неравенство k 1 . Тогда согласно неравенству (*) имеем не-

равенство nan k 1 . Положив в нем q k , получим первое условие леммы 2. Следовательно, ряд an сходится.

Если же k 1, то возьмем такое , чтобы выполнялось неравенство k 1 . Тогда согласно неравенству (*) имеем нера-

венство nan k 1. Поэтому nan 1 . По второму условию леммы 2 ряд an расходится по необходимому признаку. ►

Пример 4.

Исследуем на сходимость ряд 1 nc n2 , где c R.

Применим признак Коши:

Коши, Огюстен Луи (1789 – 1857), французский математик и физик.

20

§2. Вещественные положительные ряды

с

n

n

c

k lim n an

lim 1

{1 }

lim 1

с

c ec .

n

n

n

n

n

Если c 0 , то

k ec 1 и ряд сходится.

Если же c 0 ,

то k ec 1 и ряд расходится.

При c 0 ряд имеет вид 1

0

n2

1 .

Он расходится по

n

необходимому признаку.

Теорема 5. (Интегральный признак Коши – Маклорена ).

Пусть для положительного ряда

an существует такая

вещественная непрерывная и монотонно убывающая на промежутке [1; + ) функция f(x), что для всех номеров n выполняются равенства

f (n) an .	(5)
Тогда ряд an и несобственный интеграл	f (x)dx оба
n 1	1
сходятся или оба расходятся.

Доказательство. Рассмотрим функцию f(x) на отрезке [k; k 1] . По условию теоремы для всякого x [k;k 1] выполняется не-

равенство	f (k 1) f (x) f (k) . По свойству оценки интеграла
		k 1
получаем:	f (k 1) 1 f (x)dx f (k ) 1. С учетом равенства (5)
		k
	k 1
имеем: ak 1		f (x)dx ak для всех натуральных чисел k.

k

Просуммируем эти неравенства по k от 1 до n 1. Получим двойное неравенство

n

a2 a3 ... an f (x)dx a1 a2 ... an 1 .

1

Перепишем его так:

Маклорен, Колин (1698 – 1746), шотландский математик

21

Глава I. Числовые ряды

		n
	Sn a1 f (x)dx Sn an .
		1
Перейдем в этом неравенстве к пределу при n :
lim Sn a1		f (x)dx lim Sn lim an .				(*)
n		1	n		n
Предположим теперь, что ряд				an сходится и		S –	его
сумма. Тогда	lim Sn S	и lim an 0 .		Из правого неравенства в
	n		n
(*) следует неравенство			f (x)dx S . Оно означает, что несоб-
		1
ственный интеграл I рода			f (x)dx	тоже сходится.
			1
Пусть ряд an расходится. Тогда					lim Sn .	Из нера-
					n
венства (*) следует неравенство					f (x)dx . Это означает,
				1
что интеграл	f (x)dx	тоже расходится. Теорема доказана.					►
	1
Пример 5.

Исследуем на сходимость ряд n1 .

Заметим, что если = 1, то ряд имеет вид n1 . Это гармониче-

	n
ский ряд. Поэтому ряд	1	называется обобщенно гармоническим.

Другое его название - ряд Дирихле .

Можно показать, что признаки Даламбера и Коши не дают ответа на вопрос о сходимости ряда Дирихле.

Применим интегральный признак. Подберем сначала функцию f(x). Так как она должна удовлетворять условию f (n) an n1 , то

Дирихле, Петер Густав Лежен (1805 – 1859), немецкий математик.

22

§2. Вещественные положительные ряды

возьмем f ( x) x1 . Эта функция непрерывна и монотонно убывает на промежутке [1; ) .

Рассмотрим несобственный интеграл	I	f ( x)dx	1	dx .
			x
	1	1

Вспомним, что он является эталонным несобственным интегралом I рода. Интеграл сходится при > 1 и расходится при ≤ 1.

Согласно интегральному признаку тогда получаем:

1		сходится, если 1;
ряд
	n		расходится, если 1.

Ряд Дирихле, вместе с бесконечно убывающей геометрической прогрессией, в дальнейшем будет служить своеобразным эталоном.

Пример 6.

		1
	Исследуем на сходимость ряд		.
		n ln2 n
	n 2

Применим интегральный признак. В данном случае функция f(x)

		1
будет такой: f ( x)							. Эта функция непрерывна и монотонно убы-
			x ln2 x
вает на промежутке [2; ) .
Рассмотрим несобственный интеграл														I			f ( x)dx . Имеем:
															2
I		dx				d (ln x)				1							1		1	.
													0
		x ln2 x					ln2 x			ln x			2			ln 2			ln 2
	2					2

Интеграл сходится. Согласно интегральному признаку сходится

		1
	и ряд		.
		n ln2 n
	n 2

До сих пор мы исследовали положительные ряды, то есть ряды, все слагаемые которых являются положительными вещественными числами. Перейдем к рассмотрению вещественных рядов, слагаемые которых могут иметь различные знаки.

23

Глава I. Числовые ряды

Лекция 3

§3. Вещественные знакопеременные ряды

Рассмотрим сначала вещественные знакопеременные ряды, в которых изменение знака слагаемых при переходе от одного слагаемого к другому имеет простую закономерность.

1. Знакочередующиеся ряды

Введем соответствующие понятия.

Определение 1. Вещественный ряд называется знакочередующимся, если любые два последовательных слагаемых ряда имеют противоположные знаки.

Если в знакочередующемся ряду a1 0 , то ряд будем записывать в виде:

( 1)n 1 an , an 0 . (1) n 1

Если же a1 0 , то ряд можно записать в виде:

( 1) ( 1)n 1 | an | . Его исследование на сходимость сводится к

n 1

исследованию ряда вида (1). Поэтому ограничимся исследованием знакочередующихся рядов вида (1).

Множитель ( 1)n 1 называют множителем знакочередова-

ния. Если в знакочередующемся ряду an 0 при n , то,

согласно необходимому признаку, ряд расходится. Поэтому остается исследовать знакочередующиеся ряды, в которых an 0 при n . Рассмотрим среди них ряды следующего вида.

Определение 2. Знакочередующийся ряд, общий член которого при n стремится к нулю, монотонно убывая по абсолютной величине, называется рядом Лейбница.

24

(a1 a2 ) (a3 a4 ) ... (a2m 1

§3. Вещественные знакопеременные ряды

Согласно определению ряд Лейбница характеризуется тремя признаками:

( 1)n 1;	a 0;	{| a |} .	(2)
	n	n

Пример 1.

( 1)n 1

Рассмотрим ряд . n

В данном ряду есть множитель знакочередования, | an | n1 .

Очевидно, условия (2) выполнены. Ряд является рядом Лейбница.

Вопрос о сходимости ряда Лейбница решается так.

Теорема 1. (Лейбница).

Любой ряд Лейбница сходится.

Доказательство достаточно провести для случая, когда ряд

Лейбница имеет вид (1). Докажем, что в этом случае lim Sn су-

n

ществует и конечен.

Рассмотрим сначала четные частичные суммы ряда:

S2m a2m ) .

Так как разности в скобках положительны, то S2m 0 и последовательность частичных сумм {S2m} монотонно возрастает.

Запишем сумму S2m иначе:

S2m a1 (a2 a3 ) (a4 a5 ) ... (a2m 2 a2m 1 ) a2m .

В этой сумме последнее число и все числа в скобках положительны. Поэтому верно неравенство S2m a1 .

Таким образом, последовательность {S2m} монотонно возрастает и ограничена сверху. По теореме Вейерштрасса суще-

ствует конечный предел lim S2m S .

m

Заметим, что из неравенства S2m a1 , согласно теореме о предельном переходе в неравенстве, следует неравенство S a1 .

Рассмотрим теперь нечетные частичные суммы ряда S2m 1 .

Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1646 – 1716), немецкий математик.

25

Глава I. Числовые ряды

Так как S2m 1	S2m a2m и по свойству ряда Лейбница
lim a2m	0 , то lim S2m 1 lim S2m		lim a2m S 0 S .
m	m	m	m
Из равенств lim S2m S		и lim S2m 1 S , раскрывая опре-
	m	m
деление предела последовательности,			получаем, что lim Sn S .
			n
Следовательно, ряд Лейбница сходится. Теорема доказана.				►
Следствие. Сумма S ряда Лейбница удовлетворяет неравенству:
	| S | | a1 | .			(3)

Утверждение вытекает из замечания, приведенного в доказательстве теоремы.

Замечание. При замене суммы S ряда Лейбница на частичную сумму Sn возникает погрешность rn, которая оценивается неравенством:

	| rn | | an 1 | .	(4)
Действительно, погрешность rn		приближенного равенства
S Sn	равна разности S Sn rn ,	которая является суммой

остатка ряда Лейбница. Так как этот остаток сам является рядом Лейбница и его первое слагаемое равно an 1 , то для его суммы

rn выполняется неравенство вида (3), то есть | rn | | an 1 | .

Вернемся к примеру 1. Как было установлено, ряд ( 1)n 1 n

является рядом Лейбница. Следовательно, он сходится. Можно показать, что сумма ряда равна ln2.

Пример 2.

Исследуем ряд ( 1)n 1 . n!

Можно легко проверить, что это ряд Лейбница. Если положить S S5 , то согласно неравенству (4) ошибка r5 приближенного равен-

	ства оценивается неравенством | r | | a		|	1			1	0,0014 .
				6!			720
	5	6

Перейдем к исследованию произвольных вещественных рядов.

26

§3. Вещественные знакопеременные ряды

2. Абсолютная и условная сходимости вещественных рядов

Рассмотрим произвольный вещественный ряд an (в

частности, возможно и знакопеременный). Построим для него ряд из модулей слагаемых | an |, который является веществен-

ным положительным рядом.

Как связаны между собой свойства рядов an и | an |? Частичный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.

Теорема 2. (Достаточный признак сходимости).

Если ряд из модулей | an | сходится, то сходится и сам ряд an .

Доказательство. Пусть Sn и		σn – частичные суммы рядов
an и	| an |. Так как ряд	| an | сходится, то существует

конечный предел

lim n .

n

Рассмотрим частичную сумму Sn. Обозначим через Sn

сумму всех положительных слагаемых из Sn. У остальных слагаемых минус вынесем за скобки, а сумму в скобках

обозначим через Sn . Тогда будут выполняться равенства

S	n	S	S	,		n	S	S	.
			n	n				n	n

Последовательности {Sn } и {Sn } монотонно возрас-

тают. Поэтому, как уже отмечалось, существуют (конечные или бесконечные) пределы

lim S	S	и	lim S S .
n	n		n	n

Из равенства	n	S	S		следует, что S		n	. Тогда
			n	n		n

по теореме о предельном переходе в неравенстве имеем:

limS	lim		n	, то есть S . Аналогично получаем, что
n	n	n

27

Глава I. Числовые ряды

S . Таким образом,			S и S - конечные числа.
Из равенства	S	n	S			S		вытекает, что существует
						n	n
конечный предел	lim S			n	lim(S			S ) S S . Следователь-
	n					n		n n
но, ряд an сходится.								►

Замечание. Доказанный признак не является необходимым, то есть обратное утверждение не имеет места. Существуют сходящиеся знакопеременные ряды an , для которых ря-

ды из модулей | an | расходятся. Приведем соответствующий пример.

Пример 3.

Рассмотрим ряд ( 1)n 1 . n

Как уже отмечалось, это ряд Лейбница. Он сходится. Ряд из модулей | an | n1 является гармоническим. Он расходится.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 4.

Исследуем ряд		( 1)n	.
		n4

Как легко видеть, это ряд Лейбница. Поэтому он сходится. Ряд из модулей слагаемых | an | n14 является обобщенно гармониче-

ским с α = 4 > 1 . Он тоже сходится.

В соответствии со сказанным все вещественные сходящиеся ряды делятся на два вида.

Определение 3. Вещественный ряд an называется абсолютно

сходящимся, если он сходится вместе с рядом из модулей слагаемых | an |. Ряд называется условно сходящимся,

если он сходится, а ряд из модулей расходится.

	Согласно определению ряд	( 1)n 1	из примера 3, сходится
		n

28

			§3. Вещественные знакопеременные ряды
условно, а ряд		( 1)n	из примера 4 сходится абсолютно.
		n4

Из теоремы 2 вытекает

Следствие. Вещественный ряд an сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходится ряд из модулей | an | .

Из следствия вытекает, что для исследования вещественного ряда на абсолютную сходимость можно использовать все признаки сходимости положительных вещественных рядов.

Признаки Даламбера и Коши можно использовать даже в усиленной форме. Рассмотрим, например,

Признак Даламбера абсолютной сходимости.

Пусть для вещественного ряда an существует предел

lim	|an 1|	d .	(1)
n	|an |
Тогда при d 1 ряд	сходится абсолютно, а при d 1

расходится.

Аналогично формулируется

признак Коши абсолютной сходимости ряда.

Сформулируйте его самостоятельно.

Для исследования ряда на условную сходимость используются другие признаки. Один из них дает теорема Лейбница.

3. Свойства условно и абсолютно сходящихся рядов

Посмотрим, какими свойствами конечных сумм обладают условно и абсолютно сходящиеся ряды.

Теорема 3. (Сочетательное свойство).

Если в сходящемся ряду произвольным образом сгруппировать слагаемые, не меняя их порядка, то сходимость ряда и его сумма не изменятся.

Доказательство опустим.

29