mathanaliz

Определение 20. Последовательность (xn), xn Rk, сходится к точке x0 Rk, если

вне каждой Uε(x0) находится лишь конечное число точек последовательности (xn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть задана последовательность (xn), xn Rk. По отношению к ней можно поставить по крайней мере три следующих вопроса:

1.Существует ли точка в пространстве Rk к которой последовательность (xn), xn Rk сходится?

2.Если существует, то одна или много?

3.Если одна, то как её найти? Если много, то как их описать?

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 1. Показать, что последовательность xn = n1 сходится к числу 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Фиксируем произвольное ε0 > 0. Решение задачи состоит в нахождении числа N(ε0) N такого, что n > N(ε0):

				1
d(0, x	n	) =				0	< ε	.
					−		0
			n

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следовательно, число
		1		,	если	1			N,
		ε				ε	0
			0
N(ε
	) =
0
	1 + 1,				если	1		/ N
		ε		0		ε	0
является наименьшим натуральным										числом,
удовлетворяющим условию:
	n > N(ε0) :				1
					n < ε0.
Решения неравенства x1 < ε0, x R
1	– решения неравенства n1					< ε0, n N
ε0
Рис. 2.1. Выбор числа N(ε0) N.
				•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Заметим, что для решения задачи нам не обя-

зательно выбирать самое маленькое из мно-

1

жества n N | n >

.

ε0

1

Итак,

положим

N(ε0) =

+ 1

или

ε0

1

1

N(ε0) =

+ 5 или N(ε0) =

+ 100.

ε0

ε0

Тогда

1

−

n > N(ε0) : d(0, xn) =

0 < ε0.

n

Из выделенного синим цветом

следует,

по

определению 18, что последовательность n1 сходится к 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тот факт, что (xn), xn Rk, сходится к

точке x0 Rk, будем кратко записывать так: lim xn = x0 или xn → x0.

Здесь lim есть сокращённое обозначение латинского слова limes - предел. Стрелка → заменяет слова “сходится” или “стремится”.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 2. Показать, что число 1 не является пределом последовательности xn = (−1)n−1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение.

S

Число 1 является пределом последовательности xn = (−1)n−1, если вне каждой Uε(1) находится лишь конечное число точек последовательности (xn).

Число 1 не является пределом последователь-

ности xn = (−1)n−1, если существует Uε(1), вне которой находится бесконечно много точек последовательности (xn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Возьмём ε	0	= 1.	S
		2

Тогда вне Uε0(1) лежат все члены последова-

тельности с чётными номерами, т.е. бесконечное множество членов последовательности.

Итак, мы построили Uε0(1), вне которой находится бесконечное множество членов последовательности xn = (−1)n−1.

Следовательно, в силу определения 20, число

1 не является пределом данной последовательности.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit