Вопросы промежуточного контроля

1. Сформулируйте определение производной. Каков ее механи­ческий и геометрический смысл?

2. Какой класс функций шире: непрерывных в точке или диф­ференцируемых в той же точке? Приведите примеры.

3. Выведите формулы производных суммы, произведения, частного двух функций. Приведите примеры.

4. Выведите формулу дифференцирования сложной функции. Приведите примеры.

5. Выведите формулы производных постоянной и произведения постоянной на функцию.

6. Выведите формулы дифференцирования тригонометрических и логарифмических функций.

7. Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования. Приведите примеры.

8. Выведите формулы дифференцирования степенной функции с любым действительным показателем, показательной функции, сложной показательной функции.

9. Докажите теорему о производной обратной функции. Выведите формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций.

10. Сформулируйте определение дифференциала функции.

11. Для каких точек графика функции ее дифференциал больше приращения? Для каких точек он меньше приращения?

12. Для каких функций дифференциал тождественно равен приращению?

13. В чем заключается свойство инвариантности формы диффе­ренциала функции?

14. Что такое линеаризация функции?

15. На чем основано применение дифференциала в приближен­ных вычислениях?

16. Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.

17. Каков механический смысл второй производной?

18. Как находятся первая и вторая производные функций, за­данных параметрически?

19. Сформулируйте и докажите теорему Ролля. Каков ее геомет­рический смысл?

20. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа. Каков ее геометрический смысл?

21. Выведите правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0. Перечислите различные типы неопределенностей, для раскрытия которых может быть использовано правило Лопиталя. Приведите примеры.

22. Напишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. В каком случае эту формулу называют формулой Маклорена и какой вид принимает она в этом случае?

23. Напишите формулы Маклорена для функций .

24. Как используется формула Тейлора для вычисления прибли­женных значений функции с заданной точностью? Приведите примеры.

25. Сформулируйте определения возрастающей и убывающей на отрезке функций. Выведите достаточный признак возрастания функции.

26. Сформулируйте определение точки экстремума функции.

27.Сформулируйте два правила для отыскания экстремумов функции.

28. Приведите пример, показывающий, что обращение в некоторой точке производной в нуль не является достаточным услови­ем наличия в этой точке экстремума функции.

29. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке? Всегда ли они существуют?

30. Сформулируйте определения выпуклости и вогнутости линии, точки перегиба. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба линии, заданной уравнением ? Приведитепримеры.

31. Сформулируйте определение асимптоты линии. Как находятся вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты линии, заданной уравне­нием . Приведите примеры.

32. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.

*проколотой окрестностью точки а называется ее окрестность без а

49