- •Глава . Производная и ее применение
- •§1. Производная функции
- •1. Определение производной
- •2. Действия над дифференцируемыми функциями
- •4. Производная функции, заданной параметрически
- •5. Дифференцирование показательно-степенной функции
- •6. Производные высших порядков
- •8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши и Лагранжа
- •10. Формула Тейлора
- •10.1. Формула Тейлора для многочленов
- •10.2. Формула Тейлора для произвольной функции
- •10.3. Форма Пеано остаточного члена формулы Тейлора
- •10.4. Форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора
- •10.5. Представление по формуле Маклорена элементарных функций
- •11. Формула Тейлора и эквивалентные бесконечно малые. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора
- •12. Приближённые вычисления с помощью формулы Тейлора
- •§2. Исследование поведения функций и ее построение ее графика
- •1. Промежутки монотонности функции
- •2. Экстремумы функции
- •3. Направление выпуклости функции. Точки перегиба
- •4. Асимптоты графика функции
- •Так как то горизонтальных асимптот нет.
- •5. Исследование функции и построение ее графика
- •Вопросы промежуточного контроля
4. Асимптоты графика функции
Пусть M(x, y) точка графика функции y=f(x). Будем говорить, что точка M бесконечно удаляется в бесконечность по графику, если она движется по графику так, что либо x → ± ∞, либо y→ ± ∞. При этом считаем, что функция определена в соответствующих множествах.
Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если при удалении точки M в бесконечность по графику, расстояние от M до этой прямой стремится к нулю (рис. а).
Вертикальная (горизонтальная) асимптота это асимптота, параллельная оси Оу (соответственно Ох). Остальные асимптоты называются наклонными.
На рис. б и в прямые х = 2, х = 0 и х = 1 являются вертикальными асимптотами, прямая у = 1 горизонтальной, прямая у = х+2 наклонной.
Нахождение вертикальных асимптот
Если x0 точка бесконечного разрыва функции y = f(x), то прямая x = x0 является вертикальной асимптотой. Например, если
то точка графика при y → ∞ бесконечно близко приближается к вертикальной асимптоте x = x0 с левой стороны (рис. 6в, x0= 1).
Рис.
12
Нахождение горизонтальных асимптот
Если приx →+ ∞ (или ∞), то прямая y = y0 является горизонтальной асимптотой при x →+ ∞ (или ∞).
Нахождение наклонных асимптот
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y= kx+b , где угловой коэффициент k ≠ 0. Коэффициенты k и b при x →+∞ (∞) находят по формулам:
.
Замечание
В этих формулах подразумевается, что оба предела существуют и конечны. Если хотя бы один из них не существует, то наклонной асимптоты нет.
Замечание
Если пределы конечны и k = 0, то график имеет горизонтальную асимптоту y= b при x →+ ∞ (или ∞). Поэтому если существует горизонтальная асимптота при x →+ ∞ (или ∞), то нет наклонной асимптоты при x →+ ∞ (или ∞).
Типовые примеры
Найти асимптоты графика функции.
1) .
►Точка x = 2 является точкой разрыва функции. Найдем односторонние пределы функции в этой точке
Следовательно, прямая x = 2 является вертикальной асимптотой при у→ + ∞ и у→ ∞.
Так как то горизонтальных асимптот нет.
Найдем наклонные асимптоты:
, следовательно, прямая у = х+2 является наклонной асимптотой при x → ∞ (рис. б). ◄
2)
►Областью определения функции является множество всех решений неравенства Решим его:. Найдем односторонние пределы в границах области определениях = 1 и х = 0:
.
Следовательно, прямая x = 1 является вертикальной асимптотой при у→ ∞, а прямая x = 0 является вертикальной асимптотой при у→ +∞ (рис. в).
Так как то прямаяу = 1 является горизонтальной асимптотой при x → ∞ (рис. в). Наклонных асимптот нет. ◄
Пример
Функция полных издержек (функция затрат, кривая «затраты-выпуск») однопродуктовой фирмы задана уравнением . Здесь‑ объем выпуска продукции,‑ соответствующие издержки производства. При каком объеме производства средние издержки минимальны?
►Средние издержки равны полным затратам, отнесенным на единицу продукции, то есть в данном случае
.
Как видим, графиком функции средних издержек является гипербола с наклонной асимптотой. При этом минимум функции средних издержек определяется из условия , откуда получаем
,
Стационарная точка - . Вторая производная функции средних издержек . В точке значение второй производной функции средних издержек положительно, следовательно, в точке исследуемая функция имеет минимум.◄
Пример
Функция полных издержек однопродуктовой фирмы задана уравнением . Цена товара на рынке равна 12. Определить область безубыточности. При каком объеме производства фирма получит максимальную прибыль, если весь товар находит покупателя?
►Прибыль фирмы определяется как разность между доходом (выручкой от продажи) и полными издержками:
.
Поскольку цена продукции постоянна, то , вследствие чего графиком функции прибыли является парабола, ветви которой направлены вниз:
.
Область безубыточности определяется из решения неравенства . Так как корнями квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства, являются числа и , то областью безубыточности является интервал . Итак, при прибыль фирмы положительна. Найдем теперь значение объема выпуска продукции, при котором прибыль достигает своего максимального значения. Из необходимого условия экстремума получаем, т.е.. Так как, то- точка максимума. ◄
Пример
Функция полных издержек однопродуктовой фирмы задана уравнением . Цена товара на рынке равна 12. Определить область безубыточности, если с каждой единицы товара фирма выплачивает в бюджет налог в размере . Определить, при каком наибольшем целом значении налоговой ставки производство продукции может быть прибыльным.
►Прибыль фирмы после налогообложения определяется как разность между доходом (выручкой от продажи), полными издержками и отчислениями в бюджет: .
Графиком функции прибыли является парабола, ветви которой направлены вниз:
.
Здесь ‑ корни квадратного трехчлена. Поэтому теперь область безубыточностизависит от значения параметра. Заметим, что при из полученных формул следует. Если ставка налога начинает увеличиваться, то тоже начинает расти, а – уменьшается. Более того, интервал лежит в положительной области лишь при значениях налоговой ставки. Прифункции прибыли после налогообложения имеет вид
.
Поэтому наибольшее целое значение налоговой ставки, при котором производство продукции является прибыльным, равно . В этом случае максимум прибыли достигается при; выручка от продажи равна; издержки производства составляют; отчисления в бюджет равны. Поэтому прибыль после налогообложения составит. Как видим, отчисления в бюджет при налоговой ставкеболее чем в 8 раз превышают прибыль фирмы после налогообложения. ◄
Пример
Функция спроса от дохода М имеет вид . Исследовать данную функцию.
►Данная функция спроса представляет собой монотонно возрастающую экспоненциальную функцию, поскольку ее производнаядля всех. Функция имеет горизонтальную асимптоту, поскольку . График выпуклый вверх, т.к. для всех.◄
Пример
По оценке социологов во время предвыборной кампании в городе число приверженцев кандидата на пост мэра () увеличивается во времени (- недели) согласно уравнению . Когда ежедневный прирост приверженцев кандидата начнет спадать? Оценить максимальное число его сторонников накануне выборов.
►Ежедневный прирост сторонников кандидата напрямую зависит от скорости роста его приверженцев . Поскольку
,
функция является монотонно возрастающей, причем при скорость роста приверженцев растет, а при‑ падает. Это означает, что график функциипри выпуклый вниз, а при ‑ выпуклый вверх. Таким образом, через, т.е. на пятой неделе, популярность кандидата начнет спадать. Поскольку функция имеет горизонтальную асимптоту, а время выборов в задаче не указано, то число приверженцев кандидата накануне выборов не превысит 10000. Отметим, что точка с координатами является точкой перегиба графика функции.◄