5. Исследование функции и построение ее графика

Сначала напомним определения четной, нечетной, периодической функции.

Функция y=f(x) называется четной (нечетной), если для каждой точки x из области определения она определена в точке x и f(x) = f(x) (соответственно f (x) = f (x) ). График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 7а, 7б).

Функция y = f (x) называется периодической с периодом T  0, если для любого значения x из области определения она определена в точке x+T и f (x) = f (x+T). Пусть T– наименьший положительный период. График периодической функции с периодом T получается повторением части графика, построенной на отрезке длины T (рис. 7в).

Примерами четных функций являются cosx, chx, |x|, x². Нечетные функции: sin x, sh x, tg x, ctg x, th x, cth x, x³. Периодические функции: sin x, cosx, (наименьший положительный период 2π), tg x, ctg x, (наименьший положительный период π).

Схема исследования функции

Исследование функции y=f(x) и построение ее графика можно проводить по следующей схеме.

1. Найти область определения.

2. Исследовать на четность, нечетность и периодичность.

3. Исследовать функцию на монотонность, экстремумы.

4. Исследовать функцию на направление выпуклости и точки перегиба.

5. Исследовать функцию на асимптоты.

6. Найти точки пересечения графика функции с осями системы координат.

Схема построения графика функции

График можно строить в следующей последовательности.

1. На оси Ох выделить область определения функции.

2. Начертить все асимптоты, если они есть.

3. Нанести точки графика, где достигаются экстремумы, если они есть.

4. Нанести точки перегиба, если они есть.

5. Нанести точки пересечения графика с осями системы координат, если они есть.

6. При необходимости исследовать поведение функции при x →+ ∞ и ∞.

7. Начертить схематично кривую через нанесенные выше точки, учитывая поведение графика вблизи асимптот и при x →+ ∞ и ∞.

8. Сравнить полученный эскиз с результатами исследования: проверить промежутки монотонности, промежутки выпуклости и вогнутости и т. д.

9. Уточнить эскиз графика. При необходимости найти дополнительные точки графика и начертить график так, чтобы она проходила через эти точки. Если функция четная (нечетная), то график начертить симметрично относительно оси Оу (соответственно начала координат). Если функция периодическая с наименьшим периодом T > 0, то построить часть графика на одном интервале длины T и повторить ее через период.

Типовые примеры

Провести полное исследование функции и построить ее график.

1) .

►Функцию исследуем согласно схеме.

1) Область определения – множество всех действительных чисел, таких, что x  0. Точка x = 0 является точкой разрыва функции.

2) Функция не является четной, нечетной, периодической.

3) Найдем первую производную:

Решим уравнение y = 0: Производная не существует в точкеx = 0, но в ней функция не определена, поэтому она не является критической. Таким образом, критическими являются точки x = -2 и x = 1. Разобьем им область определения на интервалы и нейдем в них знаки производной. Так как и, то знак производной совпадает со знаком квадратного трехчлена. Его значение в интервалах (-∞, -2) и (1, +∞) положительно, а в интервалах (-2, 0) и (0, 1) отрицательно. Таким образом, функция возрастает в интервалах (-∞, -2) и (1, +∞), убывает в интервалах (-2, 0) и (0, 1), x = -2 – точка максимума, максимальное значение равно x = 1 – точка минимума, минимальное значение равно

4) Найдем вторую производную:

Вторая производная существует во всех точках области определения функции, значит, точка перегиба может быть только при таких значениях х, что у′′ = 0. Решив уравнение , получимх = 2/5 = 0,4. Этой точкой разобьем область определения функции на интервалы. Чтобы определить знаки второй производной в этих интервалах, возьмем в каждой из

Рис. 13

них по одной точке (например, -1, 0.1, 1) и найдем знаки у в этих точках: у(-1) < 0, у(0.1) < 0, у(1) > 0. Следовательно, у< 0 в интервалах (-∞,0) и (0, 0.4), у> 0 в интервале (0.4,+∞).

Таким образом, функция выпукла вверх в интервалах (-∞,0) и (0, 0.4), выпукла вниз в интервале (0.4,+∞), x = 0.4 является абсциссой точки перегиба,

5) Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва x = 0. Найдем односторонние пределы функции в этой точке.

,

Следовательно, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой при x → 0 слева, при этом график функции бесконечно приближается к асимптоте, уходя в -∞ (вниз). Горизонтальных асимптот нет, так как

Найдем наклонные асимптоты:

.

.

По правилу Лопиталя

.

.

Таким образом, b = -3 и прямая у = х – 3 является наклонной асимптотой при x →±∞.

Рис.14

6) Так как в точке x = 0 функция не определена и

, ,

то график функции “подходит» справа к началу координат.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью Ох , решим уравнение

у(х) = 0: Значит, график пересекает осьОх при x = 2.

Построим график функции по результатам исследования, следуя схеме построения графика, описанной выше.

1) Область определения не содержит точку 0, значит, график не пересекает ось Оу.

2) Начертим асимптоту у = х – 3, вертикальная асимптота совпадает с осью Оу.

3) Наносим точки А (-2, ≈-6.60) и В (1, ≈-0.37), где функция достигает соответственно максимума и минимума.

4) Наносим точку перегиба D (0.4, ≈-0.13).

5) Отметим начало координат, к которой “подходит» график слева, и точку С (2, 0) пересечения графика с осью Ох.

6) Так как и, то приx →-∞ график “уходит» вниз, а при x →+∞ - вверх.

7) Поскольку прямая у = х – 3 асимптота при x →-∞, то проводим кривую от А влево и вниз так, чтобы она приближалась к прямой у = х – 3. При этом выпуклость направим вверх. Затем от точки А проводим кривую вправо и вниз, приближая ее к асимптоте х = 0. При этом выпуклость по-прежнему направим вверх. Соединим начало координат с точкой перегиба D «убывающей» кривой выпуклостью вверх. Соединим точку D с точкой В «убывающей» кривой выпуклостью вниз. Соединим точку В с точкой С «возрастающей» кривой выпуклостью вниз. Наконец, проводим от точки С кривую вправо и вверх выпуклостью вниз так, чтобы она приближалась к асимптоте у = х – 3.

8) Для контроля сравниваем полученный эскиз графика с результатами исследования функции. Интервалы монотонности и экстремумы, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба эскиза графика совпадают с результатами исследования. Поведение графика на эскизе вблизи асимптот и при больших по модулю значениях переменной х согласуется с результатами исследования.

9) Для уточнения графика найдем несколько точек вблизи асимптот.

Соответствующие точки на рисунке обозначены буквами P, Q, T . На рисунке приведен увеличенный фрагмент F графика, где более точно изображено поведение графика около точки перегиба D. ◄

2) .

►Применим вышеуказанную схему для исследования данной функции.

1. .

2. Функция имеет точку разрыва и непрерывна для всехиз области определения.

3. .

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.

4. С осью Ох: . Точка- точка пересечения с осью Ох. С осью Оу:. Точка (0;-1) – точка пересечения графика с осью Оу.

5. Находим производную.

при и не существует при. Критические точки:и. Исследуем знак производной функции на промежутках.

Рис. 15

Функция убывает на интервалах ; возрастает – на интервале.

6. Находим вторую производную.

при и не существует при. Критические точки второго рода:и.

Рис. 16

Функция выпукла на интервале , функция вогнута на интервалах. Точка перегиба,.

7. Так как точка - точка разрыва второго рода, то прямая- вертикальная асимптота. Докажем это, исследуя поведение функции вблизи точки.Найдем наклонные асимптоты

Тогда - горизонтальная асимптота

8. Найдем дополнительные точки:

9. По полученным данным строим график функции (рис. 17).

Рис. 17

◄