11. Формула Тейлора и эквивалентные бесконечно малые. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

При вычислении пределов широко используются эквивалентные бесконечно малые. Если использовать формулу Тейлора, то таблицу эквивалентных бесконечно малых можно бесконечно расширить.

Запишем еще раз формулу Тейлора.

Так как топриназовем эквивалентностью 1-го порядка.

Аналогично, так как

, то приназовем эквивалентностью 2-го порядка.

И вообще эквивалентность n+1-го порядка имеет вид:

Используя формулы Тейлора для элементарных функций 1-10, можно значительно расширить таблицу эквивалентных бесконечно малых (эквивалентность п+1-го порядка). Получим таблицу эквивалентности (формулы 11- 20 ).

11.

12.

13.

14.

15

16.

17.

18.

19.

20.

Применим эти формулы для вычисления пределов.

Типовые примеры

Вычислить пределы.

а) , б).

Отметим, что в обоих случаях мы имеем неопределенность .

►а) Здесь применяем формулы 11 и 12.

;

Тогда .◄

►б) Так как ,

то . Так как,

то . Получим .◄

Отметим, что в рассмотренных примерах эквивалентность применялась, как и положено, ко всему числителю и ко всему знаменателю. Если эквивалентность применять к отдельным слагаемым в числителе или знаменателе, то можно допустить ошибку. Так, если в примере б) в числителе применить формулу эквивалентности и в знаменателе применить эквивалентность, то получим неверный результат:. На самом деле, как мы видели выше, предел этот равен. Применение эквивалентности к отдельным слагаемым может привести к серьезным ошибкам. Конечно, надежнее всего применять эквивалентность к числителю и знаменателю. Но это, чаще всего, не так просто сделать. Рассмотренный выше пример был специально подобран так, чтобы это можно было сделать легко. Если применение эквивалентности для всего числителя (или знаменателя) затруднено, то следует применять сами формулы Тейлора. Весь вопрос в этом случае, сколько членов в формуле Тейлора взять за основу? Например, формулу 1 можно применить в виде:, или, илии т. д.

Надо помнить основное очень простое правило. Главным членом бесконечно малого многочлена, то есть стремящегося к нулю при , является младший член (с наименьшим показателем степени). Например, приглавным членом многочленаявляется член -7х² .

При применении формулы Тейлора к отдельным членам числителя (или знаменателя) надо выбирать столько членов для каждого слагаемого, чтобы не потерять главный член.

Типовой пример

Найти главные члены для функций ии найти предел.

►Напишем формулы Тейлора для sinx и cosx.

, . Так как, то ясно, что для нахождения главной части функциидостаточно взять по два члена в разложении функцийsinx и cosx, т.е.

. Итак, главная часть функции f(x) при равна. Для функцииимеем:

, ,

,

.

Здесь главная часть равна . Тогда.◄

Типовые примеры.

1) .

►Имеем при :

Числитель примет вид:

Для знаменателя имеем:

Окончательно получим:

.◄

2) .

►Здесь, как впрочем и во всех предыдущих примерах, имеем неопределенность . Так как знаменатель одночлен, то можно применить эквивалентность 1-го порядка:

Для числителя имеем:

.◄

3) .

►Так как в знаменателе стоит х⁵, то при представлении функций, стоящих в числителе, по формуле Маклорена, мы должны брать многочлены не ниже пятой степени: ;

(следующий член разложения имеет шестую степень) ,

◄

4) .

►Здесь мы в выкладках обязаны удерживать члены до четвёртой степени:

поэтому .◄