3. Направление выпуклости функции. Точки перегиба

Пусть функция y=f(x) имеет конечную или бесконечную производную в каждой точке интервала Х = (а, b). Обозначим Г(Х) дугу графика функции f(x), соответствующую интервалу X.

Определение

Если дуга Г(Х) лежит не ниже (не выше) касательной к графику функции y=f(x), проведенной в любой точке MГ(Х), то функция или график функции называется выпуклым вниз (соответственно выпуклым вверх) в интервале X (рис. а).

Точка на графике функции, в которой существует касательная к графику функции, называется точкой перегиба функции или графика функции, если она является границей дуг графика с разными направлениями выпуклости.

Рис. 9

Заметим, что в точке перегиба требуется существование касательной к графику.

В некоторых учебных пособиях выпуклую вверх функцию называют выпуклой, а выпуклую вниз функцию  вогнутой. Мы будем также пользоваться этими терминами, когда это удобно.

ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие выпуклости вверх и вниз). Если функция f(x) дифференцируема дважды в интервале и в ней f  (x) > 0 (f (x) < 0), то f(x) является выпуклой вниз (соответственно выпуклой вверх) в интервале X.

Необходимое условие точки перегиба

Если M₀ (x₀, f(x₀))  точка перегиба функции f(x), то либо и f (x₀) = 0, либо f (x₀) не существует (рис. б, в). Следовательно, абсциссы точек перегиба нужно искать в тех значениях x, при которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Первое достаточное условие точки перегиба

Пусть функция f(x) имеет производную (может быть бесконечную) в точке x₀, существует вторая производная в проколотой окрестности точки x₀ и либо f (x₀) = 0, либо f (x₀) не существует. Тогда если при переходе через x₀ f (x) меняет знак, то (x₀, f(x₀)) является точкой перегиба.

Второе достаточное условие точки перегиба

Если ,, то точкаточка перегиба функции.

Правило нахождения точек перегиба и промежутков выпуклости вверх и вниз:

1. Найти область определения функции f(x).

2. Найти f (x) и решить уравнение f (x) = 0 и найти точки x из области определения, в которых f (x) не существует.

3. Разбить область определения найденными в предыдущем пункте точками на промежутки и в них найти знаки второй производной.

4. Согласно теореме 4 в промежутках, где вторая производная положительна, функция выпукла вниз, а в промежутках, где вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх.

5. В соответствии с необходимым условием абсциссы точек перегиба нужно искать среди значений, найденных в пункте 2. Пусть x₀  такое значение. Если производная в точке x₀ (конечная или бесконечная) существует и в интервалах непосредственно слева и справа от x₀ вторая производная имеет разные знаки, то x₀  абсцисса точки перегиба.

Типовые примеры

Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, найти точки перегиба.

►1) Функция определена при всех действительных значениях x, таких, что x^­­2-4 ­­ 0, т.е. x  2.

2) Найдем вторую производную.

Рис. 10

y=0 при x = 0. y не существует при x = 2, но они не входят в область определения функции, поэтому они не могут быть абсциссами точек перегиба.

3) Разобьем область определения точкой x = 0 на интервалы (– ∞, -2),

(-2, 0), (0, 2), (2, +∞), в каждом из которых вторая производная сохраняет знак.

Определим знак второй производной в каждом из этих интервалов. В точке x=-3 из интервала (– ∞, -2) y< 0, следовательно, y< 0 во всем интервале (– ∞, -2). Аналогично определяем, что y > 0 в интервалах (-2, 0) и (2, +∞), y < 0 в интервале (0, 2) (рис. 5а).

4) Функция выпукла вверх в интервалах (– ∞, -2), (0, 2), выпукла вниз в интервалах (-2, 0), (2, +∞).

5) В интервалах (-2, 0), (0, 2) y имеет разные знаки. Значит, (0, 0) является точкой перегиба функции.

На рисунке б приведен схематически график функции. ◄

2. Исследовать функцию на экстремум, выпуклость. Найти точки перегиба.

►Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Найдем ее первую производную . Критическими точками являются иСледовательно, интервалы возрастания и убывания таковы: . Сведем исследования в табл. ?.

Таблица ?

Интервалы				1
f(x)	возрастает		Убывает	0	возрастает
	>0	0	<0		>0
Выводы		max		min

Найдем вторую производную . Очевидно, критические точки и не существует). При переходе через точку меняет знак. Значит – точка перегиба. При переходе через точкузнака не меняет, следовательно, в этой точке перегиба нет.

Исследование удобно оформить в виде табл. ?.

Таблица ?

Интервал		1
f(x)	выпукла вверх		выпукла вверх		выпукла вниз
	<0		<0	0	>0
				Точка перегиба