Лекции по физике

3. Метод зон Френеля. Прямолинейность распространения света по волновой теории

Рис. 5.

Пусть точечный монохроматический источник света S находится в однородной прозрачной среде. Тогда, согласно принципу Гюйгенса, он будет излучать сферически симметричные волны, волновой фронт одной из которых (Σ) в рассматриваемый момент времени

51

представлен на рис.

Введем обозначения:

О – полюс волнового фронта;

ОР = r0 – кратчайшее расстояние от волнового фронта до точки наблюдения Р;

λ – длина волны, излучаемой монохроматическим источником света S.

Френель предложил разбить волновую поворхность на участки (зоны). Центральная зона представляет шаровой сегмент, а остальные – шаровые пояса.

Вычислим площади зон Френеля.

Площадь	зоны	Френеля
представляет	разность	площадей
двух соседних сегментов.
Sk = Sk − S(k −1) .		52
		(1)

Рис. 6.

Площадьk-госегмента:

		Sk	= 2π Rhk				(2)
Найдем hk.		ρk2	= rk2 − (r0 + hk )2 ;				(3)
Из	DCP
Из	DSC	2	= R	2	2	.	(4)
		ρk			− (R − hk )

Приравнивая правые части уравнений (3) и (4) и выполняя необходимые математические действия, получаем:

	h =				r2 − r2
					k	0		,	(5)
		k		2(R + r0 )
								+k λ ,
или, с учетом того, что					rk	= r0			формула (5) примет
					r0kλ			2
вид:	hk	=					.		(6)53
			2(R +r0 )

Подставляя (6) в (2), получим формулы для Sk и S(k-1):

Sk = π Rr0λ k;		S(k-1) = π Rr0λ (k −1);		(7)
R + r0		R + r0
Вычитая из Sk	S(k-1),	получим площадь	Sk	k-ой зоны
Френеля:	Sk = π Rr0λ ,
				(8)
		R + r0
т.е. площади всех зон Френеля одинаковы. А это означает,
	что во всех зонах Френеля		одинаковое
	число излучающих вторичных источни-
	ков.	Отсюда следует вывод:		если в не-
	которой зоне указать точку а, то в
	следующей зоне всегда можно найти
Рис. 7.	точку b такую, что разность хода от

54

этих точек до точки Р равна λ/2. колебания, возбуждаемые a и b источниками, приходят в точку Р следовательно, гасят друг друга.

Это означает, что как вторичными в противофазе и,

Рис. 8. 55

Таким образом можно перебрать все точки (вторичные источники) соседних зон. В итоге мы придем к выводу: если амплитуду колебаний, возбуждаемых в точке Р одной из зон принять за величину положительную, то амплитуда колебаний, возбуждаемых в этой же точке Р соседней зоной, должна быть отрицательной.

Пусть Е01 > 0 – амплитуда колебаний, возбуждаемых в точке Р центральной зоной. Тогда Е02 < 0; Е03 > 0; Е04 < 0 и т.д. Другими словами, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р нечетными зонами, будем считать положительными, а четными – отрицательными. Кроме того, вследствие увеличения угла α с увеличением номера зон амплитуды колебаний постепенно уменьшаются, т.е.

56

Е01 > Е02 > Е03 > ……> Е0k,

(9)

причем Е0k= 0 при больших k.

Амплитуда результирующего колебания в точке Р

Е0 = Е01 – Е02 + Е03 – Е04 + ……+ Е0k,

или

E01

E01

E03

E03

E05

E0k

E0

=

+

− E02 +

+

− E04

+

+ ... +

.

2

2

2

2

2

2

Поскольку амплитуда от зоны к зоне монотонно убывает, то выражения в скобках практически равны нулю. Тогда амплитуду результирующего колебания в точке Р можно представить в виде:

E0 =	E01	,	(10)
	2		57

т.е. действие волнового фронта в точке наблюдения Р равно действию половины центральной зоны Френеля, площадь которой

S = π Rr0λ .

R + r0

Длина световой волны весьма мала. Для зеленого света λ ~ 0,5·10-6 м. Поэтому даже для расстояний R и r0 порядка 1 м площадь действующей части волнового фронта весьма мала (меньше 1 мм2). Следовательно, распространение света от S к Р происходит так, как если бы световой поток распространялся внутри очень узкого канала, т.е. прямолинейно. 58

Хорошей иллюстрацией, подтверждающей метод рассуждений Френеля может служить опыт с зонной пластинкой. Для этого из (4) с учетом (6) найдем радиус ρk k-ой зоны Френеля

	ρk =		Rr0λ	kλ .	(11)
			R +r0
Если	изготовить		пластинку,		состоящую	из
последовательно		чередующихся			прозрачных	и

непрозрачных колец, радиусы которых удовлетворяют (11) для каких-либо фиксированных значений R, r0 и λ, то волновой фронт, профильтрованный такой пластинкой, будет будет возбуждать в точке Р колебания с амплитудой

59

E0	= E01	+ E03 + E05 + ...	или
E0	= E02	+ E04 + E06 + ...,

т.е., прикрывая такой пластинкой четные или нечетные зоны Френеля, в точке Р мы будем наблюдать усиление освещенности. Такая пластинка называется зонной пластинкой. Такая пластинка действует как собирающая линза.

Рис. 9.

60