12. Приближённые вычисления с помощью формулы Тейлора

Ранее мы пользовались выражением у(x+х)  у(x)+ у'(x) х, которое, как теперь очевидно, содержит два первых члена формулы Тейлора. Формула Тейлора обобщает это выражение; она позволяет проводить более точные вычисления и оценивать точность этих вычислений.

Типовой пример

Требуется вычислить sin1 с погрешностью, не превышающей 0,00001.

►Остаточный член в форме Лагранжа для функции имеет вид, следовательно . Подбором находим, что, следовательно, мы должны взять степених вплоть до седьмой:

◄

§2. Исследование поведения функций и ее построение ее графика

1. Промежутки монотонности функции

Функция называетсявозрастающей (убывающей) в промежутке из области определения, если для любыхиз условияследует неравенство(соответственно).

На рисунке 2а функция возрастает в интервалах (a, b), (c, d), убывает в (b, c ).

Под монотонностью понимается либо возрастание, либо убывание.

ТЕОРЕМА (достаточное условие монотонности). Если функция f(x) дифференцируема в промежутке и f (x)>0 ( f (x)<0 ) для всех , тоf(x) возрастает (соответственно убывает) в промежутке X.

2. Экстремумы функции

Точка x₀ называется точкой минимума (максимума) функции y=f(x), если она определена в некоторой окрестности этой точки и для каждой точки x ≠x₀ этой окрестности f(x) > f(x₀) (соответственно f(x) < f(x₀)). Значение функции f(x₀) называется минимумом (соответственно максимумом).

На рисунке 7а точка b – точка минимума, точка c – точка максимума. Под экстремумом понимается либо минимум, либо максимум.

Точка x₀ из области определения функции y=f(x), называется критической точкой, если либо f(x) дифференцируема в x₀ и f (x₀) = 0, либо f(x) не дифференцируема в x₀. На рис. 7б и в точка x₀ – критическая.

Рис. 7

Необходимое условие экстремума: если x₀  точка экстремума функции

f (x), то она является критической точкой этой функции.

На рис. 7б критическая точка x₀ является точкой экстремума, а на рис. 7в критическая точка x₀ не является точкой экстремума. Таким образом, не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Первое достаточное строгого условие экстремума

Пусть x₀  критическая точка функции y=f(x). Если в некоторой окрестности точки x₀ слева от нее производная f (x) принимает один знак, а справа от нее  противоположный, то x₀ точка экстремума. При этом если слева f’(x)>0, справа f (x)<0, то x₀ точка максимума, в противном случае x₀ точка минимума. Если в некоторой проколотой окрестности точки x₀ производная f (x) принимает один знак, то x₀ не является точкой экстремума. Если к тому же f (x) непрерывна в x₀, то функция монотонна в этой окрестности.

Второе достаточное условие строгого экстремума

Пусть f (x₀)=0 и существует f′′( x₀). Тогда если f ′′( x₀)>0, то x₀ точка максимума. Если же f ′′( x₀)<0, то x₀ точка минимума.

Этим достаточным условием экстремума удобно пользоваться, если достаточно сложно установить знак первой производной в окрестности точки экстремума.

Третье достаточное условие строгого экстремума

ТЕОРЕМА. Пусть функция имеет в точке все производные вплоть до n-го порядка, причём . Тогда, еслиn (порядок первой отличной от нуля производной) нечётно, то экстремум в точке отсутствует; если n чётно, то при - точка минимума, при - точка максимума.

Правило нахождения точек экстремума и промежутков монотонности

1) Найти область определения функции f(x).

2) Найти все критические точки функции f(x). Для этого найти производную, решить уравнение f (x)=0 и найти точки x из области определения, в которых f (x) не существует.

3) Разбить область определения критическими точками на промежутки и в них найти знаки производной.

4) В промежутках, где производная положительна, функция возрастает, а в промежутках, где производная отрицательна, функция убывает.

5) Точки экстремума ищем среди критических точек. Пусть x₀ – критическая точка. Если в интервале слева от x₀ производная положительна (отрицательна), а справа отрицательна (положительна), то x₀  точка максимума (минимума).

Замечание

Если в интервале слева и справа от x₀ производная имеет один и тот же знак, то x₀ не является точкой экстремума. При этом, если функция непрерывна в этой точке, то функция монотонна в целом в этих двух интервалах.

Рис. 8

Типовой пример

Исследовать функцию на экстремум и монотонность.

►1) Область определения – множество всех действительных чисел R.

2)

Найдем критические точки. Решим уравнение y = 0: критическая. y не существует при x (x – 4) = 0 x = 0 или . Эти точки входят в область определения функции, следовательно, являются критическими.

3) Разобьем область определения R критическими точками 0, 2, 4 на интервалы (– ∞, 0), (0, 2), (2, 4), (4, +∞), в каждой из которых производная сохраняет знак. Найдем знаки производной в этих интервалах. Для этого выберем по одной точке из этих интервалов (например, –1(– ∞, 0), 1(0, 2), 3(2, 4), 5(4, +∞)) и определим знаки производной y в этих точках: y(1) < 0, y(1) < 0, y(3) > 0, y(5) > 0. Следовательно, y < 0 в интервалах (– ∞, 0), (0, 2) и y > 0 в интервалах (2, 4), (4, +∞).

4) Функция убывает в интервалах (– ∞, 0) и (0, 2), возрастает в интервалах (2, 4) и (4, +∞). Однако можно сделать более сильный вывод. В самом деле, в окрестностях критических точек x = 0 и x = 4 производная не меняет знака, значит, они не являются точками экстремума. В силу замечания функция убывает в интервале (– ∞, 2) и возрастает в интервале (2, +∞). Заметим, что y(0) = – ∞, y(4) = +∞, следовательно, в точках (0, 0) и (4, 0) касательные параллельны оси Оу.

5) Критическая точка x = 2 является точкой минимума.

На рисунке изображен схематически график функции .◄

Типовой пример

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1; 3].

►Функция дифференцируема на всей числовой оси. Найдём стационарные точки . Стационарными точками являютсяx₁ = –2, x₂ = 0, x₃ = 2 ; из них лишь x₂ = 0 и x₃ = 2 принадлежат промежутку [–1; 3] . Найдём значения функции в точках x = 0, x = 2, а также на концах отрезка: f(0) = 0, f(2) = =16 – 32 = –16, f(-1) = 1 – 8 = –7, f(3) = 81 – 72 = 9. Сравнив полученные значения, находим: , .◄