2. Действия над дифференцируемыми функциями

Пусть С – постоянная, и- дифференцируемые функции. Тогда

1. (С f (x)) = С f  (x),

2. ,

3. ,

4. ,

Таблица производных некоторых функций

1. ()	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.

Типовой пример

Используя определение производной, найти производную функции y = sin (2x + 1).

►Придадим значению переменной x приращение x, тогда функция y получит приращение

y = f(x + x) – f(x) = sin (2(x + x) + 1) – sin (2x + 1) =

= 2 sin x cos (2x + x + 1).

Отсюда находим

.

Таким образом, . ◄

Типовой пример

Найти производную функций: а) у=х⁴, б) у =,

в) у =,г) у =.

►а) По формуле 4 таблицы при n = 4 имеем у = (х⁴) = 4 х³.

б) у =По формуле 4 таблицы приn = – 4 имеем у =(х^–4)= – 4 х^–5=

в) у = . По формуле 4 таблицы приn =5/3 имеем у=

г) у =Так какsin5 не зависит от x (т.е. sin5=const), то формуле (1) таблицы (sin5)=0. По свойству (1) имеем у′ ==◄

Типовой пример

Найти производную функций: а) y=e^x + x² sinx,

б)

►а) По свойству (2) имеем у=(e^x) + (x² sinx). По формуле 6 таблицы и свойству (3) имеем у=e^x + (x²)sinx + x² (sinx) = e^x + 2x sinx + x² cosx.

б) По свойству (4) имеем

◄

3. Дифференцирование сложной функции

Пусть функция имеет производную в точкеu, а функция u = g(x) имеет производную в точке u = g(x). Тогда сложная функция имеет производную в точкеx, равную

. (2)

Типовые примеры

Найти производную функции.

1) .

►Применяя формулу (2), имеем . ◄

2).

►.◄

4. Производная функции, заданной параметрически

Пусть функции

задают параметрически функцию y = f(x) в окрестности точки x =, функциииимеют производныеив точкеt. Тогда функция также имеет производную в точкеx, и верна формула

. (3)

Типовой пример

x= sin 2t, y = tg 2t (– π ⁄ 4 < t < π ⁄ 4). Найти .

►По формуле (3) имеем ◄

5. Дифференцирование показательно-степенной функции

Для дифференцирования показательно-степенной функции y =, гдеи дифференцируемые в точке функции, можно представить ее в виде

.

Затем дифференцировать ее как сложную функцию:

. (4)

Типовые примеры

Найти производную функции.

1) .

►Это степенно-показательная функция. Для дифференцирования рациональнее сначала ее прологарифмировать: . Диффренцируем обе части равенства:, т.е., а следовательно,.◄

2) .

►Для дифференцирования такой достаточно громоздкой функции ее тоже рациональнее сначала прологарифмировать:

.

Дифференцируем обе части равенства:

,

.

Следовательно:

.◄

6. Производные высших порядков

Пусть функция имеет производнуюв каждой точкенекоторого множества. Тогда ее производнуюможно рассматривать как функцию, определенную на множестве. В свою очередь функцияможет в некоторых точках множестваиметь производную. В этом случае производной второго порядка (второй производной) называется производная от производной. Для второй производной функциив точкеx применяются обозначения:

Аналогично определяются производные 3-го, 4-го, и т.д. порядков. Производной первого порядка (или первой производной) считается .

Типовой пример

y = sin 3x. Найти производные 1-го, 2-го, 3-го порядков и y⁽³⁾(π). ►y = 3 cos 3x, y = – 9sin 3x, y⁽³⁾ = – 27 cos 3x, y⁽³⁾(π) = – 27 cos 3π = 27. ◄

Типовой пример

Найти dy, df (2), df (2) при dx=0.2, если y = ln (1 + x²).

►По формуле (1) dy = f  (x) dx = Приx = 2 имеем d f (2) =Приdx = 0,2 имеем ◄

Типовые примеры

Найти производные от функций:

а) ;	б) ;	в) ;
г)	д) ;	е)

Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найдем производные данных функций:

►а) .

Ответ: ◄

►б).

Ответ: ◄

►в) .

Ответ: ◄

►г) . Данная функция является степенно-показательной. Применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем функцию:

. Применим свойство логарифмов: . Тогда. Дифференцируем обе части равенства по:

;;;

.

Ответ: .◄

►д) . Функция задана неявно в виде. Дифференцируем обе части данного уравнения, считаяфункцией от:.

Выразим из уравнения :;

.

Ответ: .◄

►е) Функция задана параметрическиПроизводная такой функции находится по формуле:.

Ответ: ◄

Типовой пример

Найти , еслиy = ln(sinx) .

►;

.◄

Типовой пример

Доказать, что

= sin,  N.

►Доказательство проведём методом математической индукции (индукция может быть неполной, полной и математической), который заключается в следующем: проверяется утверждение при = 1; если из предположения, что оно верно приn следует, что оно верно и при + 1, то делается вывод, что утверждение верно при любом натуральном. Итак, проверим данную формулу при= 1 . = cos = sin. Формула выполняется. Пусть данное соотношение верно при . Найдём (+ 1)-ю производную. = = = = cos = =sin. Как видно, формула верна и при +1, следовательно, по методу математической индукции она верна при любом натуральном. ◄

Можно доказать, что

1. = ,

2. =  ,

3. = .

Последняя формула называется формулой Лейбница. Она напоминает бином Ньютона, при этом =.

Типовой пример

Найти -ю производную функции = .

►Воспользуемся формулой Лейбница. Пусть = =, тогда= 2, = 2,= 0 и все последующие производные равны нулю. Пусть = , т.к.=, то по формуле Лейбница получим

= + 2+ 2= .

Типовой пример

Найти вторую производную от функции, заданной параметрически = , = ,  E.

► Если функция y = y(x) задана параметрическими уравнениями то при условии существования производных , и существует производнаяи при этом. Вторая производная находится по формуле , или (что то же самое) .◄

Типовой пример

Найти ,, если

►Имеем:

; ;

;

◄

Говорят, что уравнение

неявно задаёт функцию в интервале, если для любогоуравнениеимеет единственное решение.

Для нахождения производной функции , заданной неявно данным уравнением, следует продифференцировать обе части равенства, считаяфункцией от; затем полученное уравнение, в которое будут входитьи, следует разрешить относительно. Для нахожденияисходное равенство дифференцируется дважды, в результате чего получается уравнение, содержащее,,, которое следует разрешить относительно, затем вместоподставить функцию оти, найденную указанным выше способом.

Типовой пример

Найти значения ,, если функцияy задана неявно уравнением

.

►Считая y функцией от x, продифференцируем обе части равенства: ; ; . Отсюда находим ; . Для нахождения y(0) в исходном равенстве положим x = 0: ; ; y(0) = 1. Таким образом, .

Найдём , для чего продифференцируем равенство :

;

;

.

Подставив в последнем равенстве вместо выражение, получим , откуда находим .◄

7. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой

Пусть  дифференцируемая в точке x₀ функция, M₀  точка на графике этой функции с координатами x₀ и y₀= f(x₀),  угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точкеM₀,  угол наклона касательной к оси абсцисс (рис 1а). Геометрический смысл производной состоит в том, что f (x₀) = k. Уравнение касательной к графику функции в точкеM₀ имеет вид

. (5)

Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к графику функции в этой точке.

Уравнение нормали к графику функции в точкеM₀ (x₀ , y₀) имеет вид

. (6)

Замечание

Пусть=+∞ (или – ∞). Тогда касательная к графику функциив точкеM₀ параллельна оси Оу, а уравнение касательной имеет вид х=x₀ (рис.1б).

Замечание

Если =0, то касательная к графику функциив точкеM₀ параллельна оси Ох (рис.1в).

Рис. 1

Типовой пример

Найти уравнения касательной и нормали к параболе y = x² в точке с абсциссой 2.

►Пусть x₀=2, f(x) = x² . Тогда , f(x₀) = 4, f (x) = 2x, f (x₀) = 4. По формуле (5) получаем уравнение касательной: y – 4 = 4(x – 2) или y  4x + 4 = 0. По формуле (6) получаем уравнение нормали: 4(y – 4) + x – 2 = 0 или x + 4 y  18 = 0. ◄

Типовой пример

В каких точках графика функции касательная к нему параллельна прямой? Сделать рисунок.

►По условию касательные к графику и заданная прямая параллельны, поэтому угловые коэффициенты этих прямых равны между собой. Угловой коэффициент прямой . Угловой коэффициент касательной к кривой в некоторой точкенаходим из геометрического смысла производной: ,где - угол наклона касательной к графику функции в точке.

.

Для нахождения угловых коэффициентов искомых прямых составим уравнение . Решив его, найдем абсциссы двух точек касания:и. Из уравнения кривой определяем ординаты точек касания:и. Сделаем рис. 2.

Рис. 2

Ответ: (-1;-6) и .◄

Типовой пример

Найти площадь треугольника, образованного прямой , касательной и нормалью, проведёнными к графику функциив точке с абсциссойи ординатой.

►Найдём ординату y₀ точки касания и :

; ; .

Уравнением касательной являетсяили.Уравнение нормали имеет вид или. Найдём координаты точек А и В (см. рис).

Вычислим длины катетов АС и ВС прямоугольного треугольника АВС:

, .

По этим данным найдём искомую площадь ◄