- •Глава . Производная и ее применение
- •§1. Производная функции
- •1. Определение производной
- •2. Действия над дифференцируемыми функциями
- •4. Производная функции, заданной параметрически
- •5. Дифференцирование показательно-степенной функции
- •6. Производные высших порядков
- •8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши и Лагранжа
- •10. Формула Тейлора
- •10.1. Формула Тейлора для многочленов
- •10.2. Формула Тейлора для произвольной функции
- •10.3. Форма Пеано остаточного члена формулы Тейлора
- •10.4. Форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора
- •10.5. Представление по формуле Маклорена элементарных функций
- •11. Формула Тейлора и эквивалентные бесконечно малые. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора
- •12. Приближённые вычисления с помощью формулы Тейлора
- •§2. Исследование поведения функций и ее построение ее графика
- •1. Промежутки монотонности функции
- •2. Экстремумы функции
- •3. Направление выпуклости функции. Точки перегиба
- •4. Асимптоты графика функции
- •Так как то горизонтальных асимптот нет.
- •5. Исследование функции и построение ее графика
- •Вопросы промежуточного контроля
10. Формула Тейлора
10.1. Формула Тейлора для многочленов
Рассмотрим следующую простую задачу. Дан многочлен по степеням х: . Требуется представить функцию Р3(x) в виде многочлена по степеням (x+2). Решение: представим х в виде (х+2)-2. Тогда Решим эту задачу по другому: попытаемся выразить коэффициенты разложения многочлена по степеням (x+2) через производные функции Р3(x). Действительно, если , то а0 = Р3 (-2) = 3(-2)3-4(-2) 2+5= -11 (первые три слагаемых в правом представлении при подстановке х = -2 обращаются в нуль). Дифференцируя Р3(x), получим . Подстановка в это равенство х = -2 даёт а1 = Р3'(-2) = 9(-2) 2-4= 32. Находим Р''3 (x): , откуда при х = -2 получим . Находим Р3'''(x): , откуда .
Рассмотрим эту задачу в общем случае: пусть выразим коэффициенты этого многочлена через его производные в точке х0. Взяв х = х0, получим . Дифференцируем:
Следовательно, . Находим вторую производную:
Следовательно, . Находим третью производную:
Следовательно, . Далее, находя четвёртую производную, получими т.д. Окончательно:,i = 0,1,2,…,n, и
Эта формула и называется формулой Тейлора для многочленов. (Под производной функции f(x) нулевого порядка понимается сама функция f(x); напомним, что 0! = 1 по определению).
10.2. Формула Тейлора для произвольной функции
Пусть теперь f(x) - произвольная функция, которая в точке х0 имеет производные всех порядков до n-го включительно. Построим с помощью производных этой функции многочлен Тейлора n-ой степени:
Значения этого многочлена и его производных до n-го порядка в точке х0 совпадают с производными функции f(x): =f(x0), , однако, если f(x) - произвольная функция, мы не можем утверждать, что ; многочленлишь даёт некоторое приближение кf(x). Разность называется остаточным членом формулы Тейлора и характеризует погрешность этого приближения. Функция Rn(x) обладает тем свойством, что и сама Rn(x), и все её производные вплоть до n-го порядка в точке х0 равны нулю. Оценить эту функцию можно различными способами; мы рассмотрим две наиболее часто применяемые формы представления этой функции.
10.3. Форма Пеано остаточного члена формулы Тейлора
Лемма
Пусть для функции Rn(x) существуют все производные вплоть до n-го порядка и выполняются условия . Тогда при эта функция является бесконечно малой вышеn-го порядка по сравнению с х- х0.
Так как , то
Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
10.4. Форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора
Если в окрестности точкиx0 существуют все производные функции f(x) до n+1-го порядка, можно получить другое представление остаточного члена: , где, точкас расположена между x и x0. Это представление остаточного члена называется формой Лагранжа.
Число с удобно записать в виде , где, тогда.
Итак, формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид
Частный случай формулы Тейлора в случае x0 = 0 принято называть формулой Маклорена. Так, формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа такова:
10.5. Представление по формуле Маклорена элементарных функций
Чтобы пользоваться формулой Тейлора, надо знать вид формулы Тейлора (Маклорена) для основных элементарных функций:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Следует помнить, что применять данные формулы можно для функции только в случае, если при. Отметим, что формулы 1-10 можно применять и в тех случаях, когда данную функцию требуется представить в виде многочлена Тейлора по степенямх-х0. Для этого функцию f(x) надо преобразовать так, чтобы она зависела от , причемпри.
Типовые примеры
Разложить по формуле Тейлора функции в окрестности точки :
а) |
б) |
в) |
►а) . В формуле 1 мы не можем вместох поставить 3х-2, так как при. Функцию надо преобразовать:
.
Вместо х можно подставить 3х так как при.◄
►б) . Сначала преобразуем функцию так, чтобы первое слагаемое равнялось 1.
Запишем формулу бинома 6. для случая .
Для данной функции имеем (вместо х подставляем ):
. ◄
►в) . Так как здесьпри, то можно в формуле 8 вместох записать х+6х2.
Однако, если квадратный трехчлен, находящийся под знаком логарифма имеет действительные корни, то лучше разложить его на линейные множители:
.◄
Типовые примеры
Представить в виде многочлена Тейлора функции:
а) по степенямх-1 |
б) по степенямх+1 |
►а) по степенямх-1. Так как при, то использовать формулу 1 пока нельзя. Надо функцию преобразовать так, чтобы она зависила от. Имеем: . Теперь можно использовать формулу 1. Надо вместо x подставить 3(x-1).
.◄
►б) по степенямх+1. Здесь нам придется применить формулы, получающиеся из формулы 6 при m = -1.
.
Сначала данную функцию представим в виде суммы двух простых дробей.
(*)
Каждую дробь надо преобразовать так, чтобы она зависела от (x+1) и первое слагаемое в знаменателе дроби равнялось 1.
.
Получим:
Для второй дроби имеем:
Подставив все это в (*), получим:
.◄